梁昆淼_数学物理方法第5章.ppt

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1、第五章第五章 付里叶变换付里叶变换5.2 5.2 付里叶积分与付里叶变换付里叶积分与付里叶变换5.3 5.3 函数函数5.1 5.1 付里叶级数付里叶级数（一）、周期函数的（一）、周期函数的付里叶展开付里叶展开设设f(x)为周期为为周期为 2l 的函数的函数5.1 5.1 付里叶级数付里叶级数考虑的函数族考虑的函数族为基本函数族为基本函数族将将f(x)展开展开基本函数族是基本函数族是正交的正交的称为周期函数称为周期函数的的付里叶系数付里叶系数(在连续点在连续点x)狄里系利条件：狄里系利条件：(付氏付氏级数收敛条件）级数收敛条件）级数和级数和=若若f(x)满足：满足：(1)、处处连续，或在每个周

2、期有有限个第、处处连续，或在每个周期有有限个第 一类间断点一类间断点 (2)、或在每个周期有有限个极值点，级数收敛、或在每个周期有有限个极值点，级数收敛(在在间断间断点点x)（二）、奇函数与偶函数的（二）、奇函数与偶函数的付里叶展开付里叶展开奇函数奇函数偶函数偶函数例：要求在（例：要求在（-，）上）上,f(x)=x2,展开为展开为Fourier 级数，级数，在本题展开所得中置在本题展开所得中置 x=0，由此验证，由此验证解：解：f(x)=x2，为偶，为偶函数函数x=0（三）、定义在有限区间上的函数的（三）、定义在有限区间上的函数的付里叶展开付里叶展开定义在有限区间上的函数，如在定义在有限区间上

3、的函数，如在(0.l)上的上的f(x)，使延拓成使延拓成为为g(x)在在(0,l)上有上有g(x)f(x)付里叶展开付里叶展开但要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓但要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓进行奇延拓成奇周期函数进行奇延拓成奇周期函数进行偶延拓成偶周期函数进行偶延拓成偶周期函数（四）、复数形式的（四）、复数形式的付里叶级数付里叶级数函数族正交性函数族正交性例：要求例：要求f(x)在它的定义区间的边界上为零，据此，展开在它的定义区间的边界上为零，据此，展开解：解：定义在（定义在（0，）上）上进行奇延拓成奇周期函数进行奇延拓成奇周期函数例：定义在（例：定义在（0，）上的）上的f(x)=x,

4、在它的定义区间的边界上在它的定义区间的边界上 f(0)=0,f(l)=0，据此，展开据此，展开f(x)为付氏级数为付氏级数解：解：（一）、实数形式的（一）、实数形式的付里叶变换付里叶变换设设f(x)为定义在为定义在-x 0,有有或或对于对于-,0,有有（2 2）、）、+d+d 时间间隔时间间隔冲量冲量瞬时力瞬时力（3 3）、）、瞬时力瞬时力偶函数偶函数奇函数奇函数证：证：（4 4）、）、若若f(x)为为x0 处连续的普通函数，则处连续的普通函数，则例：例：证：证：得证得证（5 5）、）、如如 (x)=0 的实根为的实根为 xi（6 6）、）、证明：证明：（7 7）、）、阶跃函数阶跃函数（8 8

5、）、）、符号函数符号函数（9 9）、）、矩形脉冲函数矩形脉冲函数（三）、（三）、函数的付里叶变换函数的付里叶变换（四）、（四）、函数的表示函数的表示（1 1）、抽样函数表示法）、抽样函数表示法（2 2）、矩形脉冲表示法）、矩形脉冲表示法抽样函数抽样函数例：求常数例：求常数A的付氏变换的付氏变换解：解：例：求符号函数例：求符号函数解：解：的付氏变换的付氏变换例：求例：求阶跃函数阶跃函数解：解：的付氏变换的付氏变换例：在边界条件例：在边界条件 f(0)=0 下，把定义在（下，把定义在（0，）上得函）上得函数数 f(x)=1-H(x-a)展开为展开为付氏积分付氏积分解：解：偶延拓，有付偶延拓，有付里叶余弦积分里叶余弦积分