高等数学方明亮51 定积分的概念与性质.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）1/21/20231返回返回上页上页下页下页目录目录第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用（Definite Integrals and its Application）积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分1/21/20232返回返回上页上页下页下页目录目录主主 要要 内内 容容第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 第四节第四节 反常积分反常积分第五节第

2、五节 定积分的元素法及其应用定积分的元素法及其应用1/21/20233返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第五章第五章（Conceptions and Properties of Definite Integrals）一、一、引引 例例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质1/21/20234返回返回上页上页下页下页目录目录一、引一、引 例例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积1/21/20235返回返回上页上页下页下页目录目录1)大化小大化小.在区间 a

3、,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤解决步骤:1/21/20236返回返回上页上页下页下页目录目录4)取极限取极限.令则曲边梯形面积3)近似和近似和.1/21/20237返回返回上页上页下页下页目录目录设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变常代变.得已知速度n 个小段过的路程为2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1/21/20238返回返回上页上

4、页下页下页目录目录4)取极限取极限.上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限3)近似和近似和.1/21/20239返回返回上页上页下页下页目录目录二、定积分定义二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作1/21/202310返回返回上页上页下页下页目录目录积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和定积分仅与被积函数及积分

5、区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即1/21/202311返回返回上页上页下页下页目录目录定理定理1 定理定理2 且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:定理定理3 应当指出的是，应当指出的是，定积分的定义很重要，定积分的定义很重要，今后学习二重、三重积分、曲今后学习二重、三重积分、曲线与曲面积分时，线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，它们统称为它们统称为黎曼积分黎曼积分.1/21/202312返回返回上页上页下页下页目录目录例例1（习题（习题

6、51 4）利用定义计算定积分解解:将 0,1 n 等分,分点为取（自学课本（自学课本 例例1）1/21/202313返回返回上页上页下页下页目录目录曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和定积分的几何意义定积分的几何意义:1/21/202314返回返回上页上页下页下页目录目录1/21/202315返回返回上页上页下页下页目录目录三、定积分的性质三、定积分的性质（设所列定积分都存在）（设所列定积分都存在）(k 为常数)证证:=右端1/21/202316返回返回上页上页下页下页目录目录证证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是1/21/2023

7、17返回返回上页上页下页下页目录目录则有当 a,b,c 的相对位置任意时,例如1/21/202318返回返回上页上页下页下页目录目录则证证:推论推论1 若在 a,b 上则6.若在 a,b 上1/21/202319返回返回上页上页下页下页目录目录证证:即7.设则推论推论2 积分估值积分估值定理定理1/21/202320返回返回上页上页下页下页目录目录证证:例例3（补充题）（补充题）试证:在区间0,10,1上单调递增，利用积分估值定理积分估值定理，得（自学课本（自学课本例例34）1/21/202321返回返回上页上页下页下页目录目录则至少存在一点使证证:则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值

8、定理,使因此定理成立.8.积分中值定理积分中值定理1/21/202322返回返回上页上页下页下页目录目录 可把故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因说明说明:1/21/202323返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.定积分定积分定义定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2.定积分的定积分的几何意义几何意义3.定积分存在的定积分存在的3个个充分性条件充分性条件4.定积分的定积分的8条条基本性质基本性质课后练习课后练习习题习题5-1 1（2）（）（4）；）；7；8（利用定积分几何意义）；（利用定积分几何意义）；91/21/202324返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限:解解:或或1/21/202325返回返回上页上页下页下页目录目录如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 提示提示:极限为极限为 0!思考思考:1/21/202326返回返回上页上页下页下页目录目录证明：证明：故原式得证.单调递减1/21/202327