2-1数列的极限.ppt

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1、第二章第二章第二章第二章 极限和连续极限和连续极限和连续极限和连续 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支微分学和积分学。第一章 1 1、割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在我国古代数学家刘徽在九章算术九章算术中利中利用圆内接正多边形计算圆面积的方法用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术割圆术，就是极限思想在几何上的应用。就是极限思想在几何上的应用。一、问题的提出 “割之弥细，所失弥少

2、，割之又割，以至于不可割，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积 说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.1416。二、数列的极限二、数列的极限 1、数列：数列：nunO.例如例如一般写成：一般写成：自变量取正整数的函数称为自变量取正整数的函数称为数列数列,记作记作或或称为称为通项通项(一般项一般项).注：注：2）数列对应着数轴上一个点列，可看作

3、）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取一动点在数轴上依次取1）数列是以自然数为定义域的函数）数列是以自然数为定义域的函数例如,2、数列极限的定义数列极限的定义从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的属性属性收敛性收敛性。正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积抛开具体含义，抽象得到数学模型抛开具体含义，抽象得到数学模型数列极限数列极限。图形演示图形演示播放播放问题问题1 1、当当n时时,xn某确定数值？若是某确定数值？若是,如何确定？如何确定？问题问题2 2、“无限接近无限接近”意味什么？如何用数

4、学语言刻划它意味什么？如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:定性定义：定性定义：设设 un 为一数列为一数列,若存在常数若存在常数a,对任给对任给定的正数定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数N ,使得当使得当n N 时，恒有时，恒有 不等式不等式|un -a|都成立都成立,则称常数则称常数 a是数列是数列un 的极限的极限,或者称数列或者称数列un 收敛于收敛于a,记为记为 或或 。发散：如果数列没有极限，就说数列是发散的。发散：如果数列没有极限，就说数列是发散的。几点说明：几点说明：2)N的存在依赖的存在依赖，刻画，刻画“n无限增大无限

5、增大”的程度的程度1)的任意性，不等式的任意性，不等式|un-a|X 时，恒有时，恒有|f(x)-A|成立，成立，则称则称x趋于无穷大时函数趋于无穷大时函数f(x)以以A为极限。记为：为极限。记为：2 2、定义、定义 “-X”定义定义 x+及及 x-情形情形21 一月 202346几何意义21 一月 202347例例1证证水平渐近线21 一月 20234821 一月一月 202349三、函数极限的性质三、函数极限的性质1、唯一性唯一性：2、有极限函数的局部有界性有极限函数的局部有界性 3、局部保号性、局部保号性推论推论21 一月 202350例例9注：函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.21 一月 202351四、小结与思考判断题21 一月 2023521 2 3作业：作业：P37 1（3）、）、2（1、2）