2-2 离散型随机变量及其分布.ppt

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1、第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结三、小结说明说明 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为解解则有则有例例1也可写成也可写成 PX=k=(1 p)kp,k=0,1,2,3,PX=4=(1 p)4.二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分布它的分布律为律为则称则

2、称 X 服从服从(01)分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 PX=k=pk(1 p)1 k k=0,1 0 p 1.表格形式为表格形式为:实例实例1 1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情况观察正、反两面情况.随机变量随机变量 X 服从服从(01)分布分布.其分布律为其分布律为实例实例2 2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合件不合格品格品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那么那么,若规定若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单

3、的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明说明2.等可能等可能分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有则有将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称

4、这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的,或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1)重复独立试验重复独立试验3.二项分布二项分布(2)n 重重伯努利试验伯努利试验 实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.(3)二项概率公式二项概率公式且两两且两两互不相容互不相容.称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布两点两点分布分布二项分布的图形二项

5、分布的图形分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例例2设设 X 为为20只产品中一级品的数量只产品中一级品的数量,则则 X b(20,0.2).于是于是 计算结果如下计算结果如下:PX=0=0.012PX=1=0.058PX=2=0.137PX=3=0.205PX=4=0.218PX=5=0.175PX=6=0.109PX=7=0.055PX=8=0.022PX=9=0.007PX=10=

6、0.002PX=k 10 图形图形:规规律律:当当 k 增增加加时时,概概率率 PX=k 先先增增并并达达到到最最大大值值,随随后后单单调调减减少少.解解因此因此例例3(1)对对于于发发生生概概率率低低的的事事件件,如如果果试试验验独独立立进进行行多多次次,事件必然发生事件必然发生;(2)若若本本例例中中400次次射射击击中中中中靶靶不不到到两两次次,可可以以认认为为命中率不到命中率不到0.02.不能轻视小概率事件不能轻视小概率事件.说明说明:对于本例的结果在实际中反映出这样两个问题对于本例的结果在实际中反映出这样两个问题:例例4 80台台同同类类型型设设备备,各各台台工工作作相相互互独独立立

7、,发发生生故故障障的的概概率率都都是是0.01,且且一一台台设设备备的的故故障障能能由由一一人人处处理理.考考虑虑两两种种配配备备维维修修工工人人的的方方法法:其其一一由由4人人维维护护,每每人人负负责责20台台;其其二二由由三三人人共共同同维维护护80台台.比比较较这这两两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率.解解 第第一一种种方方式式.记记 X 为为“第第一一人人维维护护的的20台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故障障的的台台数数”,Ai 表表示示事事件件“第第 i 人人维维护护的的20台台中中发发生生故故障障不不能能及及时时维维修修”(i=1,

8、2,3,4),且且80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为 则则 X b(20,0.01),=0.0169 即即 第二种方式第二种方式:记记 Y 为为“80台中同一时刻发生故障的台中同一时刻发生故障的台数台数”,则则 Y b(80,0.01).则则80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为=0.0087 因此第二种方式更科学因此第二种方式更科学.工作效率提高了工作效率提高了.另解另解 按第一种方法按第一种方法故有故有即有即有 按第二种方法按第二种方法故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为 有一繁忙的

9、汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则解解例例故所求概率为故所求概率为二项二项分布分布 泊松分布泊松分布可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算4.泊松分布泊松分布 泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在

10、观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.电

11、话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出二项二项分布分布 泊松分布泊松分布泊松定理泊松定理 设设 是一个常数，是一个常数，n是任意正整数，设是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数，则对于任一固定的非负整数 k，有，有:证明证明由由 ，有：，有：对任意固定的对任意固定的k，当，当n时，时，得证。得证。说明：说明：在在 （常数）中，当（常数）中，当n很大时，很大时，pn必定很小。必定很小。因此，当因此，当n很大时，有近似式：很大时，有近

12、似式：即：即：n很大时，二项分布的概率值可以由泊松分布的很大时，二项分布的概率值可以由泊松分布的概率值近似计算。概率值近似计算。例例5 计计算算机机硬硬件件公公司司制制造造某某种种特特殊殊型型号号的的微微型型芯芯片片，次次品品率率达达0.1%，各各芯芯片片成成为为次次品品相相互互独独立立。求求在在1000只只产产品品中中至至少少有有2只只次次品品的的概概率率。以以X记记产产品品中中的次品数，的次品数，Xb(1000,0.001)解解也可用泊松分布近似计算，得：也可用泊松分布近似计算，得：结论结论：当当n20，p0.05时，用时，用近似效果好。近似效果好。5.几何分布几何分布 若随机变量若随机变

13、量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实实例例 设设某某批批产产品品的的次次品品率率为为 p,对对该该批批产产品品做做有有放放回回的的抽抽样样检检查查,直直到到第第一一次次抽抽到到一一只只次次品品为为止止(在在此此之之前前抽抽到到的的全全是是正正品品),那那么么所所抽抽到到的的产产品品数数 X 是是一个随机变量一个随机变量,求求X 的分布律的分布律.解解所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说说明明 几几何何分分布布可可作作为为描描述述某某个个试试验验 “首首次次成成功功”的概率模型的概率模型.离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布三、小结三、小结1、