第六章矩阵位移法PPT讲稿.ppt

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1、第六章矩阵位移法第1页，共44页，编辑于2022年，星期三基本概念基本概念求解固体力学问题的方法求解固体力学问题的方法解析法解析法应用经典理论，具有精确解，但求解范围局限应用经典理论，具有精确解，但求解范围局限数值法数值法应用线性代数中的矩阵理论，具有近似解，能收敛于应用线性代数中的矩阵理论，具有近似解，能收敛于经典解答，求解范围广经典解答，求解范围广第2页，共44页，编辑于2022年，星期三结构的离散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法假定：采用等截面直杆单元，承受节点荷载（非节点荷载另行解决）假定：采用等截面直杆单元，承受节点荷载（非节点荷载另行解决）离散化的

2、基本原则：离散化的基本原则：在截面变化，荷载作用点，结构转折处编码、标注在截面变化，荷载作用点，结构转折处编码、标注坐标系的建立坐标系的建立整体（结构）坐标系（整体（结构）坐标系（x，y，z）局部坐标系（）局部坐标系（）a）轴从）轴从ijb）轴以）轴以i为原点将轴逆转度为原点将轴逆转度c)轴符合右手定则轴符合右手定则第3页，共44页，编辑于2022年，星期三一杆端位移的表示一杆端位移的表示单元单元i(j)端局部坐标系下沿端局部坐标系下沿方向的轴向位移分量方向的轴向位移分量单元单元i(j)端局部坐标系下沿端局部坐标系下沿方向的横向位移分量方向的横向位移分量单元单元i（j）端局部坐标系下绕着）端局

3、部坐标系下绕着方向的转角位移分量方向的转角位移分量结构的离散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法第4页，共44页，编辑于2022年，星期三二杆端力的表示二杆端力的表示轴力：单元轴力：单元i（j）端局部坐标）端局部坐标下的轴向力分量下的轴向力分量剪力：单元剪力：单元i（j）端局部坐标端局部坐标下的横向力分量下的横向力分量弯矩：单元弯矩：单元i（j）端局部坐标端局部坐标下的弯矩分量下的弯矩分量结构的离散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法第5页，共44页，编辑于2022年，星期三三杆端位移列阵三杆端位移列阵四杆端力列阵四杆端力列阵结构的离

4、散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法第6页，共44页，编辑于2022年，星期三单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）所谓单元刚度方程指的是单元杆端位移与杆端内力间关系的方程所谓单元刚度方程指的是单元杆端位移与杆端内力间关系的方程有两种处理方法。有两种处理方法。一先处理法及后处理法：是否先（后）处理边界条件一先处理法及后处理法：是否先（后）处理边界条件先处理法的优缺点：先处理法的优缺点：k阶数低，不统一阶数低，不统一后处理法的优缺点：后处理法的优缺点：k阶数高，统一，但有较多的零元素阶数高，统一，但有较多的零元素二不考虑杆端约束条件的刚度方程二不考虑杆端

5、约束条件的刚度方程桁架（轴力）单元的单元刚度矩阵桁架（轴力）单元的单元刚度矩阵）仅在）仅在i或或j端有单位位移时引起的杆端力端有单位位移时引起的杆端力第7页，共44页，编辑于2022年，星期三设设令令设设令令单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第8页，共44页，编辑于2022年，星期三）实际杆端位移引起的杆端力）实际杆端位移引起的杆端力单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第9页，共44页，编辑于2022年，星期三刚架类单元（不计轴向变形）刚架类单元（不计轴向变形）令令其他为零其他为零单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第10页，共44页，编辑于2022年，星

6、期三令令其他为零其他为零单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第11页，共44页，编辑于2022年，星期三令令其他为零其他为零单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第12页，共44页，编辑于2022年，星期三令令其他为零其他为零单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第13页，共44页，编辑于2022年，星期三汇总：汇总：单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第14页，共44页，编辑于2022年，星期三单元刚度矩阵中元素的物理意义：单元刚度矩阵中元素的物理意义：（）每个元素表示单元抵抗某方向的单位位移的能力（）每个元素表示单元抵抗某方向的单位位移的能力（）

7、单元刚度矩阵的某一行表示所有的单位杆端位移对某一杆端力（）单元刚度矩阵的某一行表示所有的单位杆端位移对某一杆端力的影响的影响（）某一列元素表示某一单位位移分别引起的各杆端力分量（）某一列元素表示某一单位位移分别引起的各杆端力分量考虑轴向变形的刚架类单元的单元刚度方程考虑轴向变形的刚架类单元的单元刚度方程杆端位移杆端位移单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）杆端力杆端力第15页，共44页，编辑于2022年，星期三单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第16页，共44页，编辑于2022年，星期三单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义：（）是一个关于主对角线对称的方阵，行

8、数杆端力数，（）是一个关于主对角线对称的方阵，行数杆端力数，列数杆端位移数列数杆端位移数（）行列式的值为零该方阵是一个奇异阵，即不可逆（无）（）行列式的值为零该方阵是一个奇异阵，即不可逆（无）也即不能由杆端力来求杆端位移，因为没有考虑边界条也即不能由杆端力来求杆端位移，因为没有考虑边界条件，故有不定解（有刚体位移）件，故有不定解（有刚体位移）（）将单元刚度矩阵用分块的子阵表示便于组装结构的总刚度矩阵（）将单元刚度矩阵用分块的子阵表示便于组装结构的总刚度矩阵单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）第17页，共44页，编辑于2022年，星期三单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换一坐

9、标转换矩阵一坐标转换矩阵由图示两种坐标系可知，力分量的由图示两种坐标系可知，力分量的代换关系为：代换关系为：由由x轴逆转，至轴为正轴逆转，至轴为正第18页，共44页，编辑于2022年，星期三单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换第19页，共44页，编辑于2022年，星期三即即同理同理二两种坐标系下单位刚度矩阵的关系二两种坐标系下单位刚度矩阵的关系整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换第20页，共44页，编辑于2022年，星期三小结：单元分析步骤小结：单元分析步骤建立坐标系（局部）、结构的离散化（节点、单元编号）建立坐标系（局部）、

10、结构的离散化（节点、单元编号）建立单元的杆端位移（力）列阵建立单元的杆端位移（力）列阵建立按各自局部坐标系，且不考虑边界条件的单元刚度矩阵建立按各自局部坐标系，且不考虑边界条件的单元刚度矩阵将局部坐标系下的转换到整体坐标系下的，且应表示将局部坐标系下的转换到整体坐标系下的，且应表示成分块的子阵形式（按节点编码）成分块的子阵形式（按节点编码）单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换第21页，共44页，编辑于2022年，星期三65非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理一基本原理一基本原理原则：使结构等效前后的结点位移保持不变原则：使结构等效前后的结点位移保持不变（固结）无任（固结）无任何结点

11、位移何结点位移（释放）（释放）第22页，共44页，编辑于2022年，星期三产生反力矩产生反力矩反向施反力（矩）反向施反力（矩）内力之一内力之一内力之二内力之二65非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理第23页，共44页，编辑于2022年，星期三二等效过程二等效过程（一）求各单元的固端内力（局部坐标系下）：（一）求各单元的固端内力（局部坐标系下）：号单元号单元：号单元号单元：5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理第24页，共44页，编辑于2022年，星期三号单元号单元：（二）转换为整体坐标系下的固端内力并反号（）得单元的等效（二）转换为整体坐标系下的固端内力并反号（）得单元的等效节点荷载节

12、点荷载单元的等效节点荷载：单元的等效节点荷载：号单元号单元：号单元号单元：5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理第25页，共44页，编辑于2022年，星期三号单元号单元：（三）在相关结点上迭加各单元的等效结点荷载为各结点的（三）在相关结点上迭加各单元的等效结点荷载为各结点的等效荷载等效荷载结点：结点：结点：结点：5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理第26页，共44页，编辑于2022年，星期三结点：结点：结点：结点：（四）若原结构某些结点尚作用有结点荷载，则应累加为（四）若原结构某些结点尚作用有结点荷载，则应累加为综合结点荷载综合结点荷载（五）等效后的杆端内力计算（五）等效后的杆端内力

13、计算5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理第27页，共44页，编辑于2022年，星期三6后处理法后处理法一原理一原理（一）先假设结构不受约束，即把支座暂视为可位移的，支反力（一）先假设结构不受约束，即把支座暂视为可位移的，支反力看作结点荷载，对各杆统一采用不考虑杆端约束条件的单看作结点荷载，对各杆统一采用不考虑杆端约束条件的单元刚度方程元刚度方程（二）用刚度集成法组装出一个在空间不受约束的总刚度矩阵（奇（二）用刚度集成法组装出一个在空间不受约束的总刚度矩阵（奇异阵）异阵）（三）引入边界条件，修正为符合实际支承条件的总刚度矩阵，用（三）引入边界条件，修正为符合实际支承条件的总刚度矩阵，用以求

14、解结点位移。以求解结点位移。二具体方法二具体方法（一）选择总体及局部坐标系，对结点、单元进行编码（一）选择总体及局部坐标系，对结点、单元进行编码（二）按总体坐标建立结点位移（力）列阵（二）按总体坐标建立结点位移（力）列阵第28页，共44页，编辑于2022年，星期三（三）按总坐标系由结点编码建立单元刚度矩阵（三）按总坐标系由结点编码建立单元刚度矩阵（分块矩阵）。（分块矩阵）。6后处理法后处理法(1)(2)(3)第29页，共44页，编辑于2022年，星期三（四）由结点平衡方程和位移连续条件导出结构原始总（四）由结点平衡方程和位移连续条件导出结构原始总刚度方程刚度方程将单元将单元的刚度方程展开的刚度

15、方程展开6后处理法后处理法第30页，共44页，编辑于2022年，星期三将单元将单元的刚度方程展开的刚度方程展开6后处理法后处理法第31页，共44页，编辑于2022年，星期三对结点建立隔离体平衡方程：对结点建立隔离体平衡方程：结点荷载（外力）杆端内力结点荷载（外力）杆端内力（a）4 位移连续条件位移连续条件（b）6后处理法后处理法第32页，共44页，编辑于2022年，星期三5 结构原始总刚度方程结构原始总刚度方程将（将（b）式代入（）式代入（a）得：）得：同理对结点，可得到：同理对结点，可得到：以上四式整理为矩阵形式：以上四式整理为矩阵形式：6后处理法后处理法第33页，共44页，编辑于2022年

16、，星期三6后处理法后处理法简写为：简写为：原始总刚度矩阵原始总刚度矩阵第34页，共44页，编辑于2022年，星期三直接刚度法集成原始总刚度矩阵直接刚度法集成原始总刚度矩阵）有关名词）有关名词主子块主子块总刚度矩阵中位于主对角线上的子块，其余称副子块总刚度矩阵中位于主对角线上的子块，其余称副子块相关结点相关结点两结点之间有杆件（单元）相连两结点之间有杆件（单元）相连相关单元相关单元汇交于同一结点上的若干单元汇交于同一结点上的若干单元）组装方法（）组装方法（“对号入座对号入座”）a）总刚度矩阵中的主子块由结点）总刚度矩阵中的主子块由结点i的各相关单元的主子块的各相关单元的主子块迭加得到，即迭加得到

17、，即b）副子块，当）副子块，当i、m为相关结点时即为连接它的单元的相为相关结点时即为连接它的单元的相应副子块，即；当应副子块，即；当i、m为非相关结点时，即为非相关结点时，即为零子块。为零子块。6后处理法后处理法第35页，共44页，编辑于2022年，星期三7直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法建立先考虑支承条件的单元刚度矩阵建立先考虑支承条件的单元刚度矩阵一简支连续梁单元的刚度方程一简支连续梁单元的刚度方程杆端位移：杆端位移：杆端内力：杆端内力：已知位移：已知位移：第36页，共44页，编辑于2022年，星期三若不计轴向变形：若不计轴向变形：二带悬臂的刚架单元：二带悬臂的刚架单元：7 直

18、接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法第37页，共44页，编辑于2022年，星期三7直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法第38页，共44页，编辑于2022年，星期三例用先处理法例用先处理法建立图示刚架的整体刚建立图示刚架的整体刚度矩阵度矩阵已知各杆已知各杆解：取各单元和节点编号、各单元的局部坐标系及结构的整体坐标系仍解：取各单元和节点编号、各单元的局部坐标系及结构的整体坐标系仍同例。同例。计算整体坐标系的单元刚度矩阵计算整体坐标系的单元刚度矩阵因各单元在结点、处为固定端，只有结点可发生位移，因各单元在结点、处为固定端，只有结点可发生位移，可将单元可将单元、都看作悬臂式单元。都看作悬

19、臂式单元。单元单元、：单元单元、的局部坐标系与结构的整体坐标一致，无坐标变的局部坐标系与结构的整体坐标一致，无坐标变7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法第39页，共44页，编辑于2022年，星期三换问题；直接应用式（换问题；直接应用式（a，b），得），得为清晰起见，在矩阵中各列及各行的上方或右方，分别表明为清晰起见，在矩阵中各列及各行的上方或右方，分别表明了所相应的位移或杆端力分量了所相应的位移或杆端力分量单元单元：由式（由式（b），得），得（a）（b）7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法第40页，共44页，编辑于2022年，星期三按表所列数据，单元按表所列数据，单元之

20、端的位移或杆端力分量在两种之端的位移或杆端力分量在两种坐标系中的变换矩阵为坐标系中的变换矩阵为于是有于是有7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法第41页，共44页，编辑于2022年，星期三（c）7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法第42页，共44页，编辑于2022年，星期三整体刚度矩阵整体刚度矩阵以表示结点的三个位移分量，由位移连续条件以表示结点的三个位移分量，由位移连续条件应有应有据此关系，由式（据此关系，由式（a）、（）、（b）、（）、（c）组成整体刚度矩阵为）组成整体刚度矩阵为将将E、I、A、l的数据代入，得的数据代入，得 7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先

21、处理法第43页，共44页，编辑于2022年，星期三本章小结本章小结了解矩阵位移法的求解思路及一些基本概念了解矩阵位移法的求解思路及一些基本概念）杆端位移（力）的表示方法，符号规则）杆端位移（力）的表示方法，符号规则）单元刚度矩阵中元素的物理意义）单元刚度矩阵中元素的物理意义a）某一行（列）元素的含义某一行（列）元素的含义b）性质）性质理解总刚度方程的物理意义理解总刚度方程的物理意义总刚度矩阵的组装方法（掌握）总刚度矩阵的组装方法（掌握）掌握用后处理法求解超静定梁，刚架的全过程掌握用后处理法求解超静定梁，刚架的全过程）按给定的坐标系建立单元刚度方程并转换）按给定的坐标系建立单元刚度方程并转换）组装原始总刚度矩阵，并按实际边界修正为）组装原始总刚度矩阵，并按实际边界修正为）按给定的结点位移求作内力图及支反力）按给定的结点位移求作内力图及支反力第44页，共44页，编辑于2022年，星期三