第五章数值积分与微分PPT讲稿.ppt

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1、第五章数值积分与微分1第1页，共139页，编辑于2022年，星期三IntroductionIntroductionIntroduction numerical integral Introduction numerical integral 数值积数值积分概述分概述Newton-Cotes 求积公式求积公式Gauss 求积公式求积公式Numerical differential 数值微分数值微分第2页，共139页，编辑于2022年，星期三1 Introduction numerical integral Introduction numerical integral Algebral accu

2、racy 代数精度代数精度Interplation numerical integral formula 插值型求积公式插值型求积公式第3页，共139页，编辑于2022年，星期三For但是在工程技术和科学研究中但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象常会见到以下现象:Newton-Leibniz:（1）f(x)的解析式根本不存在，只给出了的解析式根本不存在，只给出了f(x)的一些数的一些数值；值；（2）f(x)的原函数的原函数F(x)求不出来，如求不出来，如F(x)不是初等函数；不是初等函数；（3）f(x)的表达式结构复杂，求原函数较困难的表达式结构复杂，求原函数较困难.以上这些现象，以上

3、这些现象，Newton-Leibniz公式很难发挥作用，公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法只能建立积分的近似计算方法.1.1 Algebral accuracy 第4页，共139页，编辑于2022年，星期三上式称上式称数值求积公式数值求积公式.由定积分的定义由定积分的定义知，知，定积分是和的极限定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为，若用和式近似，则可表示为Main idea:利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近似值定积分的近似值,无需寻求原函数无需寻求原函数.第5页，共139页，编辑于2022年，星期三 为了使一

4、个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就要求它对尽可能多的被为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立积函数都准确地成立.因此定义因此定义代数精度代数精度的概念的概念:定义定义1.若求积公式若求积公式 则称该求积公式具有则称该求积公式具有m次的代数精度次的代数精度.代数精度也称代数精度也称代数精确度代数精确度第6页，共139页，编辑于2022年，星期三使其代数精度尽量高，并指出其代数精度使其代数精度尽量高，并指出其代数精度.Ex设有求积公式设有求积公式试确定系数试确定系数解：解：令公式依次对令公式依次对都精确成立，即都精确成立，即

5、第7页，共139页，编辑于2022年，星期三故该求积公式应为故该求积公式应为对对有有即对即对也精确成立，也精确成立，但对但对不能精确成立，不能精确成立，因此该求积公式具因此该求积公式具3次代数精度次代数精度.解得解得第8页，共139页，编辑于2022年，星期三若已知函数若已知函数f(x)在在a,b上一组节点值上一组节点值ax0 x1xnb以及函数值以及函数值 f(x0)，f(x1),f(xn)，构造，构造f(x)的的n次次Lagrange插值多项式：插值多项式：1.2 插值型求积公式插值型求积公式则则若记若记第9页，共139页，编辑于2022年，星期三则则插值型求积公式插值型求积公式Ai为求积

6、系数为求积系数.余项：余项：（1）当）当f(x)取次数取次数n的多项式时，的多项式时，R0，即含，即含n+1个节点的个节点的插值型求积公式至少具有插值型求积公式至少具有n次代数精度次代数精度.注：注：（2）特别地，当）特别地，当f(x)1时，有时，有第10页，共139页，编辑于2022年，星期三2 Newton-Cotes 求积公式求积公式Newton-cotes公式的导出公式的导出几种低阶求积公式及其余项几种低阶求积公式及其余项偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度复合求积公式复合求积公式第11页，共139页，编辑于2022年，星期三2.1 Newton-Cotes公式的导出公式的导出

7、设函数设函数f(x)Ca,b,将积分区间将积分区间a,bn等分，步长等分，步长h=(b-a)/n，节点节点xk=a+kh为为等距节点等距节点.Newton-Cotes公式是指公式是指等距节点下等距节点下使用使用Lagrange插值插值多项式建立的数值求积公式多项式建立的数值求积公式.由插值型求积公式由插值型求积公式知知第12页，共139页，编辑于2022年，星期三可得可得引进变换引进变换x=a+th，则有，则有dx=hdt，xk-xj=(k-j)h，x-xj=(t-j)h，第13页，共139页，编辑于2022年，星期三所以插值型求积公式化为所以插值型求积公式化为称称Newton-cotes公式

8、公式，式中，式中ck(n)称称Cotes 柯特斯系数柯特斯系数.记记第14页，共139页，编辑于2022年，星期三在在Newton-Cotes公式中，公式中，n=1,2,4时的公式是最常用也时的公式是最常用也最重要的三个公式，称为最重要的三个公式，称为低阶公式低阶公式.1.梯形梯形(trapezia)公式及其余项公式及其余项 P77-P78Cotes系数为系数为求积公式为求积公式为2.2 几种低阶求积公式及其余项几种低阶求积公式及其余项第15页，共139页，编辑于2022年，星期三上式称为上式称为梯形求积公式梯形求积公式,也称也称两点公式两点公式，记为，记为梯形公式的余项为梯形公式的余项为即即

9、几何意义如右图：几何意义如右图：第16页，共139页，编辑于2022年，星期三梯形梯形(trapezia)公式具有公式具有1次代数精度次代数精度.故故第17页，共139页，编辑于2022年，星期三2.Simpson公式及其余项公式及其余项 P78Cotes系数为系数为求积公式为求积公式为第18页，共139页，编辑于2022年，星期三上式称为上式称为Simpson求积公式求积公式，也称，也称三点公式或抛物线三点公式或抛物线公式公式.记为记为Simpson公式的余项：公式的余项：Simpson公式具有公式具有3次代数精度次代数精度.即即第19页，共139页，编辑于2022年，星期三3.Cotes公

10、式及其余项公式及其余项Cotes系数为系数为第20页，共139页，编辑于2022年，星期三求积公式为求积公式为上式称为上式称为Cotes求积公式求积公式，也称，也称五点公式五点公式.记为记为Cotes公式的余项：公式的余项：Cotes公式具有公式具有5次代数精度次代数精度.第21页，共139页，编辑于2022年，星期三注：注：n 8时，时，Cotes系数出现负数，会引起误差增系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定大，计算不稳定.因此，在实际应用中一般不使用高阶因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，公式，而是采用低阶复合求积法而是采用低阶复合求积法.Cotes系数表：系

11、数表：n Ck(n)1234581/2 1/2 1/6 4/6 1/6 1/8 3/8 3/8 1/87/90 16/45 2/15 16/45 7/9019/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288989/28350 5888/28350 -928/28350 10496/28350 -4540/28350 第22页，共139页，编辑于2022年，星期三待定系数法待定系数法 利用待定系数法可以得出各种求积公式，而且可以利用待定系数法可以得出各种求积公式，而且可以具有尽可能高的代数精度具有尽可能高的代数精度.定理：定理：使求积公式至少有使求积公式至少有n n次次

12、在区间在区间 a a,b b 上上,对于给定对于给定n+1n+1个互异节点，个互异节点，总存在求积系数总存在求积系数事实上，只要令求积公式对于事实上，只要令求积公式对于都能准确成立即可得到下式：都能准确成立即可得到下式：代数精度代数精度.第23页，共139页，编辑于2022年，星期三 则可通过给定的则可通过给定的n n+1+1个节点得到上述含个节点得到上述含n n+1+1个未知个未知数、数、n n+1+1个方程的方程组个方程的方程组.第24页，共139页，编辑于2022年，星期三若求积节点互异，则若求积节点互异，则从而可得唯一解从而可得唯一解 从而构造出至少具有从而构造出至少具有n n次代数精

13、度的求积公式次代数精度的求积公式.第25页，共139页，编辑于2022年，星期三 ExampleExample：确定求积公式确定求积公式解：求积公式中含有一个待定参数，解：求积公式中含有一个待定参数，当当f f(x x)=1,)=1,x x 时时,有有 中中的的待待定定参参数数，使使其其代代数数精精度度尽尽量量高高，并并指指明明所所构构造造的求积公式具有的代数精度的求积公式具有的代数精度.第26页，共139页，编辑于2022年，星期三故令求积公式对故令求积公式对f f(x x)=)=x x2 2成立成立,即即得得令令 代入已求得的求积公式，显然代入已求得的求积公式，显然故故 具有具有三三次代数

14、精度次代数精度.令令第27页，共139页，编辑于2022年，星期三4 偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度研究研究Simpson公式，是二阶公式，是二阶Newton-Cotes公式，因此公式，因此至少具有二次代数精度至少具有二次代数精度.将将f(x)=x3代入代入Simpson公式：公式：直接对直接对f(x)=x3求积，得求积，得有有 I2(f)=I，又易证，又易证Simpson公式对公式对f(x)=x4不能够准不能够准确成立确成立.故故Simpson公式具有公式具有3次代数精度次代数精度.第28页，共139页，编辑于2022年，星期三定理：定理：当当n为偶数时，为偶数时，Newton

15、-Cotes公式至少具有公式至少具有n+1次代数精度次代数精度.证明：证明：只要验证当只要验证当n为偶数时，公式对为偶数时，公式对 f(x)=xn+1余项为余项为零即可零即可.由余项公式由余项公式又又故故第29页，共139页，编辑于2022年，星期三此时，被积函数此时，被积函数是奇函数，故是奇函数，故Rf=0.If n is even，then n/2 is 整数，再令整数，再令t=u+n/2，得，得Letting x=a+th，then xj=a+jh，so we have第30页，共139页，编辑于2022年，星期三当积分区间当积分区间a,b的长度较大，而节点个数的长度较大，而节点个数n+

16、1固定时，固定时，直接使用直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大公式的余项将会较大.而如果增加节点个数，即而如果增加节点个数，即n+1增加时，公式的舍入增加时，公式的舍入误差又很难得到控制误差又很难得到控制.为了提高公式的精度为了提高公式的精度,又使算法简单易行又使算法简单易行,往往使用复往往使用复合方法：合方法：即将积分区间即将积分区间a,b分成若干个子区间，然后在每个分成若干个子区间，然后在每个小区间上使用低阶小区间上使用低阶Newton-Cotes公式，最后将每个公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加小区间上的积分的近似值相加.2.3 复合求积公式复合求积公式第31页，共

17、139页，编辑于2022年，星期三将将a,bn等分，等分，h=(b-a)/n，在每个子区间，在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,n-1)上采用梯形公式，得上采用梯形公式，得1、复化梯形公式、复化梯形公式记记第32页，共139页，编辑于2022年，星期三复合梯形公式的余项：复合梯形公式的余项：由于由于即有即有由由得得设被积函数设被积函数f(x)C2a,b，第33页，共139页，编辑于2022年，星期三又由又由第34页，共139页，编辑于2022年，星期三 将将a,bn等分，在每个子区间等分，在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,n-1)上采用上采用Simpson公式，若记公式，若记xk+1

18、/2=xk+h/2，则可得，则可得复合复合Simpson公式形公式形式为式为2、复化、复化Simpson公式公式 P84第35页，共139页，编辑于2022年，星期三复合复合Simpson公式的余项：公式的余项：则当n足够大时，复合Simpson公式的余项为：第36页，共139页，编辑于2022年，星期三3、复化、复化Cotes公式公式复合复合Cotes公式的余项：公式的余项：第37页，共139页，编辑于2022年，星期三比较三种复合公式的余项：比较三种复合公式的余项：第38页，共139页，编辑于2022年，星期三EX1.Sol:为简单起见为简单起见,依次使用依次使用8阶复合梯形公式、阶复合梯

19、形公式、4阶阶复合复合Simpson公式和公式和2阶复合阶复合Cotes公式公式.可得各节点的值如下表：可得各节点的值如下表：0 10.125 0.997397870.25 0.989615840.375 0.976726740.5 0.958851080.625 0.936155640.75 0.908851680.875 0.87719257 1 0.84147098第39页，共139页，编辑于2022年，星期三分别由复合分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有公式有原积分的精确值为原积分的精确值为精度最高精度次高精度最低第40页，共139页，编辑于2022年，星期三 含含2

20、n+2个待定参数个待定参数xk,Ak(k=0,1,n)，当当x取等距节点时得到取等距节点时得到的插值型求积公式的代数精度至少为的插值型求积公式的代数精度至少为n次，若适当选取次，若适当选取xk(k=0,1,n)，有可能使求积公式具有可能使求积公式具2n+1次代数精度，这次代数精度，这类求积公式称类求积公式称Gauss求积公式，求积公式，xk 为为Gauss点点.3 Gauss求积公式求积公式 P94公式公式只要取只要取 f(x)=xm 对对m=0,1,2n+1精确成立，即精确成立，即解得解得Ak 及及xk即可得即可得Gauss求积公式求积公式.第41页，共139页，编辑于2022年，星期三Ex

21、 构造下列积分的构造下列积分的Gauss求积公式：求积公式：Sol：令其对：令其对f(x)=1，x，x2，x3 精确成立，得精确成立，得第42页，共139页，编辑于2022年，星期三故求积公式为故求积公式为上式即为上式即为两点两点Gauss求积公式，至少具求积公式，至少具3次代数精度次代数精度.注：注：对积分区间对积分区间a,b，作变换作变换则则求积公式为求积公式为第43页，共139页，编辑于2022年，星期三据定义求据定义求xk，Ak，计算复杂，计算复杂.故从分析故从分析Gauss点的特性来构造点的特性来构造Gauss公式公式.定理：定理：插值型求积公式插值型求积公式的节点的节点ax0 x1

22、0.其中其中第94页，共139页，编辑于2022年，星期三于是，于是，将将-1,1变到变到a,b对对(1)作变量替换作变量替换:得得 由于由于在在-1,1上无穷次可微，上无穷次可微，且且 第95页，共139页，编辑于2022年，星期三结论：结论：对于那些使对于那些使满足满足 m为某个正整数为某个正整数)的函数的函数用复化梯形求积公式来计算用复化梯形求积公式来计算 可以得到很好的精度可以得到很好的精度.如果积分区间为如果积分区间为则可利用则可利用 及及 来作变量替换来作变量替换.第96页，共139页，编辑于2022年，星期三二、区间截去法二、区间截去法 基本思想基本思想：若能够选取小数若能够选取

23、小数(或大数或大数R),),使得使得或或上的积分值处在上的积分值处在允许误差范围之内允许误差范围之内，即即 或或则可将正常积分则可将正常积分 或或作为作为（或（或的的近似近似.第97页，共139页，编辑于2022年，星期三例例3 3 计算积分计算积分 上连续，上连续，由于在由于在0,1上，上，所以所以 假如精度要求为假如精度要求为则可取则可取从而从而 第98页，共139页，编辑于2022年，星期三例例4 4 计算积分计算积分 因为因为 当当时有时有所以对于所以对于的精度要求的精度要求 第99页，共139页，编辑于2022年，星期三三、三、Gauss型求积法型求积法 Gauss型求积公式也可型求

24、积公式也可计算某些奇异积分计算某些奇异积分或或无穷区间上的积分无穷区间上的积分 例：例：Gauss-Chebyshev求积公式求积公式 其中其中其本身就是其本身就是对奇异积分对奇异积分的一种算法的一种算法.第100页，共139页，编辑于2022年，星期三两种无穷区间上的两种无穷区间上的Gauss型求积公式型求积公式 1、Gauss-Laguerre公式公式上关于权函数上关于权函数的正交多项式为的正交多项式为 称为称为Laguerre多项式多项式.所以，所以，n点点Gauss-Laguerre求积公式为求积公式为 第101页，共139页，编辑于2022年，星期三其中其中是是的的n个零点，个零点，

25、求积系数求积系数 第102页，共139页，编辑于2022年，星期三2、Gauss-Hermite公式公式 上关于权函数上关于权函数的正交多项式为的正交多项式为 称为称为Hermite多项式多项式。于是于是n点点Gauss-Hermite求积公式为：求积公式为：第103页，共139页，编辑于2022年，星期三其中其中是是的的n个零点，个零点，求积系数求积系数 第104页，共139页，编辑于2022年，星期三四、乘积积分法四、乘积积分法 是接近奇异或奇异的函数，是接近奇异或奇异的函数，是光滑函数是光滑函数.考虑积分考虑积分其中其中基本思想基本思想：满足下列条件：满足下列条件：第105页，共139页

26、，编辑于2022年，星期三2、非常容易计算。非常容易计算。由此可得由此可得所以所以因此，因此，的一个逼近序列的一个逼近序列.是是第106页，共139页，编辑于2022年，星期三注意：注意：为为上上的步长为的步长为 的的分段多项式插值分段多项式插值.在实际应用中，常取在实际应用中，常取例例5 5、计算积分、计算积分 取取为分段线性插值多项式：为分段线性插值多项式：其中其中 第107页，共139页，编辑于2022年，星期三由由Lagrange插值余项定理知：插值余项定理知：在在上二阶连续可微时，上二阶连续可微时，当当有有因此因此可见，当可见，当n充分大时，充分大时，可作为可作为的近似值的近似值.第

27、108页，共139页，编辑于2022年，星期三其中其中第109页，共139页，编辑于2022年，星期三作变量替换作变量替换 则则 因此因此 可算。可算。第110页，共139页，编辑于2022年，星期三6 数值微分数值微分Example:已知已知20世纪美国人口的统计数据为：世纪美国人口的统计数据为：(单位单位:百万百万)年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 试计算美国试计算美国20世纪的世纪的(相对相对)年增

28、长率年增长率.若记若记t时刻的人口为时刻的人口为x(t)，则人口的相对增长率为：，则人口的相对增长率为：问题：问题：dx/dt如何求？如何求？第111页，共139页，编辑于2022年，星期三中点方法：中点方法：Idea：用函数值的线性组合用函数值的线性组合近似近似函数在某点的导数值函数在某点的导数值.用用差商差商近似导数，可得近似导数，可得向前差商：向前差商：向后差商：向后差商：（h为步长）为步长）一、差商方法一、差商方法第112页，共139页，编辑于2022年，星期三误差分析误差分析利用利用Taylor展式展式，有，有故故即中点方法的误差阶（即中点方法的误差阶（O(h2)）比前两种方法（）比

29、前两种方法（O(h)）高）高.第113页，共139页，编辑于2022年，星期三二、插值型求导公式二、插值型求导公式函数函数f(x)不一定给出，但知道不一定给出，但知道f(x)在节点处的函数值在节点处的函数值：如果如果f(x)的的n+1阶导数存在，由阶导数存在，由Lagrange插值插值可知可知Ln(x)为为f(x)的的n次次Lagrange插值多项式插值多项式.其中其中第114页，共139页，编辑于2022年，星期三对上式两边求导对上式两边求导,有有由于由于与与x有关，有关，f(n+1)()将很将很难难确定确定.但是当但是当x=xk时，时，f(xk)可以求出：可以求出：第115页，共139页，

30、编辑于2022年，星期三称为称为插值型求导公式插值型求导公式.由于插值型求导公式采取的是由于插值型求导公式采取的是n次次Lagrange插值多项式插值多项式,而而高高次插值会产生次插值会产生Runge现象现象，因此实际应用中多采用低次插值，因此实际应用中多采用低次插值型求导公式型求导公式.记记则则第116页，共139页，编辑于2022年，星期三低阶插值型求导公式低阶插值型求导公式1、两点公式：当当n=1时，时，由由得得若记若记x1-x0=h，则则第117页，共139页，编辑于2022年，星期三上面两式称为带余项的上面两式称为带余项的两点求导公式两点求导公式.即即由于由于E=O(h)，故该求导公

31、式的精度为，故该求导公式的精度为1阶阶.第118页，共139页，编辑于2022年，星期三2、三点公式：当当n=2时，时，由由得得若若x0,x1,x2为等距节点，即为等距节点，即h=x1-x0=x2-x1，则，则 第119页，共139页，编辑于2022年，星期三第120页，共139页，编辑于2022年，星期三又称为中点公式，其精度稍高又称为中点公式，其精度稍高.可得可得上式称为带余项的上式称为带余项的三点求导公式三点求导公式.其中其中由于由于E=O(h2)，故求导公式的精度为，故求导公式的精度为2阶阶.第121页，共139页，编辑于2022年，星期三3、五点公式：当当n=4时，时，第122页，共

32、139页，编辑于2022年，星期三综合考虑上述三种公式，可知五点公式的精度最高综合考虑上述三种公式，可知五点公式的精度最高.可发现可发现且且并且当步长并且当步长h越小时，误差会越小越小时，误差会越小.但，是不是但，是不是h越小公式精度越高呢？越小公式精度越高呢？上式称为带余项的上式称为带余项的五点求导公式五点求导公式.由于由于E=O(h4)，故求导公式的精度为，故求导公式的精度为4阶阶.由求导公式由求导公式第123页，共139页，编辑于2022年，星期三因此实际应用中步长因此实际应用中步长h不能取太小的值不能取太小的值.当当h充分小时，充分小时，fj(j=0,1,n)会很接近会很接近.中会出现

33、相近数相减的情形，有效数字会严中会出现相近数相减的情形，有效数字会严重损失，重损失，同时同时 中也会出现小数中也会出现小数h作除数的作除数的现象，现象，导致导致 的舍入误差可能会很大的舍入误差可能会很大.第124页，共139页，编辑于2022年，星期三两点公式和三点公式的比较图：两点公式和三点公式的比较图：第125页，共139页，编辑于2022年，星期三低阶插值型求导公式的分段构造由于高次插值的由于高次插值的Runge现象，数值微分一般采用分段低现象，数值微分一般采用分段低次插值公式，常见的就是分段两点、三点和五点公式次插值公式，常见的就是分段两点、三点和五点公式.1、分段两点求导公式对于对于

34、任取的相邻两点任取的相邻两点由两点公式有由两点公式有 上式称为上式称为分段两点公式分段两点公式.已知已知第126页，共139页，编辑于2022年，星期三2、分段三点求导公式对于任取的相邻三点由三点公式，有上式称为上式称为分段三点公式分段三点公式.第127页，共139页，编辑于2022年，星期三3.分段五点求导公式由五点公式，有由五点公式，有第128页，共139页，编辑于2022年，星期三Example:美国人口美国人口1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 199076.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3

35、204.0 226.5 251.4 解解:则先用精度较高的分段五点公式求出节点处的导数值求增长率必须先求导数 x=2.1508 1.3458 1.6158 1.1908 1.2267 2.5000 2.7633 2.3075 2.2692 2.8358r=dx/dt/x=0.0283 0.0146 0.0152 0.0097 0.0093 0.0166 0.0154 0.0113 0.0100 0.0113第129页，共139页，编辑于2022年，星期三将节点处的增长率作三次样条插值：节点处增长率的值每年增长率曲线图年份 增长率1900 0.02831901 0.02551902 0.0230

36、1935 0.00821936 0.00811937 0.00831953 0.01721954 0.01721979 0.01001980 0.01001981 0.01091989 0.01111990 0.0113第130页，共139页，编辑于2022年，星期三三、样条求导公式三、样条求导公式Lagrange插值型求导公式构造比较简单，但由于误差的原插值型求导公式构造比较简单，但由于误差的原因，只能求出节点处的导数值因，只能求出节点处的导数值.可采用三次样条插值的原理进行求导，即先作可采用三次样条插值的原理进行求导，即先作f(x)的三的三次样条插值多项式次样条插值多项式S(x)，再求，再

37、求S(x)在任意一点的一阶甚至二阶在任意一点的一阶甚至二阶导数导数.第131页，共139页，编辑于2022年，星期三四 利用数值积分求导 是一个充分光滑的函数，设则有：(*)例如对 用辛普森求积公式，则有第132页，共139页，编辑于2022年，星期三在上式中略去余项，并记 的近似值 则得到辛普森数值微分公式这是关于 这 个未知量的 个方组。若 已知，则可得这是一个三对角方程，易求解。第133页，共139页，编辑于2022年，星期三Ex：给定 的一张数据表，并给定 及 的值，利用辛普森数值微分公式求 在 上的一阶导数。解：由数据可得原始数据和计算结果见下页。第134页，共139页，编辑于202

38、2年，星期三 vpa(sqrt(101),10)ans=10.04987562010010.000000000.05000000110110.049875620.0497518590.04975185210210.099504940.0495073770.049507376310310.148891570.0492664630.049266463410410.198039030.0490290330.049029033510510.246950770.048795003第135页，共139页，编辑于2022年，星期三五五 数值微分的外推算法数值微分的外推算法利用一阶差商中的中点方法，有利用一阶

39、差商中的中点方法，有对对f(x)在在x点作点作Taylor展开：展开：故故以以h/2代替上式中的代替上式中的h，有，有第136页，共139页，编辑于2022年，星期三所以有所以有上式是关于导数的逼近，截断误差为上式是关于导数的逼近，截断误差为O(h4)，这就是求，这就是求数值导数值导数的外推算法数的外推算法.重复使用外推算法，对重复使用外推算法，对h逐次分半，若记逐次分半，若记G0(h)=G(h)，则有，则有(m=1,2,)计算过程：计算过程：误差：误差：第137页，共139页，编辑于2022年，星期三Ex：用外推法计算：用外推法计算 在在x=0.5处的导数处的导数.解：令解：令当当h=0.1，0.05，0.025时，由外推法表可得时，由外推法表可得f(0.5)的精确值为的精确值为0.454897994，可见当，可见当h=0.025时，用中点时，用中点微分公式只有三位有效数字微分公式只有三位有效数字.外推一次达五位，外推两次达外推一次达五位，外推两次达9位位.第138页，共139页，编辑于2022年，星期三P1032，3，6HW第139页，共139页，编辑于2022年，星期三