第六章11高数同济习题课.ppt

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1、上页下页结束返回首页习题课1.定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法基本方法:微元分析法微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳 等.转动惯量.定积分的应用 第六六章 上页下页结束返回首页3、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形上页下页结束返回首页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数上页下页结束返回首页极坐标情形极坐标情形上页下页结束返回首页(2)体积体积xyo上

2、页下页结束返回首页平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积总习题总习题19上页下页结束返回首页(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B B曲线弧为曲线弧为上页下页结束返回首页C C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo上页下页结束返回首页(5)变力所作的功变力所作的功(6)水压力水压力上页下页结束返回首页(7)引力引力(8)函数的平均值函数的平均值4、定积分应用的例题、定积分应用的例题上页下页结束返回首页例例1.求抛物线求抛物线在在(0,1)内的一条切线内的一条切线,使它与使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两

3、坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为它与它与 x,y 轴的交点分别为轴的交点分别为所指面积所指面积上页下页结束返回首页且为最小点且为最小点.故所求切线为故所求切线为得得 0,1 上的唯一驻点上的唯一驻点上页下页结束返回首页例例2.设非负函数设非负函数曲线曲线与直线与直线及坐标轴所围图形及坐标轴所围图形(1)求函数求函数(2)a 为何值时为何值时,所围图形绕所围图形绕 x 轴一周所得旋转体轴一周所得旋转体解解:(1)由方程得由方程得面积为面积为 2,体积最小体积最小?即即故得故得上页下页结束返回首页又又(2)旋转体体积旋

4、转体体积又又为唯一极小点为唯一极小点,因此因此时时 V 取最小值取最小值.上页下页结束返回首页例例3.证明曲边扇形证明曲边扇形绕极轴绕极轴证证:先求先求上微曲边扇形上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积绕极轴旋转而成的体积体积微元体积微元故故旋转而成的体积为旋转而成的体积为上页下页结束返回首页故所求旋转体体积为故所求旋转体体积为例例4.求由求由与与所围区域绕所围区域绕旋转所得旋转体体积旋转所得旋转体体积.解解:曲线与直线的交点坐标为曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点曲线上任一点到直线到直线的距离为的距离为则则上页下页结束返回首页例例5.半径为半径为 R,密度为密度为的球沉入深为的球沉入深为H(H 2

5、 R)的水池底的水池底,水的密度水的密度多少功多少功?解解:建立坐标系建立坐标系如图如图.则对应则对应上球的薄片提到上球的薄片提到水面上水面上的的微功微功为为提出提出水面后水面后的的微功微功为为现将其从水池中取出现将其从水池中取出,需做需做微元体积微元体积所受重力所受重力上升高度上升高度上页下页结束返回首页因此因此微功元素微功元素为为球从水中提出所做的功为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零偶倍奇零”上页下页结束返回首页例例6.设有半径为设有半径为 R 的半球形容器如图的半球形容器如图.(1)以每秒以每秒 a 升的速度向空容器中注水升的速度向空容器中注水,求水深为求水深为为为h(0 h R)时水面

6、上升的速度时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最求将其全部抽出所做的功最少应为多少少应为多少?解解:过球心的纵截面过球心的纵截面建立坐标系建立坐标系如图如图.则半圆方程为则半圆方程为设经过设经过 t 秒容器内水深为秒容器内水深为h,上页下页结束返回首页(1)求求由题设由题设,经过经过 t 秒后容器内的水量为秒后容器内的水量为而高为而高为 h 的球缺的体积为的球缺的体积为半球可看作半圆半球可看作半圆绕绕 y 轴旋转而成轴旋转而成体积元素体积元素:故有故有两边对两边对 t 求导求导,得得at(升升),上页下页结束返回首页(2)将满池水全部抽出所做的最少功将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提为将全部水提对应于对应于微元体积微元体积:微元的重力微元的重力:薄层所需的薄层所需的功元素功元素故所求功为故所求功为到池沿高度所需的功到池沿高度所需的功.上页下页结束返回首页t解解存在性存在性上页下页结束返回首页由零点定理由零点定理唯一性唯一性由于由于上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页作业作业P288 2;3;6;7;9