第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱—方.ppt

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1、第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱讲授的主要内容1.非正弦周期信号及其分解复习傅里叶级数；2.非正弦周期信号的频谱、平均值、有效值、平均功率的概念和计算；3.非正弦周期信号稳态电路的分析法谐波分析法；4.*对称三相电路的高次谐波。5.第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱基本要求了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念。理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方法。掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算，了解滤波器的概念。重点非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；非正弦周

2、期电流电路的平均功率；非正弦周期电流电路的计算方法(叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理)。第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱 难点叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用；非正弦周期电流电路功率的计算。本章与其它章节的联系本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱13-1 非正弦周期信号13-1 1

3、3-1 非正弦周期信号非正弦周期信号 实践中会碰到许多非正弦信号，原因有1.激励本身是非正弦信号；交流发电机的电压严格地说是非正弦量，在电子信息、通信工程、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号。2.电路中含有非线性元件 (如整流电路等)。非正弦信号有周期性和非周期性之分。周期信号满足 f(t)=f(t+kT)当 f(t)不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。13-1 13-1 非正弦周期信号非正弦周期信号实践中常见的非正弦周期信号otuTotiT2T方波锯齿波iotT尖顶脉冲otuT全波整流数字电路、计算机的CP等通过显像管偏转线圈的扫描电流晶闸管的触发脉冲等桥式或全波整流电

4、路的输出波形13-1 13-1 非正弦周期信号非正弦周期信号实践中常见的非正弦周期信号（续）iotT尖顶波正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形uotT三角波PWM调制器的时间基准信号波形uotT半波整流otuT阶梯波由数字电路或计算机产生的正弦信号半波13-1 13-1 非正弦周期信号非正弦周期信号非正弦非正弦周期量周期量(激励激励)不同频率不同频率正弦量的和正弦量的和各个正弦量各个正弦量单独作用下单独作用下的响应分量的响应分量非正弦非正弦稳态量稳态量(响应响应)FourierFourier正弦稳态分析正弦稳态分析叠加定理叠加定理？l 非正弦周期电流电路的分析方法非正弦周期电流电路的分析方法-谐

5、波分谐波分析法析法谐波分析法示意图谐波分析法示意图 谐波分析法的实质是把非正弦周期电流电路的计算化为谐波分析法的实质是把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。一系列正弦电流电路的计算。第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱13-2 周期函数分解为傅里叶级数13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数1.非正弦周期函数的分解根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t)满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。系数a0、ak、bk 分别为：f(t)=a0+akcos(kw1t)+bksin(kw1t)k=1a0

6、=T10Tf(t)dtak=T20Tf(t)cos(kw1t)dtbk=T20Tf(t)sin(kw1t)dt从三角函数的性质从三角函数的性质来理解这个系数来理解这个系数13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数根据给定 f(t)的形式，积分区间也可以改为：积分区间也可以是 02p 或-pp，例如：ak=p1f(t)cos(kw1t)d(w1t)-pp对 a0、bk也作同样的处理。a0=T10Tf(t)dtak=T20Tf(t)cos(kw1t)dtbk=T20Tf(t)sin(kw1t)dt-2T2T02pak=p1f(t)cos(kw1t)d(w1t)13-2 1

7、3-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数ak、bk的意义也不明确。将展开式合并成另一种形式余弦级数：令 ak=Akmcosfk bk=-Akmsinfk 则 f(t)=A0+k=1Akmcos(kw1t+fk)式中：Akm=ak2+bk2fk=arctgak-bkf(t)=a0+akcos(kw1t)+bksin(kw1t)k=113-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 A0 是 f(t)的恒定分量，或称为直流分量。k=1的项 Amcos(w1t+f1)具有与 f(t)相同的频率，称

8、基波分量。基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。k2的各项，分别称为二次，三次谐波等。或统称高次谐波。Akm=ak2+bk2fk=arctgak-bkf(t)=A0+k=1Akmcos(kw1t+fk)13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数2.非正弦周期信号的频谱 f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的f(t)，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。振幅频谱：f(t)展开式中Akm与w(=kw1)的关系。反映了各频率成份的振幅所占的“比重”。因k 是正整数

9、，故频谱图是离散的，也称线频谱。相位频谱：指f k与w 的关系。f(t)=A0+k=1Akmcos(kw1t+fk)13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数锯齿波的振幅频谱图 今后若无说明，均指振幅频谱。iotI-IT/2-T/2TowIkm/2w12w13w14w15w1I/pI/2pI/3pI/4pi(t)=p2Icos(w1t-90o)+21cos(2w1t+90o)+31cos(3w1t-90o)+41cos(4w1t+90o)+锯齿波的傅里叶级数展开式为13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数3.波形特征及其与级数分解的关系(1

10、)若f(t)为“镜”对称 满足 f(t)=-f(tT/2)则a2k=b2k=0 即展开式中无直流分量；不含偶次谐波。otf(t)T/2T移动半个周期，得另半个周期的镜像知A0是f(t)在一个周期内与横轴围成的面积。所以即使f(t)不是“镜”对称，只要它的正、负半周与横轴围成的面积相等，就有A0=0。另外，对某些 f(t)，求A0时也可以不用积分。t1A由 A0=T10Tf(t)dt13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数(2)若f(t)是偶函数 即满足 f(t)=f(-t)则 bk=0。(3)若f(t)是奇函数 即满足 f(-t)=-f(t)outT/2-T/2io

11、tTT2-T2则 ak=0，只求bk即可：A0=T20f(t)dtT2ak=T40f(t)cos(kw1t)dtT2bk=T40f(t)sin(kw1t)dtT213-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数(4)若f(t)为半波对称 即满足f(t)=f(tT/2)则a2k+1=b2k+1=0 展开式中不含奇次谐波。对某些f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起点)，就变为偶函数或奇函数。Akm与计时起点无关，由于ak、bk与计时起点有关，所以fk与计时起点有关。但各次谐波的相对位置不变。也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到原函数的系数。otuT/2-T/2TT是整流电

12、源周期13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数解：f(t)是奇函数，ak=0所以只需求bk即可。结果见教材P320。otf(t)T/2-T/2Em-EmTw1t2pp-p例1：求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。=0k 为偶数kp4Emk 为奇数若将坐标右移T/4ot1f1(t1)Em-Emw1tT4-T4p-p则新旧函数的关系为：f(t)=f1(t1)bk=p20Em sin(kw1t)d(w1t)p=2Emkp1-cos(kp)=f1 t-4T13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数由对称性可知：A0=0，bk=0。ot1f1(t1)

13、Em-Emw1tT4-T4p-pk 为偶数，ak=0。k 为奇数，f1(t1)=或者：ak=p20Emcos(kw1t1)d(w1t1)p=p20Emcos(kw1t1)d(w1t1)p2p(-Em)cos(kw1t1)d(w1t1)p2+=kp 4Em sin2kp ak=kp 4Em(-1)2k-1p 4Em cos(w1t1)-31cos(3w1t1)+51cos(5w1t1)+f1(t1)=p 4Em Sk=1(-1)k-12k-1 1cos(2k-1)w1t113-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数若需要写 f(t)的展开式，f(t)4Emp4Em3p4E

14、m5p4Em7powAkmw13w15w17w19w1频谱图=f1 t-4Tf(t)=p 4Em cos(w1t-4w1T)-31cos(3w1t-43w1T)+因 w1T=2p 所以 w1T/4=p/2f(t)=p 4Em sin(w1t)+31sin(3w1t)+51sin(5w1t)+13-2 13-2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数理论上，一个收敛的傅里叶级数要取无穷多项，才能准确代表原函数。13次，1.05Em；35次，0.98Em。ow1tf(t)分析时还应考虑频率响应。如：在某个(些)频率下可能发生谐振等。取前3项的情况f(t)=p 4Em sin(w1t)+3

15、1sin(3w1t)+51sin(5w1t)+实用中，根据展开式的收敛速度和误差要求取前几项，高次谐波可以忽略。方波的展开式收敛速度比较慢：在w1t=p/2时，取到11次谐波，f(p/2)0.95Em；第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱13-3 有效值、平均值和平均功率13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1.有效值当給出的电流(或电压)是波形或不是展开式时，用定义式直接计算。为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入定义式积分。I=T10Ti2(t)dt 回忆三角函数的性质：sin2、cos2 在一个周期内的积分为 ；正

16、交性质(kq)T102pcoskwt sinqwt d(wt)=002pT1coskwt cosqwt d(wt)=002pT1sinkwt sinqwt d(wt)=013-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：i=I0+Sk=1Ikm cos(kw1t+fk)i2=I0 2+2I0 Sk=1Ikm cos(kw1t+fk)+k=1SIkm cos(kw1t+fk)2 Sk=1Ikmcos2(kw1t+fk)+2Sk=12Ikmcos(kw1t+fk)Iqmcos(qw1t+fq)积分结果为零积分结果为零2cos2a=1+cos2

17、a 该项的积分结果为：Sk=1Ik 2 第一项的积分结果为：T10TI0 dt=I0 22 该项可化为(kq)13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为 对非正弦周期电压当給出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算。I0+2 Sk=1Ik 2 I=周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。此结论可以推广用于其他非正弦周期量。I02+I12+I22+I32+=U0+2 Sk=1Uk 2 U=13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率2.平均值 对同一非正弦量进行测量时，不同类

18、型的仪表有不同的结果：UavdefT10T|i|dtUavot|i|T/2T直流仪表(磁电系仪表)表针的偏转角所以测量结果T10Ti dta是恒定分量A0。交流仪表(电磁系仪表)表针的偏转角所以测量结果T10Ti2 dta是有效值。全波整流(磁电系)仪表表针的偏转角所以测量结果T10T|i|dta是平均值。13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率3.平均功率Uk、Ik是第k次谐波的有效值。jk是第k次谐波电流与电压的相位差。任意一端口+-uiP=T10Tui dtP=U0 I0+k=1Uk Ikcosjk设 i=I0+Sk=1Ikm cos(kw1t+fik)u=U

19、0+Sk=1Ukm cos(kw1t+fuk)因电流与电压的参考方向关联，故一端口吸收的瞬时功率为 p=ui。所以平均功率为积分结果为第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱13-4 非正弦电流电路的计算13-4 13-4 非正弦电流电路的计算非正弦电流电路的计算分解；计算；叠加。把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。注意交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值；L、C 对直流分量、各次谐波分量的“态度”是不同的：XkL=kwLXkC=

20、kwC113-4 13-4 非正弦电流电路的计算非正弦电流电路的计算例2uS=10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t)+28.28 cos(5w1t)+20.20 cos(7w1t)+15.71 cos(9w1t)+V,试求 i 和P。k=0，因C有隔直作用所以I0=0，P0=0k=1，基波作用.Im(1)=3-j9.45141.4 0o解：分析步骤分解；已是级数形式。分别求各分量单独作用的结果；注意感抗、容抗与频率的关系！=14.26 72.39o AP(1)=I(1)2R=21Im(1)2R=305.02WRC+-uSi3W-j9.45W13-4 13-4 非正弦电

21、流电路的计算非正弦电流电路的计算同理可求得：和 P(5)、P(7)、P(9)。用叠加原理，按时域形式叠加k=3，XC(3)=31XC(1)=39.45=3.15W.Im(3)=3-j3.1547.13 0o=10.83 46.4o AP(3)=I(3)2R=21Im(3)2R=175.93 W.Im(5)、.Im(7)、.Im(9)i=14.26cos(w1t+72.39o)P=P0+P(1)+P(3)+P(9)注意：同频率的电压电流构成有功功率。RC+-uSi3W-j9.45W72.39o A,.Im(1)=14.26P(1)=305.02W+10.83cos(3w1t+46.4o)+=66

22、9.8W13-4 13-4 非正弦电流电路的计算非正弦电流电路的计算例3：已知 L=0.1H，C3=1mF，电容C1中只有基波电流，电容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。给定LC2C1C3iSi1i2i3200W100W解：C1中只有基波电流，说明 L和 C2对三次谐波 发生并联谐振。所以：C2=w2L1=910mFC3中只有三次谐波电流，说明 L、C1、C2jwC11+j(wL-1/wC2)L/C2=0C1=980mFiS=5+20cos1000t+10cos3000t A对基波发生串联谐振。所以：13-4 13-4 非正弦电流电路的计算非正弦电流电路的计算LC2C1C3iS

23、i1i2i3200W100W直流作用时 I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用时串联谐振 i2(1)=20cos1000t Ai1(1)=i3(1)=0 三次谐波作用时 C1C3i1(3)i2(3)i3(3)200W100W并联谐振iS(3)=10cos3000t.I3m(3)=100+200-j103/310010=9-j1030=2.23 48o A.I1m(3)=.IS(3)-.I3m(3)=8.67-11o A13-4 13-4 非正弦电流电路的计算非正弦电流电路的计算LC2C1C3iSi1i2i3200W100W直流作用时 I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基

24、波作用时 i2(1)=20cos1000t Ai1(1)=i3(1)=0 三次谐波作用时的瞬时值i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A 按时域形式叠加：i1=5+8.67cos(3000t-11o)Ai2=20cos1000t Ai3=2.23cos(3000t+48o)A .I3m(3)三次谐波作用时=2.23 48o A.I1m(3)=8.67-11o A第第13章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱13-5 对称三相电路的高次谐波13-5 13-5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波io

25、wt三相发电机、变压器、电动机等都带有铁心，所以由它们组成的对称三相电路，其电压、电流都可能含有高次谐波分量。根据对称三相电源的概念，若A相电压 uA=u(wt)则 uB=u(wt-120o)，由于三相发电机每相电压或电流总是奇函数，uC=u(wt+120o)uowt所以傅里叶级数展开式中不含偶次谐波。13-5 13-5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波以电压为例，若uA的展开式为：注意到三角函数的周期性，上述三相电压的展开式可以整理为uA=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)+则 uB、uC分

26、别为：uB=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3)+Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7)+uC=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3)+Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7)+13-5 13-5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波uA=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)+uB=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3c

27、os(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7)+uC=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t-120o+f5)+Um7cos(7w1t+120o+f7)+基波、7次、(6n+1)次谐波 n为自然数 分别是正序对称的三相电压，构成正序组；5次、11次、(6n+5)次谐波分别构成负序组；3次、9次、(6n+3)次谐波 分别构成零序组；即三相对称非正弦周期量可分解为三类对称组。13-5 13-5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波在对称非正弦情况下1.对Y连接的电源，相电压含

28、全部谐波分量Uph=Uph1+Uph3+Uph5+222线电压中不含零序组 (uAB=uA-uB)2.由正序组和负序组电源、对称负载组成的对称三相电路，仍可分别归结为一相计算，方法同11-3。对零序组，由于中点电压不为零，所以不能归结为一相计算。分两种情况：Ul=Ul1+Ul5+Ul7+2223或 Ul=Uph1+Uph5+Uph7+22213-5 13-5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波G 无中线时UNN=Uph3+Uph9+22由于负载电流没有零序分量，所以负载相电压中也没有零序分量。负载端线电压仍是相电压的3 倍。A 当有中线时，中线中有零序组电流分量。注意到零序分量的特点

29、，不难分别算出零序组谐波电流。负载(相)电流、线电流不含零序组分量。中点之间的电压只含零序组分量：iN+-+-+-ABCRCNNuARAiARBuBuCiBiC13-5 13-5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波3.电源接成时+-uA+-uB+-uCABC正序组和负序组的回路电压为零。但零序组的回路电压不为零，将产生环流：I(3)=3Z33Uph3=Z3Uph3I(9)=Z9Uph9由于电压都降落在内阻抗上。所以电源端线电压只含正序组和负序组分量。即这一点与Y连接一样。Ul=Ul1+Ul5+Ul7+222电源的接法能消除零序电压对系统的影响。13-5 13-5 对称三相电路的高次谐波对称三相电路的高次谐波思考：打开缺口时，电压表的读数为本章结束+-uA+-uB+-uCABCVA.正序电压分量。B.负序电压分量。C.零序电压分量。