第八讲控制系统的数学描述与建模PPT讲稿.ppt

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1、第八讲控制系统的数学描述与建模第1页，共31页，编辑于2022年，星期三按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。第一节第一节 系统的分类系统的分类传递函数模型传递函数模型 tf，零极点增益模型零极点增益模型 zpk，状态空间模型状态空间模型 ss，频率，频率响应数据模型响应数据模型 frd。线线性性连连续续系系统统：用用线线性性微微分分方方程程式式来来描描述述，如如果果微微分分方方程程的的系系数数为为常常数数，则则为为定定常常系系统统；如如

2、果果系系数数随随时时间间而而变变化化，则则为为时时变变系系统统。今今后后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。线线性性定定常常离离散散系系统统：离离散散系系统统指指系系统统的的某某处处或或多多处处的的信信号号为为脉脉冲冲序序列列或或数数码形式。这类系统用差分方程来描述。码形式。这类系统用差分方程来描述。非非线线性性系系统统：系系统统中中有有一一个个元元部部件件的的输输入入输输出出特特性性为为非非线线性性的的系系统。统。第2页，共31页，编辑于2022年，星期三n微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、微分方程是控制系统模型的基础，一

3、般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。微分方程。n如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。行性能分析。n通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性

4、微分方程，解析解是这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。第二节第二节 线性定常连续系统的微分方程模型线性定常连续系统的微分方程模型第3页，共31页，编辑于2022年，星期三第三节第三节 传递函数描述传递函数描述一、连续系统的传递函数模型一、连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下：连续系统的传递函数如下：对对线线

5、性性定定常常系系统统，式式中中s的的系系数数均均为为常常数数，且且a1不不等等于于零零，这这时时系系统统在在MATLAB中中可可以以方方便便地地由由分分子子和和分分母母系系数数构构成成的的两两个个向向量量唯唯一一地地确确定定出出来来，这这两个向量分别用两个向量分别用num和和den表示。表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1调用格式：调用格式：G=tf(num,den)注意：注意：它们都是按它们都是按s的降幂进行排列的。的降幂进行排列的。第4页，共31页，编辑于2022年，星期三举例举例1：传递函数描述：传递函数描述num=12,24,0,20;den=2

6、4 6 2 2;G=tf(num,den)Transfer function:12 s3+24 s2+20-2 s4+4 s3+6 s2+2 s+2第5页，共31页，编辑于2022年，星期三举例举例2：传递函数描述：传递函数描述num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);G=tf(num,den)Transfer function:4 s5+56 s4+288 s3+672 s2+720 s+288-s7+6 s6+14 s5+21 s4+24 s3+17 s2+5 s借助多

7、项式乘法函数借助多项式乘法函数conv来处理：来处理：第6页，共31页，编辑于2022年，星期三在在MATLAB中零极点增益模型用中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：矢量组表示。即：z=z1,z2,zm,p=p1,p2,.,pn,K=kG=zpk(z,p,k)%零极点增益模型零极点增益模型函数函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。可以用来求传递函数的零极点和增益。z,p,k=tf2zp(num,den)二、零极点增益模型二、零极点增益模型K为系统增益，为系统增益，zi为零点，为零点，pj为极点为极点零零极极点点模模型型实实际际上上是是传传递递函函数数模模型型的的另另一一种

8、种表表现现形形式式，其其原原理理是是分分别别对对原原系系统统传传递递函函数数的的分分子子、分分母母进进行行分分解解因因式式处处理理，以以获获得得系系统统的的零零点点和和极极点点的表示形式。的表示形式。第7页，共31页，编辑于2022年，星期三num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50;z,p,k=tf2zp(num,den)z=0 -6 -5p=-3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000k=1结果表达式：结果表达式：G=zpk(z,p,k)Zero/pole/gain:s(s+6)(s+5)-(s+2)(s+1)(s2 +6

9、s+25)零极点增益模型：零极点增益模型：第8页，共31页，编辑于2022年，星期三n控控制制系系统统常常用用到到并并联联系系统统，这这时时就就要要对对系系统统函函数数进进行行分分解解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。使其表现为一些基本控制单元的和的形式。n函函数数r,p,k=residue(b,a)对对两两个个多多项项式式的的比比进进行行部部分分展展开开，以及把传函分解为微分单元的形式。以及把传函分解为微分单元的形式。向向量量b和和a是是按按s的的降降幂幂排排列列的的多多项项式式系系数数。部部分分分分式式展展开开后后，留留数数返返回回到到向向量量r，极极点点返返回回到到列列向向量量p，

10、常常数数项项（直直项项）返返回回到到k。nb,a=residue(r,p,k)可可 以以 将将 部部 分分 分分 式式 转转 化化 为为 多多 项项 式式 比比p(s)/q(s)。三、部分分式展开三、部分分式展开第9页，共31页，编辑于2022年，星期三num=2,0,9,1;den=1,1,4,4;r,p,k=residue(num,den)p=0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k=2r=0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000结果表达式：结果表达式：num,den=residue(r,p,k)b=2.0000 0.0

11、000 9.0000 1.0000a=1.0000 1.0000 4.0000 4.0000部分分式展开：部分分式展开：第10页，共31页，编辑于2022年，星期三 状状态态方方程程与与输输出出方方程程的的组组合合称称为为状状态态空空间间表表达达式式，又又称称为为动动态态方方程程，经经典典控控制制理理论论用用传传递递函函数数将将输输入入输输出出关关系系表表达达出出来来，而而现现代代控控制制理理论论则则用用状状态态方方程程和和输输出出方方程程来来表表达达输输入入输输出出关关系系，揭揭示示了了系系统统内内部部状状态态对对系系统统性性能的影响。能的影响。第四节第四节状态空间描述状态空间描述在在MAT

12、LAB中，系统状态空间用（中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。矩阵组表示。调用格式：调用格式：G=ss(A,B,C,D)第11页，共31页，编辑于2022年，星期三举例：举例：A=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;B=4 6;2 4;2 2;1 0;C=0 0 2 1;8 0 2 2;D=zeros(2,2);%产生全零矩阵产生全零矩阵 G=ss(A,B,C,D)系统为一个两输入两输出系统系统为一个两输入两输出系统第12页，共31页，编辑于2022年，星期三a=x1 x2 x3 x4 x1 1 6 9 10 x2 3 12 6 8 x3 4

13、 7 9 11 x4 5 12 13 14 b=u1 u2 x1 4 6 x2 2 4 x3 2 2 x4 1 0c=x1 x2 x3 x4 y1 0 0 2 1 y2 8 0 2 2 d=u1 u2 y1 0 0 y2 0 0Continuous-time model.第13页，共31页，编辑于2022年，星期三n在在一一些些场场合合下下需需要要用用到到某某种种模模型型，而而在在另另外外一一些些场场合合下下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。n模型转换的函数包括：模型转换的函数包括：residue：传递函数模型与部分分式模型互换：传递函数模

14、型与部分分式模型互换ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型零极点增益模型转换为传递函数模型第五节第五节模型的转换与连接模型的转换与连接一、模型的转换一、模型的转换第14页，共31页，编辑于2022年，星期三用法举例：用法举

15、例：1）已知系统状态空间模型为：）已知系统状态空间模型为：A=0 1;-1-2;B=0;1;C=1,3;D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用来指定第用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1.0000 5.0000 2.0000den=1 2 1z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z=-4.5616 p=-1 k=1 -0.4384 -1第15页，共31页，编辑于2022年，星期三2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：G=G11，G12，G13num=0 0-2

16、;0-1-5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A=-6 -11 -6 B=1 C=0 0 -2 D=0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 第16页，共31页，编辑于2022年，星期三3）系统的零极点增益模型：）系统的零极点增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num=0 0 6 18 den=1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a=-1.0000 0 0 b=1 2.0000-7.0000-3.1623 1 0 3.1623 0 0 c=

17、0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。第17页，共31页，编辑于2022年，星期三4）已知部分分式：）已知部分分式：r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num=2 0 9 1den=1 1 4 4第18页，共31页，编辑于2022年，星期三1、并联：、并联：parallel格式：格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)并联连接两个状态空间系统。并联连接两个状态空间系统。a,b,

18、c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)ninp1和和inp2分分别别指指定定两两系系统统中中要要连连接接在在一一起起的的输输入入端端编编号号，从从u1,u2,un依依次次编编号号为为1,2,n；out1和和out2分分别别指指定定要要作作相相加加的的输输出出端端编编号号，编编号号方方式式与与输输入入类类似似。inp1和和inp2既既可可以以是是标标量量也也可可以以是是向向量量。out1和和out2用用法法与与之之相相同同。如如inp1=1,inp2=3表示系统表示系统1的第一个输入端与系统的第一个输入端与系统2的第三个

19、输入端相连接。的第三个输入端相连接。n若若inp1=1 3,inp2=2 1则则表表示示系系统统1的的第第一一个个输输入入与与系系统统2的的第第二二个个输输入入连连接，以及系统接，以及系统1的第三个输入与系统的第三个输入与系统2的第一个输入连接。的第一个输入连接。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)n将并联连接的传递函数进行相加。将并联连接的传递函数进行相加。n并联系统的并联系统的LTI模型可以由模型可以由Matlab命令给出：命令给出：G=G1+G2二、模型的连接二、模型的连接第19页，共31页，编辑于2022年，星期三2、串联：、串联：series格式

20、：格式：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)串联连接两个状态空间系统。串联连接两个状态空间系统。a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2)out1和和in2分别指定系统分别指定系统1的部分输出和系统的部分输出和系统2的部分输入进行连接。的部分输入进行连接。num,den=series(num1,den1,num2,den2)将串联连接的传递函数进行相乘。将串联连接的传递函数进行相乘。串联系统的串联系统的LTI模型可以由模型可以由Matlab命令给出：命令给出：G=G1*G2第20页，共31页，编辑于

21、2022年，星期三3、反馈：、反馈：feedback格式：格式：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)n将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统为对象，系统2为反馈控制器。为反馈控制器。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)n系系统统1的的所所有有输输出出连连接接到到系系统统2的的输输入入，系系统统2的的所所有有输输出出连连接接到到系系统统1的的输输入入，sign用用来来指指示示系系统统2输输出出到到系系统统1输输入入的的连连接接符符号号，si

22、gn缺缺省省时时，默默认为负，即认为负，即sign=-1。总系统的输入。总系统的输入/输出数等同于系统输出数等同于系统1。第21页，共31页，编辑于2022年，星期三3、反馈：、反馈：feedbacka,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)n部部分分反反馈馈连连接接，将将系系统统1的的指指定定输输出出out1连连接接到到系系统统2的的输输入入，系系统统2的输出连接到系统的输出连接到系统1的指定输入的指定输入inp1，以此构成，以此构成 闭环系统。闭环系统。num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,si

23、gn)n可可以以得得到到类类似似的的连连接接，只只是是子子系系统统和和闭闭环环系系统统均均以以传传递递函函数数的的形形式式表示。表示。sign的含义与前述相同。的含义与前述相同。第22页，共31页，编辑于2022年，星期三4、闭环：、闭环：cloop（单位反馈）（单位反馈）格式：格式：ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,sign)n通通过过将将所所有有的的输输出出反反馈馈到到输输入入，从从而而产产生生闭闭环环系系统统的的状状态态空空间间模模型型。当当sign=1时时采采用用正正反反馈馈；当当sign=-1时时采采用用负负反反馈馈；sign缺省时，默认为负反馈。缺省时，默认为负反

24、馈。ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs)n表表示示将将指指定定的的输输出出outputs反反馈馈到到指指定定的的输输入入inputs，以以此此构构成成闭闭环环系系统统的的状状态态空空间间模模型型。一一般般为为正正反反馈馈，形形成成负反馈时应在负反馈时应在inputs中采用负值。中采用负值。numc,denc=cloop(num,den,sign)n表表示示由由传传递递函函数数表表示示的的开开环环系系统统构构成成闭闭环环系系统统，sign意意义义与上述相同。与上述相同。第23页，共31页，编辑于2022年，星期三n举例应用：举例应用：1）系统系统1为

25、：为：系统系统2为：为：n求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单按单位负反馈连接时的状态方程。位负反馈连接时的状态方程。第24页，共31页，编辑于2022年，星期三ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,sign)%单位反馈单位反馈 a1=0 1;1-2;b1=0;1;c1=1 3;d1=1;a2=0 1;-1-3;b2=0;1;c2=1 4;d2=0;a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%并并联联 G=G1+G2a=0 1 0 0 1 -2 0 0 0 0

26、 0 1 0 0 -1 -3b=0 1 0 1c=1 3 1 4d=1第25页，共31页，编辑于2022年，星期三串联：串联：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%G=G1*G2a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2，+1)%正反馈正反馈 a=0 1 0 0 -1 -3 1 3 0 0 0 1 0 0 1 -2b=0 1 0 1c=1 4 0 0d=0a=0 1 0 0 1 -2 1 4 0 0 0 1 1 3 0 1b=0 1 0 1c=1 3 1 4d=1第26页，共31页，编辑于2022年，星期三a,b,

27、c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%负反馈负反馈b=0 1 0 1c=1 3 -1 -4d=1a=0 1 0 0 1 -2 -1 -4 0 0 0 1 1 3 -2 -7 ac,bc,cc,dc=cloop(a1,b1,c1,d1,-1)%单位负反馈单位负反馈 ac=0 1.0000 0.5000 -3.5000bc=0 0.5000cc=0.5000 1.5000dc=0.5000第27页，共31页，编辑于2022年，星期三2）系统）系统1、系统、系统2方程如下所示。方程如下所示。第28页，共31页，编辑于2022年，星期三2）系统）系统1、系统、系统

28、2方程如下所示。方程如下所示。求求部分并联后的状态空间，要求部分并联后的状态空间，要求:u11与与u22连接，连接，u13与与u23连接，连接，y11与与y21连接。连接。a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)；inp1=1 3；inp2=2 3；out1=1;out2=1;第29页，共31页，编辑于2022年，星期三nctrb和和obsv函数可以求出状态空间系统的可控性和可观性矩阵。函数可以求出状态空间系统的可控性和可观性矩阵。n格式：格式：co=ctrb(a,b)ob=obsv(a,c)n对于对于nn矩阵矩

29、阵a，nm矩阵矩阵b和和pn矩阵矩阵cnctrb(a,b)可以得到可以得到nnm的可控性矩阵的可控性矩阵nco=b ab a2b an-1bnobsv(a,c)可以得到可以得到nmn的可观性矩阵的可观性矩阵nob=c ca ca2 can-1n当当co的秩为的秩为n时，系统可控；当时，系统可控；当ob的秩为的秩为n时，系统可观。时，系统可观。三、模型的属性三、模型的属性第30页，共31页，编辑于2022年，星期三本讲小结本讲小结n在进行控制系统的仿真之前，建立系统的模型表达式是关键的一步。在进行控制系统的仿真之前，建立系统的模型表达式是关键的一步。n对对于于控控制制系系统统，有有不不同同的的分分类类，在在本本课课程程中中主主要要讨讨论论的的是是线线性性定定常常连连续续系统系统n系系统统的的描描述述有有不不同同的的方方法法：微微分分方方程程；传传递递函函数数；零零极极点点增增益益模模式式；部部分分分分式式展展开；状态空间模型等。开；状态空间模型等。n系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种模型之间转换的命令。系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种模型之间转换的命令。n模模型型之之间间可可以以进进行行连连接接，要要求求掌掌握握常常用用的的模模型型连连接接命命令令：串串联联、并并联联、反馈及闭环。反馈及闭环。第31页，共31页，编辑于2022年，星期三