线性代数课件5-2.ppt

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1、2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量引言引言n纯量量阵 l lE 与任何同与任何同阶矩矩阵的乘法都的乘法都满足交足交换律，即律，即(l lEn)An=An(l lEn)=l lAn n矩矩阵乘法一般不乘法一般不满足交足交换律，即律，即AB BA n数乘矩数乘矩阵与矩与矩阵乘法都是可交乘法都是可交换的，即的，即l l(AB)=(l lA)B=A(l lB)nAx=l l x?例：例：一、基本概念一、基本概念定定义：设 A 是是 n 阶矩矩阵，如果数，如果数 l l 和和 n 维非零向量非零向量 x 满足足Ax=l l x，那么那么这样的数的数 l l 称称为矩矩阵 A 的的特征特征值

2、，非零向量，非零向量 x 称称为 A 对应于特征于特征值 l l 的的特征向量特征向量例：例：则 l l=1 为 的特征的特征值，为对应于于l l=1 的特征向量的特征向量.一、基本概念一、基本概念定定义：设 A 是是 n 阶矩矩阵，如果数，如果数 l l 和和 n 维非零向量非零向量 x 满足足Ax=l l x，那么那么这样的数的数 l l 称称为矩矩阵 A 的的特征特征值，非零向量，非零向量 x 称称为 A 对应于特征于特征值 l l 的的特征向量特征向量Ax=l l x=l lE x 非零向量非零向量 x 满足足(Al lE)x=0（零向量）（零向量）齐次次线性方程性方程组有非零解有非零

3、解系数行列式系数行列式|Al lE|=0特特征征方方程程特特征征多多项项式式n特征方程特征方程|Al lE|=0n特征多特征多项式式|Al lE|二、基本性质二、基本性质n在复数范在复数范围内内 n 阶矩矩阵 A 有有 n 个特征个特征值（重根按重数（重根按重数计算）算）n设 n 阶矩矩阵 A 的特征的特征值为 l l1,l l2,l ln，则l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当

4、当 l l1=2 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l2=4 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=1，l l2

5、=l l3=2 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l1=1 时，因为时，因为解方程组解方程组(A+E)x=0解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2=l l3=2 时，因为时，因为解方程组解方程组(A2E)x=0解得基础解系解得基础解系 k2 p2+k3 p3（k2,k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量二、基本性质二、基本性质n在复数范在复数范围内内 n 阶矩矩阵 A 有有 n 个

6、特征个特征值（重根按重数（重根按重数计算）算）n设 n 阶矩矩阵 A 的特征的特征值为 l l1,l l2,l ln，则l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|n若若 l l 是是 A 的一个特征的一个特征值，则齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系就是就是对应于特征于特征值为 l l 的全体特征向量的最大无关的全体特征向量的最大无关组例：例：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1)l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2)当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值结论：结论：若非零向量

7、若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则pl l2 是是 A2 的特征值，的特征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，的特征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，的特征值，对应的特征向量仍然是对应的特征向量仍然是 p 二、基本性质二、基本性质n在复数范在复数范围内内 n 阶矩矩阵 A 有有n 个特征个特征值（重根按重数（重根按重数计算）算）n设 n 阶矩矩阵 A 的特征的特征值为 l l1,l l2,l ln，则l l1+l l2+l

8、ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|n若若 l l 是是 A 的一个特征的一个特征值，则齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系就是就是对应于特征于特征值为 l l 的全体特征向量的最大无关的全体特征向量的最大无关组n若若 l l 是是 A 的一个特征的一个特征值，则 j j (l l)=a0+a1 l l+am l l m是矩是矩阵多多项式式 j j (A)=a0+a1 A+am A m 的特征的特征值例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1,1,2，求，求A*+3A2E 的特征值的特征值解：解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A

9、2E=j j (A)其中其中|A|=1(1)2=2 设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值，p 是是对应的特征向量对应的特征向量令令则则定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关例：例：设设 l l1 和和 l l2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2，证明证明 p1+p2不是不是 A 的特征向量的特征向量