向量空间的正交化.ppt

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1、第七章 向量空间的正交性一一 向量的内积向量的内积定义定义1 对对n 维向量空间维向量空间中的向量中的向量为为定义定义中内积中内积到实数集到实数集R的函数，的函数，当当注：注：上述定义中给出的内积满足：上述定义中给出的内积满足：（1）交换性交换性：（2）线性性线性性：（3）非负性非负性：当且仅当当且仅当时，等号成立时，等号成立的长度，的长度，定义定义2 2(1)称非负实数称非负实数记为记为为向量为向量中两向量中两向量(2)(2)定义定义称称 为与为与同向的单位向量，同向的单位向量，向量的单位化。向量的单位化。从从的过程也称为的过程也称为称长度为称长度为1 1的向量为单位向量，的向量为单位向量，

2、长度不为长度不为1 1，则可取，则可取 如果非零向量如果非零向量的的都正交的单位向量。都正交的单位向量。例例1 1 求与求与正交。正交。定义定义3 3，则称向量，则称向量零向量与任何向量都正交。零向量与任何向量都正交。都正交都正交解：设解：设与与则则对系数矩阵对系数矩阵A作初等行变换作初等行变换所以所以再单位化得再单位化得为所求向量。为所求向量。是单位向量，则称该向量组为标准正交组。是单位向量，则称该向量组为标准正交组。故一个向量组是标准正交组的充要条件是故一个向量组是标准正交组的充要条件是二二 向量的正交性向量的正交性，若它们两两正交，若它们两两正交，称这个向量组为正交向量组。称这个向量组为

3、正交向量组。又若每一个向量又若每一个向量定理定理1 1设一个向量组设一个向量组若正交向量组若正交向量组中不含零向量，则中不含零向量，则线性无关。线性无关。，所以，所以证明：证明：对任意常数对任意常数，两边用，两边用作内积，作内积，线性无关。线性无关。即向量组即向量组又因为又因为 因为为标准正交基。为标准正交基。则称则称向量组的条件，即向量组的条件，即在空间在空间中，若一组基中，若一组基满足标准正交满足标准正交中的一组基，这种基称为正交基。中的一组基，这种基称为正交基。因此它们可以作为因此它们可以作为向量组，它们是线性无关的，向量组，它们是线性无关的，空间空间中一定存在中一定存在n 个非零向量组

4、成的正交个非零向量组成的正交注：注：例如例如 中的自然基中的自然基也是标准正交基。也是标准正交基。是是中的一组标准正交基，而中的一组标准正交基，而设设三三、Schmidt正交化方法正交化方法向量组。向量组。空间中的线性无关空间中的线性无关下述方法称为下述方法称为Schmidt正交化方法，正交化方法，它是把线性无关向量组，它是把线性无关向量组，转变为正交向量组的方法。转变为正交向量组的方法。（当（当r=nr=n时，就是时，就是R Rn n空间里的一组基）空间里的一组基）但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组；但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组；（当（当r=n时，这组向量组不定是（标准）正

5、交基）时，这组向量组不定是（标准）正交基）然后单位化：然后单位化：即为标准正交基。即为标准正交基。当当时，时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基正交化方法就可以将一组基化为正交基化为正交基则则是正交向量组。是正交向量组。所得向量组所得向量组书例书例2（3）四、四、正交矩阵正交矩阵A是正交矩阵。是正交矩阵。若若A为正交阵，则为正交阵，则（1）（2）（4）若若A，B为正交阵，则为正交阵，则AB也为正交阵也为正交阵定义定义设设A是是n阶的实矩阵，若阶的实矩阵，若，则称，则称正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：也为正交阵也为正交阵量都是单位向量且两两正交。量都是单位向量且两两正交。，则，则即即得证得证定理定理2A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向的行（列）向证明：令证明：令书例书例3