自学考试专题：线性代数（经管类）复习训练含答案.docx

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1、线性代数（经管类）-复习训练1.单选题1.1 设A是mn矩阵，则下列命题正确的是（）A. 若r(A)=n，则AX=b有唯一解B. 若r(A)nD. n1.4 设A为n阶非奇异矩阵，则对任意n维列向量b，n元非齐次线性方程组Ax=b的解的情况为（）A. 无解B. 有无穷多解C. 有唯一解D. 无法判定1.5 设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（）A. A-1C-1B. C-1A-1C. ACD. CA考点：矩阵的运算，注意矩阵乘法不满足交换律。1.6 若2阶矩阵A相似于矩阵B=(202-3)，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（）A. (1014)B. (-101-4)

2、C. (-10-24)D. (-10-2-4)P-1AP=(202-3),P-1(E-A)P=(-10-24)1.7 设A为2阶矩阵，将A的第2列的(-2)倍加到第1列得到矩阵B。若B=(1234)，则A=（）A. (11254)B. (52114)C. (54112)D. (42115)根据题意得：P=(10-21),AP=B所以A=BP-1(1234)(1021)=(52114)。1.8 1,5是5个三维向量，则（）A. 1,5中至少有三个向量能由其余向量线性表出B. 1,5中每个向量都能由其余向量线性表出C. 1,5的秩=3D. 1,5的秩3向量组的秩不超过其个数和维数的最小值。1.9

3、设1,2,s是n元齐次方程组Ax=0的基础解系，则（）A. 1,2,s线性相关B. Ax=0的任意s+1个解向量线性相关C. s-R(A)=nD. Ax=0的任意s-1个解向量线性相关根据齐次方程组基础解系的概念，1,2,s必线性无关，Ax=0的任意s+1个解向量必线性相关，且s=n-r(A)。所以应选B。1.10 设向量=(1，1，1)，则它的单位化向量为（）A. (13,-13,13)B. (13,13,-13)C. (13,13,13)D. (-13,13,13)|=i=13ai2=12+12+12=31.11 若1=(2,1,-2),2=(0,3,1),3=(0,0,k-2)是3维行向

4、量空间R3的基，则常数k满足（）A. k2B. k=2C. k1D. 无法判断|200130-21k-2|0k21.12 已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：A(1-23-102-1200a(a-1)a-1)，若方程组无解，则a的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3解：只有当r(A)=2r(A)=3时，方程组无解，故要求a(a-1)=0,a-10，解得a=0。1.13 四元线性方程组x1+2x2-x3-2x4=02x1-x2-x3+x4=13x1+x2-2x3-x4=a有解，则a=（）A. 2B. 1C. 0D. 3线性方程组x1+2x2-x3-2x4=02

5、x1-x2-x3+x4=13x1+x2-2x3-x4=a的增广矩阵为 A=(12-1-202-1-11131-2-1a)(12-1-200-51510-515a)(12-1-2005-1-5-10000a-1)所以，线性方程组x1+2x2-x3-2x4=02x1-x2-x3+x4=13x1+x2-2x3-x4=a有解a=1。1.14 设A为n阶方阵。|A|=0的充分必要条件是（）A. 矩阵A中有两行（列）成比例B. A中必有一行为其余行的线性组合C. A中有一行元素全为0D. A中任一行为其余行的线性组合A为n阶方阵|A|=0。|A|=0的充分必要条件是A的行（列）向量组线性相关，故其充分必要

6、条件是A中必有一行为其余行的线性组合。1.15 矩阵A=(12422-14-13)对应的二次型f=（）A. x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3-x2x3B. x12+2x22+3x32+4x1x2+8x1x3-2x2x3C. x12+x22+x32+4x1x2+8x1x3-2x2x3D. 4x12+8x22-2x32+x1x2+2x1x3+3x2x3根据二次型和其矩阵的关系，写出二次型。1.16 设3阶方阵A的特征值为1,-1,2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A. E-AB. -E-AC. 2E-AD. -2E-A因为=-2不是A的特征值，故-2E-A可逆。1.17 设A为四

7、阶矩阵，且|A|=2，则|A|=（）A. 2B. 4C. 8D. 12测试点：方阵A的伴随阵的概念和性质。A=(A11A21.An1A12A22.An2. . .A1nA2n.Ann) 性质：AA=AA=|A|E；若A可逆，则A-1=1|A|A。1.18 行列式|00010002000800090000000010|=（）A. 50B. -10!C. 10!D. 9!|00010002000800090000000010|=10(00010020. . .080090000)=(1)(9)(2)(8)(3)(7)(4)(6)(-1)410!=10!.1.19 设有4维向量组1,6，则（）A.

8、1,6中至少有两个向量能由其余向量线性表出B. 1,6线性无关C. 1,2,3,4必线性无关D. 1,6的秩为2因为秩(4维向量组1,6)4，所以1,6至少有两个向量能由其余向量线性表出。1.20 二次型f(x,y,z)=x2-y2的正惯性指数p为（）A. 0B. 1C. 2D. 3据二次型正惯性指数的定义，f(x,y,z)=x2-y2的正惯性指数为1.1.21 若X1,X2是线性方程组AX=b的解，1,2是方程组AX=0的解，则（）是AX=b的解。A. 13X1+23X2B. 131+232C. X1-X2D. X1+X2因为X1,X2是线性方程组AX=b的解，故A(13X1+23X2)=1

9、3AX1+23AX2=13b+23b=b。即13X1+23X2是AX=b的解。1.22 已知A2-2A-8E=0，则(A+E)-1=（）A. A-3EB. 15(A-3E)C. 15(A+3E)D. 15(-A-3E)原式可化为A2-2A-3E=5E(A+E)(A-3E)=5E,即(A+E)15(A-3E)=E，所以(A+E)-1=15(A-3E)。1.23 设A为四阶矩阵，且|A|=-3，则|A|=（）A. -3B. 9C. -27D. 81|A|=|A|n-1=-33=-27.1.24 设A,B为n阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（）A. |AB|=|A|B|B. (AB)-1=A-1B-

10、1C. |A|=n|A|D. (AB)T=BTAT(AB)-1=B-1A-1.1.25 设A，B为任意n阶矩阵，E为单位矩阵，O为n阶零矩阵，则下列各式中正确的是（）A. (A-B)2=A2-2AB+B2B. (AB)3=A3B3C. (A-E)2=A2-2A+ED. 由A2=O,必有A=O(A-B)2=A2-AB-BA+B2； (AB)3=ABABAB； （A-E）2=A2-AE-EA+E2=A2-2A+E； 设A=1-11-1O但A2=O.1.26 线性方程组Ax=b中，A是46矩阵，且A与增广矩阵A的秩都等于4，则（）A. 方程组有唯一解B. 方程组有无穷多解C. 方程组无解D. 无法确

11、定因为A与增广矩阵A的秩都等于4nB. mnC. A的n个列向量线性无关D. A的m个行向量线性无关齐次线性方程组Ax=0只有零解r(A)=nA的n个列向量线性无关。1.41 设3阶矩阵A=(010001000)，则A2的秩为（）A. 0B. 1C. 2D. 3考点：矩阵的乘法和矩阵的秩。1.42 已知向量组1=(1,0,2),2=(2,0,-3),3=(1,2,1),4=(0,0,-7)，则任意一个三维行向量可由下列（）线性表出。A. 1,2B. 1,2,3C. 1,2,4D. 3,4(121000202-31-7)(121000100-7-1-7)(120000100-70-7)(1200

12、00100101)(100-200100101) 1,2,3线性无关，则是三维行向量空间的基，则任意一个三维行向量可由1,2,3线性表出。1.43 设=(1,2,4),=(0,1,3)，k为任意实数，则（）A. -线性相关B. -线性无关C. +线性相关D. k线性无关因为-0，所以-线性无关。1.44 设为A为mn矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A. A的列向量组线性无关B. A的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D. A的行向量组线性相关Ax=0可化为x11+x22+xnn=0，其中1,2,n为矩阵A的列向量组。Ax=0仅有零解，即不存在不全为零的x1,x

13、2,xn使得x11+x22+xnn=0成立，从而1,2,n线性无关。1.45 已知3元齐次线性方程组x1+x2-x3=02x1+3x2+ax3=0x1+2x2+3x3=0有非零解，则a=（）A. 0B. 1C. 2D. 3令|11-123a123|=0,解出a=2。1.46 已知3阶矩阵A的3个特征值为1,2,3，则|A|=（）A. 63B. 6C. 36D. 3因为3阶矩阵A的3个特征值为1,2,3，故|A|=123=6。 故|A|=|A|3-1=62=36。1.47 3元实二次型f(x1,x2,x3)=-2x12+3x22-4x32的规范形为（）A. z12+z22-z32B. z12-z

14、22-z32C. z12-z22+z32D. z12+z22+z32令z1=3x2,z2=2x1,z3=2x3，则原二次型化为f=z12-z22-z32.1.48 已知1,2，是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，1,2是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1,C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（）A. 12(1+2)+C11+C2(1+2)B. 12(1-2)+C11+C2(1+2)C. 12(1+2)+C11+C2(1-2)D. 12(1-2)+C11+C2(1+2)根据1,2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，我们知道，A1=b,A2=b,A(1-2)=0;A(12(

15、1+2)=b;所以1-2是Ax=0的解；12(1+2)是Ax=b的解。1.49 设向量组1，2，s线性相关，则必可推（）A. 1，2，s中至少有一个向量为零向量B. 1，2，s中至少有两个向量成比例C. 1，2，s中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D. 1，2，s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合线性相关定理：m个n维向量1，2，m(m2)线性相关至少存在某个i是其余向量的线性组合。也即1，2，m(m2)线性无关任意一个i都不能表示为其余向量的线性组合。1.50 设3阶矩阵A=(100220333)，则AA=（）A. (600060006)B. (100010001)C. (

16、100220333)D. (160001600016)AA=|A|E。1.51 设向量组1,2,3,4线性相关，则向量组中（）A. 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B. 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C. 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D. 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合1.52 已知A=(14-12),B=(20-11),C=(310-1)，矩阵满足AXB=C，则X=（）A. (01141)B. (11410)C. (14011)D. (11140)因为AXB=C,故X=A-1CB-1,而A-1=1|A|A=162-411,B-1=1|B|B=121012所以X

17、=A-1CB-1=162-411310-1121012=11140。1.53 设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为=(1,0,2)T，=(1,-1,3)T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为（）A. k1(1B. 0C. 2)T+k_2(1D. -1因为-=(1,0,2)T-(1,-1,3)T=(0,1,-1)T，所以(0,1,-1)T是对应齐次线性方程组Ax=0的解，故原非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,0,2)T+k(0,1,-1)T.1.54 设3元线性方程组Ax=b，A的秩为2，1,2,3为方程组的解，1+2=(2,0,4)T,1+3

18、=(1,-2,1)T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（）A. (1,0,2)T+k(1,-2,1)TB. (1,-2,1)T+k(2,0,4)TC. (2,0,4)T+k(1,-2,1)TD. (1,0,2)T+k(1,2,3)T测试点：非齐次方程组的通解=+k11+k22+.+kn-rn-r；线性方程组解的性质；齐次方程组通解；齐次方程组基础解系所含解向量的个数。 因为A的秩为2，故齐次方程组Ax=0的基础解系含3-2=1个解， 2-3=(1+2)-(1+3)=(2,0,4)T-(1,-2,1)T=(1,2,3)T为Ax=0的一个非零解，故为Ax=0的基础解系。 又因为A(1+22)

19、=A1+A22=b，所以1+22=(1,0,2)T为Ax=b的一个特解， 故答案为D。1.55 n阶矩阵A可逆的充要条件是（）A. A的每个行向量都是非零向量B. A的每个列向量都是非零向量C. 非齐次线性方程组AX=b有解D. 齐次线性方程组AX=0只有零解齐次线性方程组AX=0只有零解A满秩A可逆。1.56 已知向量组1,2,3线性无关，则线性无关的向量组是（）A. 2-1,3-2,1-3B. 1+2,2+3,3-1C. 1+2,2+3,3+1D. 1+32,1-52,51+721.57 已知4阶行列式D4第一行的元素依次为1，2，-1，-1，它们的余子式依次为2，-2，1，0，则D4=（

20、）A. 5B. 3C. -3D. -5D4第一行元素的代数余子式依次为2，2，1，0，则D4=12+22+(-1)1+(-1)0=5.1.58 设1,2,3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A. 1,2,1+2B. 1+2,2+3,3+1C. 1,2,1-2D. 1-2,2-3,3-1(1+2,2+3,3+1)(1+2,3-1,3+1)(1+2,3-1,23)(1+2,3-1,3)(1+2,-1,3)(2,-1,3)(1,2,3) 则1+2,2+3,3+1与1,2,3等价，故1+2,2+3,3+1也是Ax=0的一个基础解系。1.59 设A

21、为n(n2)阶矩阵，且A2=E，则必有（）A. A的行列式等于1B. A的逆矩阵等于EC. A的秩等于nD. A的特征值均为1因为A2=E，故A可逆，所以A的秩等于n。1.60 方程组x1+x2=0x2+x3=0的基础解系为（）A. (1,1,1)TB. (1,-1,1)TC. (-1,-1,1)TD. (1,-1,-1)T解： (110011)(10-1011) 同解方程组为x1-x3=0x2+x3=0 取x3=1，得x1=1,x2=-1可得基础解系为(1,-1,1)T.1.61 设A为54矩阵，若秩(A)=4，则秩(5AT)为（）A. 2B. 3C. 4D. 5因为r(AT)=r(A),r

22、(5A)=r(A)，故r(5AT)=r(A).1.62 若|210131k21|=0，则k=（）A. 0B. -1C. 1D. 2|210131k21|=|210131k-1-10|=1(-1)2+3|21k-1-1|=0,则k=-1。1.63 A为mn矩阵，且mn，AX=0是AX=b的导出组，则下述结论正确的是（）A. AX=b必有无穷多解B. AX=0必有无穷多解C. AX=0只有零解D. AX=b必无解A为mn矩阵，且mn，则r(A)m0，负惯性指数0，故它不定。1.71 设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于（）A. 14B. 12C. 2D. 4因为=2

23、是可逆矩阵A的一个特征值，故4为A2的一个特征值，从而14为(A2)-1的一个特征值。1.72 设A为n阶非奇异矩阵，则对任意n维列向量b，n元非齐次线性方程组AX=b的解的情况为（）A. 无解B. 有无穷多解C. 有唯一解D. 无法判定A为n阶非奇异矩阵r(A)=n， 对任意n维列向量br(A,b)=n r(A)=r(A,b)=nAX=b有唯一解。1.73 已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为:A(1-23-102-1200a(a-1)a-1)，若方程组无解，则a的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3只有当r(A)=2r(A)=3时，方程组无解，故要求a(a

24、-1)=0,a-10，解得a=0.1.74 设A为mn矩阵，若齐次线性方程组AX=0只有零解，则对任意m维非零列向量b，非齐次线性方程组AX=b（）A. 必有唯一解B. 必无解C. 必有无穷多解D. 可能有解，也可能无解由AX=0只有零解，可知，秩(A)=n 但由于b的任意性，则AX=b可能有唯一解，也可能无解。故选D。1.75 对非齐次线性方程组Amnx=b，设秩(A)=r，则（）A. r=m时，方程组Ax=b有解B. r=n时，方程组Ax=b有唯一解C. m=n时，方程组Ax=b有唯一解D. r2)线性无关的充分必要条件是（）A. 1，2，s均不为零向量B. 1，2，s中任意两个向量不成比

25、例C. 1，2，s中任意s-1个向量线性无关D. 1，2，s中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示因为向量组线性相关的充分必要条件是其中存在一个向量能由其余向量线性表示。故答案为D。1.79 设矩阵A=(11012-a0003)为正定矩阵，则a的取值范围是（）A. a1B. a=1C. a-1D. a0,D2=|1112-a|=1-a0,D3=|11012-a0003|=3(1-a)0 即a1.1.80 设A,B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（）A. AB=BAB. (A+B)-1=A-1+B-1C. |A+B|=|A|+|B|D. (A+B)T=AT+BT乘法没有交换律。A,B都可

26、逆，A+B不一定可逆，如A=E,B=-E；|A+B|=|A|+|B|不一定成立，如A=B=E3，则A+B=2E，故|A+B|=|2E|=23|E|=8|A|+|B|=21.1 设A是mn矩阵，则下列命题正确的是（）A. 若r(A)=n，则AX=b有唯一解B. 若r(A)nD. n1.4 设A为n阶非奇异矩阵，则对任意n维列向量b，n元非齐次线性方程组Ax=b的解的情况为（）A. 无解B. 有无穷多解C. 有唯一解D. 无法判定1.5 设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（）A. A-1C-1B. C-1A-1C. ACD. CA考点：矩阵的运算，注意矩阵乘法不满足交换律。1.6

27、若2阶矩阵A相似于矩阵B=(202-3)，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（）A. (1014)B. (-101-4)C. (-10-24)D. (-10-2-4)P-1AP=(202-3),P-1(E-A)P=(-10-24)1.7 设A为2阶矩阵，将A的第2列的(-2)倍加到第1列得到矩阵B。若B=(1234)，则A=（）A. (11254)B. (52114)C. (54112)D. (42115)根据题意得：P=(10-21),AP=B所以A=BP-1(1234)(1021)=(52114)。1.8 1,5是5个三维向量，则（）A. 1,5中至少有三个向量能由其余向量线性表

28、出B. 1,5中每个向量都能由其余向量线性表出C. 1,5的秩=3D. 1,5的秩3向量组的秩不超过其个数和维数的最小值。1.9 设1,2,s是n元齐次方程组Ax=0的基础解系，则（）A. 1,2,s线性相关B. Ax=0的任意s+1个解向量线性相关C. s-R(A)=nD. Ax=0的任意s-1个解向量线性相关根据齐次方程组基础解系的概念，1,2,s必线性无关，Ax=0的任意s+1个解向量必线性相关，且s=n-r(A)。所以应选B。1.10 设向量=(1，1，1)，则它的单位化向量为（）A. (13,-13,13)B. (13,13,-13)C. (13,13,13)D. (-13,13,13)|=i=13ai2=12+12+12=31.11 若1=(2,1,-2),2=(0,3,1),3=(0,0,k-2)是3维行向量空间R3的基，则常数k满足（）A