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1、第第 十十 章章电电磁磁振振荡荡 和和机机械械振振动动掌握:掌握:掌握:掌握:简谐振动的各物理量(特别是相位)及简谐振动的各物理量(特别是相位)及简谐振动的各物理量(特别是相位)及简谐振动的各物理量(特别是相位)及各量间的关系各量间的关系各量间的关系各量间的关系.理解:理解:理解:理解:一维简谐振动的运动学方程的物理意义一维简谐振动的运动学方程的物理意义一维简谐振动的运动学方程的物理意义一维简谐振动的运动学方程的物理意义,同方向、同频率的两个简谐振动的合成同方向、同频率的两个简谐振动的合成同方向、同频率的两个简谐振动的合成同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律规律规律规律.简谐振动的基本特征。
2、能建立一维简谐简谐振动的基本特征。能建立一维简谐简谐振动的基本特征。能建立一维简谐简谐振动的基本特征。能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始条振动的微分方程,能根据给定的初始条振动的微分方程,能根据给定的初始条振动的微分方程,能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程件写出一维简谐振动的运动方程件写出一维简谐振动的运动方程件写出一维简谐振动的运动方程.旋转矢量法旋转矢量法旋转矢量法旋转矢量法.振动的一般概念振动的一般概念机械振动机械振动机械振动机械振动 物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等)物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等)物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等)物体的来回往复运
3、动(弹簧振子、单摆等)广义振动广义振动广义振动广义振动 任一物理量任一物理量任一物理量任一物理量(如位移、电如位移、电如位移、电如位移、电 流等流等流等流等)的的的的 周期性变化周期性变化周期性变化周期性变化 任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本振动的合成。这种简单而又基本的振动而又基本振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为形式称为简谐振动简谐振动。10-1 10-1 谐振动谐振动一一.谐振动特征及其表达式谐振动特征及其表达式弹簧振子:弹簧振子:弹簧振子:弹簧振子:连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生
4、形变的物体系统。一个不发生形变的物体系统。回复力:回复力:作谐运动的质点所受的沿位移方向的合作谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力外力,该力与位移成正比且反向。该力与位移成正比且反向。谐振动谐振动特征一特征一按牛顿第二定律按牛顿第二定律称为质点的称为质点的运动方程运动方程也称为质点的也称为质点的振动方程振动方程谐振动谐振动特征二特征二谐振动谐振动特征三特征三 二.谐振动体的定义谐振动体的定义(1)(1)只在弹性力或准弹性只在弹性力或准弹性 (线性回复力)作(线性回复力)作用下发生的运动称为谐振动。用下发生的运动称为谐振动。(2)(2)满足满足动力学方程的运动为动力学方程的运动为谐振动谐振动(
5、3)(3)在无外来强迫力作用下在无外来强迫力作用下,质点离开平衡位质点离开平衡位置的位移是时间的正弦函数或余弦函数的置的位移是时间的正弦函数或余弦函数的直线运动是直线运动是谐振动谐振动。三三.谐振动的振幅谐振动的振幅 周期周期 相位相位及表示及表示(振幅振幅 即即最大位移最大位移,x=A)即即即即:对同一振子而言,对同一振子而言,对同一振子而言,对同一振子而言,A A A A越大,则振动能量越大,越大,则振动能量越大,越大,则振动能量越大,越大,则振动能量越大,A A A A越小,则振动能量越小越小,则振动能量越小越小,则振动能量越小越小,则振动能量越小表明了表明了表明了表明了振动的强度振动的
6、强度振动的强度振动的强度xxo能量能量能量能量动能动能动能动能势能势能势能势能1.振幅振幅振子动能:振子动能:振子势能:振子势能:则总能量则总能量xxo只与振幅只与振幅A有关有关对任何谐振对任何谐振动都成立动都成立2.周期周期 T T ,频率频率 ,角频率角频率 周期周期 T T:完成一次全振动所经历的时间。完成一次全振动所经历的时间。完成一次全振动所经历的时间。完成一次全振动所经历的时间。频率频率频率频率 :单位时间内完成全振动的次数。单位时间内完成全振动的次数。单位时间内完成全振动的次数。单位时间内完成全振动的次数。:角频率角频率角频率角频率 (或称圆频率)(或称圆频率)(或称圆频率)(或
7、称圆频率)对于弹簧对于弹簧振子振子T T T T,也称为也称为也称为也称为固有周期和固有频率固有周期和固有频率固有周期和固有频率固有周期和固有频率。称为振动的称为振动的相位相位相位的特点相位的特点 描述运动状态描述运动状态描述运动状态描述运动状态 ,反映振动周期性特点,反映振动周期性特点,反映振动周期性特点,反映振动周期性特点 比较两个振动在步调上的差异。比较两个振动在步调上的差异。比较两个振动在步调上的差异。比较两个振动在步调上的差异。3.3.相位和初相位相位和初相位 t=0 时,时,=0 为谐振动的为谐振动的初相位初相位。最大位移处,静止最大位移处,静止最大位移处,静止最大位移处,静止平衡
8、位置,速度负向最大平衡位置,速度负向最大平衡位置,速度负向最大平衡位置,速度负向最大负最大位移处,静止负最大位移处,静止负最大位移处,静止负最大位移处,静止平衡位置,速度正向最大平衡位置,速度正向最大平衡位置,速度正向最大平衡位置,速度正向最大正最大位移处,静止正最大位移处,静止正最大位移处,静止正最大位移处,静止a a设设两个同频率两个同频率的谐振动分别为的谐振动分别为任意时刻它们的任意时刻它们的任意时刻它们的任意时刻它们的相位差相位差相位差相位差为为为为振动振动2 2超前超前振动振动1 1 或者振动或者振动1 1落后落后2 2 比较两个振动在步调上的差异。比较两个振动在步调上的差异。比较两
9、个振动在步调上的差异。比较两个振动在步调上的差异。b b称为称为称为称为振动同相振动同相振动同相振动同相称为称为称为称为振动反相振动反相振动反相振动反相4.4.谐振动的谐振动的表示表示(1 1)解析式的)解析式的表示表示(2 2)图像)图像表示表示T2TAx位位移移t ttT2T速速度度v加加速速度度atoT2TAA加入初始条件即可求解加入初始条件即可求解:设设 t=0时,振动位移:时,振动位移:x=x0 振动速度:振动速度:v=v0(3 3)振动表达式的求解)振动表达式的求解四四.谐振动的矢量图表示法谐振动的矢量图表示法(旋转矢量表示法旋转矢量表示法)xMPA结论:结论:P PxM0Px 投
10、影点投影点P P的运动为谐振动的运动为谐振动.x0 旋转矢量旋转矢量旋转矢量旋转矢量 在在在在x x x x轴上轴上轴上轴上的投影点的投影点的投影点的投影点P的运动规律的运动规律的运动规律的运动规律:逆时针转动逆时针转动逆时针转动逆时针转动 t=0 时,时,A与与x x轴轴的的夹角夹角 0 即为谐振动的即为谐振动的初相位初相位旋转矢量旋转矢量与与 x x轴轴的夹的夹角角(t+0)为为谐振动谐振动的的相位相位旋转矢量的角速度旋转矢量的角速度 即即为振动的为振动的角频率角频率旋转矢量的模即为谐振动的旋转矢量的模即为谐振动的振幅振幅xP P0矢量转动的方向即为振子的速度方向矢量转动的方向即为振子的速
11、度方向矢量转动的方向即为振子的速度方向矢量转动的方向即为振子的速度方向即:即:即:即:X X X X轴轴轴轴上上方方v v为为负负方向,方向,X X轴轴下下方方v v为为正正方向方向xtoxA两种表示法的对照两种表示法的对照AA22110 x称振动称振动 2 超前振动超前振动 1 振动振动 1 滞后振动滞后振动 2若相位差若相位差A1A20两振动两振动同步同步结论:旋转矢量法在求解结论:旋转矢量法在求解 相位时很方便相位时很方便xxto已知如图振动曲线已知如图振动曲线 求:初相位求:初相位 利用旋转矢量法得利用旋转矢量法得解:解:例题例题例题例题1 1 1 1、一质点沿一质点沿x x轴作简谐振
12、动,振幅为轴作简谐振动,振幅为0.12m0.12m,周周期为期为2s.2s.当当t t=0=0时时,位移为位移为0.06m0.06m,且向且向x x轴正方向运动轴正方向运动.求求(1)(1)振动方程;振动方程;(2)(2)t t=0.5s=0.5s时,质点的位置、速度和加时,质点的位置、速度和加速度;(速度;(3 3)若在某时刻质点位于)若在某时刻质点位于x=-0.06mx=-0.06m,且向且向x x轴负轴负方向运动,求从该位置回到平衡位置所需最短时间方向运动,求从该位置回到平衡位置所需最短时间解:解:设谐振动表达式为设谐振动表达式为已知已知:A=0.12m,T=2s,x=A cos(t+0
13、)x=0.12 cos(t+0)初始条件:初始条件:t=0 时,x0=0.06m,v0 0故故0.06=0.12 cos 0振动方程:振动方程:(2)t t=0.5s=0.5s时,质点的位置、时,质点的位置、速度和加速度速度和加速度旋转矢量法旋转矢量法xoxo旋转矢量法旋转矢量法p p=p p-p p=D D653223平衡位置处:平衡位置处:平衡位置处:平衡位置处:(3 3)若在某时刻质点位于)若在某时刻质点位于x=-0.06mx=-0.06m,且向且向x x轴负方轴负方向运动,求从该位置回到平衡位置所需最短时间向运动,求从该位置回到平衡位置所需最短时间也可用公式法计算也可用公式法计算例题例
14、题例题例题2 2 2 2、两质点作同方向、同频率的简谐振动,振两质点作同方向、同频率的简谐振动,振幅相等幅相等.当质点当质点1 1在在 X X1 1=A A/2/2 处,处,且向左运动时,另一且向左运动时,另一个质点个质点2 2在在 X X2 2=-=-A A/2/2 处,且向右运动处,且向右运动.求这两个质点求这两个质点的相位差的相位差.解:解:解:解:A A-A Ao oA A/2/2-A A/2/2x-A A/2/2A A/2/2利用旋转矢量法得利用旋转矢量法得利用旋转矢量法得利用旋转矢量法得练习:已知练习:已知简谐振动曲线简谐振动曲线 ,试写出此试写出此振动的振动的 运动方程。运动方程
15、。t0 XO解:解:由图可以看出由图可以看出由题意由题意此题也用旋转矢量法确定此题也用旋转矢量法确定此题也用旋转矢量法确定此题也用旋转矢量法确定如上左图如上左图如上左图如上左图ot(s)-0.050.1X(m)例题例题例题例题3 3 3 3 证明图示系统的振动为简谐振动。证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为其频率为 xk1k2o x证:证:设物体位移设物体位移x x,弹簧分别伸长弹簧分别伸长x x1 1和和x x2 2f f并联情况如何?并联情况如何?kkk2k1可以证明为可以证明为Ol 五五.常见简谐振动常见简谐振动1.单摆单摆结论:结论:结论:结论:单摆的振动是单摆的振动是简谐振动简谐振动 2.复摆复摆ohC设逆时向转过的角位移为正设逆时向转过的角位移为正 复摆受到对于转轴复摆受到对于转轴o的力矩为的力矩为 当摆角很小时当摆角很小时则则则则根据转动定律根据转动定律例:例:一根米尺,一端悬挂,作一根米尺,一端悬挂,作 的摆动的摆动.求摆动周期求摆动周期T.解:解:coohC
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