第1章1节 复数正式备课.ppt

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1、复变函数 Complex Variable Function 重庆文理学院数学与统计学院2009 数学与应用数学（师范）主讲教师:毛一波Tel:023-49911028 Email:&教材教材 (Text Book)钟玉泉钟玉泉 复变函数论（第三版）复变函数论（第三版）高等教育出版社高等教育出版社 2004&参考书目参考书目(Reference)余家荣复变函数（第三版）高等教育出版社，余家荣复变函数（第三版）高等教育出版社，20002000钟玉泉复变函数学习指导书高等教育出版社，钟玉泉复变函数学习指导书高等教育出版社，19961996孙清华，孙昊复变函数内容、方法与技巧华中科技大学孙清华，孙昊

2、复变函数内容、方法与技巧华中科技大学出版社，出版社，20032003本课程的主要内容 大体上包含下列主要内容：Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论、Riemann的几何理论三大部分。具体由以下七个部分组成：复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分；解析函数的幂级数表示法；解析函数的洛朗展式与孤立奇点；留数理论及其应用；共形映射。本课程的教学重点是：柯西黎曼方程；柯西积分定理和积分公式；解析函数的唯一性定理；留数定理及其应用；分式线性变换等。本课程教学的难点是多值函数和共形映射。引 言 在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程 时引进了复数。

3、他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。引 言例如大家所熟知的Euler公式 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R

4、.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一章 复数与复变函数 自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象。由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充；然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和

5、方法奠定必要的基础。1复数复数3复变函数复变函数2复平面上的点集复平面上的点集1 复数域复数域2 复平面复平面3 复数的模与辐角复数的模与辐角4 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根5 共轭复数共轭复数6 复数在几何上的应用复数在几何上的应用第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1 平面点集的基本概念平面点集的基本概念2 区域与曲线区域与曲线1 复变函数的概念复变函数的概念2 复变函数的极限复变函数的极限3 复变函数的连续性复变函数的连续性4复球面与无穷远点复球面与无穷远点第一章 复数与复变函数1复数(complex number)1 复数域 每个复数具有z=x+iy的形状，其中x和y为实数，

6、i是虚数单位(-1的平方根)，。x和y分别称为z的实部和虚部，记作：1.1 复数的含义1.2 复数的相等 复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。即：x1+iy1=x2+iy2 等价于x1=x2，y1=y2;或：z1=z2 等价于Rez1=Rez2，Imz1=Imz2.与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.1.3 实数、虚数与纯虚数即：z为实数等价于Imz=0;z为纯虚数等价于Rez=0如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。2.1 2.1 代数形式代数形式

7、 :2 复数的表示法1)1)点表示点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴2.1 2.1 代数形式代数形式 :2 复数的表示法 复数集C也可以看成平面 R2，我们称为复平面。作映射：则在复数集与平面R2之间建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。引进了复平面后，我们在“数”和“点”之间建立了联系。为了方便起见，今后我们不再区分“数”和“点”。2)向量表示-复数复数z z的辐角的辐角(argument)0 xyxyqz=x+iy|z|=r-复数复数z z的模的模(modulus)2)2)向量表示向量表示复数复数z的辐角的辐角(argume

8、nt)记作记作Arg z=q q.任何一个复数任何一个复数z z 0 0有无穷多个幅角，有无穷多个幅角，z=0z=0时辐角没有意义。时辐角没有意义。满足满足-p-p q q0 p p 的的q q0 称为称为Arg z的主值的主值,记作记作q q0=arg z.则则Arg z=q q0+2kp p=arg z+2kp p (k为任意整数为任意整数)问题问题:复数复数z z的辐角有多少个的辐角有多少个?arg z可由下列关系确定(z z 0):说明：当 z 在第二象限时，(参见教材p9)2.2 指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系:x=r cosq,y=r sinq,可以将z表示成三角表

9、示式:利用欧拉公式 e iq=cosq +i sinq 得指数表示式:2.2 指数形式与三角形式例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,因此又复数化为三角表示式与指数表示式的一般方法:1)先求复数的模;2)再求辐角.(p11例1.5)解:z在第一象限,因此(p11例1.5)解法二:练习：练习：写出写出 的辐角和它的指数形式。的辐角和它的指数形式。解：3 复数的运算设3.1 3.1 四则运算四则运算 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。3.1.1 3.1.1 四则运算的含义四则运算的含义(p4-p5)(p4-p5)3 复

10、数的运算交换律 z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;结合律 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3,z1(z2z3)=(z1z2)z3;分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数的四则运算满足交换律、结合律和分配律:3.1.2 3.1.2 四则运算的性质四则运算的性质加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:,定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.3.1.3 3.1.3 四则运算的几何意义四则运算的几何意义 等式 Arg(z1z2)=Argz1+Argz2的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定

11、等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Arg z1.01参见教材p12p13公式(1.12)和(1.12)例3：设求：解：若取则若取则;按照乘积的定义,当z10时,有定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即3.2 乘方与开方运算1）乘方若 ，则有当 时,得到著名的棣莫弗(De Moivre)公式(p13倒数2行)2）开方:若满足则称w为z的n次方根，记为 于是推得从而几何解释：z1/n的n个值

12、就是以原点为中心,r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。(1.14)例4 求解 因为所以即 四个根是内接于中心在原点,半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy基本不等式:关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：4 共轭复数(complex conjugate number)的共轭复数：。4.1 含义4.2 性质为实数例5 设 、是两个复数，证明：例例6 设 是任意两个复数，求证：证证：利用公式 可得例7 证明 证明：(p17例1.10)例8 证明 证明：(p7(1.2)由上例知 又 例9例9例9例9证三5 复数在几何上的应用 很多平面图形能用复数形式的方程(或

13、不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.5.1 曲线的复方程1)连接z1和z2两点的线段:过z1和z2两点的直线:z1、z2和z3共线(t为非零实数)5 复数在几何上的应用2)以z0为心R为半径的圆:或者 3)实轴 虚轴 4)射线 5.1 曲线的复方程5.2 用复数证明几何问题例10(p20例1.14)为等边三角形 证明:即,平方得:为等边三角形例例11：已知正三角形的两个顶点为：已知正三角形的两个顶点为求求三角形的另一个顶点三角形的另一个顶点z3。xyO解解:若若z1,z2,z3成逆时针顺序成逆时针顺序,则则例例11：已知正三角形的两个顶点为：已知正

14、三角形的两个顶点为求求三角形的另一个顶点。三角形的另一个顶点。xyO若若z1,z2,z3成顺时针顺序成顺时针顺序,则则 例12 求下列方程所表示的曲线:解：1)设设 z=x+i y,方程变为-iOxy解：几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为 y=-x,也可用代数的方法求出。Oxy-22iy=-x设设 z=x+i y,那么可得所求曲线的方程为 y=-3.Oyxy=-3例例13(p43#7)例例13(p43#7)例例13(p43#7)1复数及其表示法(三角表示与指数表示)；2复数的四则运算与几何意义；3共轭复数；4 复数在几何上的应用。内容小结内容小结1复习上述要点；2预习教材第一章第二、三节；3书面作业 p4243#15，#710，p45#17选 作3题。作业：作业：