激光原理全套ppt课件(下).ppt

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1、激光原理与技术激光原理与技术原理部分原理部分第第11讲讲平行平面腔自再现模式平行平面腔自再现模式11.0 平行平面腔平行平面腔平行平面腔平行平面腔优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得单横模振荡；单横模振荡；单横模振荡；单横模振荡；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；分析平行平面腔的方法分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，分析平

2、平腔的主要内容就是分析其振荡模式，分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，也就是求解平平腔条件下的菲涅尔也就是求解平平腔条件下的菲涅尔也就是求解平平腔条件下的菲涅尔也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍基尔霍夫衍基尔霍夫衍基尔霍夫衍射积分公式；射积分公式；射积分公式；射积分公式；公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数值方法来求近似解；值方法来求近似解；值方法来求近似解；值方法来求近似解；11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法平行

3、平面腔自再现模式的迭代解法 Fox-LiFox-Li数值迭代法数值迭代法数值迭代法数值迭代法 Gardner FoxGardner Fox 和厉鼎毅在和厉鼎毅在和厉鼎毅在和厉鼎毅在19611961年发表文章年发表文章年发表文章年发表文章Resonant Modes in a Maser Interferometer Resonant Modes in a Maser Interferometer 首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程来研究平平腔内模式的方法；来研究

4、平平腔内模式的方法；来研究平平腔内模式的方法；来研究平平腔内模式的方法；优点优点优点优点 理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；缺点缺点缺点缺点 收敛

5、性不好，计算量大；收敛性不好，计算量大；收敛性不好，计算量大；收敛性不好，计算量大；对高阶模式的计算误差较大；对高阶模式的计算误差较大；对高阶模式的计算误差较大；对高阶模式的计算误差较大；11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法平行平面腔自再现模式的迭代解法平行平面镜腔平行平面镜腔平行平面镜腔平行平面镜腔 如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：两腔镜上两点之间距离为：两腔镜上两点之间距离为：两腔镜上两点之间距离为：两腔镜上两点之间距离为：将其作级数展开：将其作级数展开：将其作级数展开：将其作级数展

6、开：或者或者11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法平行平面腔自再现模式的迭代解法 当满足条件当满足条件当满足条件当满足条件 时，积分核可以写成：时，积分核可以写成：时，积分核可以写成：时，积分核可以写成：则衍射积分公式改写为：则衍射积分公式改写为：则衍射积分公式改写为：则衍射积分公式改写为：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：式式(1)表示一个平平腔，其反表示一个平平腔，其反射镜在射镜在x方向上的宽度为方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸

7、的条状腔的方向上无限延伸的条状腔的自再现模；式自再现模；式(2)表示的是另表示的是另一个方向的条状腔的自再现模。一个方向的条状腔的自再现模。11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法平行平面腔自再现模式的迭代解法 满足上述方程的函数满足上述方程的函数满足上述方程的函数满足上述方程的函数E(xE(x)和和和和E(yE(y)可以有很多个，用可以有很多个，用可以有很多个，用可以有很多个，用E Emm(x(x)和和和和E En n(Y(Y)分别分别分别分别表示其中的第表示其中的第表示其中的第表示其中的第mm和第和第和第和第n n个解，对应的复常数为个解，对应的复常数为个解，对应的复常数为个解，对应的复常

8、数为m m m m、n n n n，则上述方程可，则上述方程可，则上述方程可，则上述方程可以表示为：以表示为：以表示为：以表示为：(1)(1)(1)(1)式在数学上称为本征方程，只有在式在数学上称为本征方程，只有在式在数学上称为本征方程，只有在式在数学上称为本征方程，只有在m m m m和和和和n n n n为一系列分立的值，对为一系列分立的值，对为一系列分立的值，对为一系列分立的值，对应应应应m m m m、n n n n取不同的正整数时，方程才成立，因此取不同的正整数时，方程才成立，因此取不同的正整数时，方程才成立，因此取不同的正整数时，方程才成立，因此m m m m和和和和n n n n

9、又被称为方程又被称为方程又被称为方程又被称为方程的本征值；的本征值；的本征值；的本征值；对不同的对不同的对不同的对不同的m m m m和和和和n n n n，能够使方程成立的解，能够使方程成立的解，能够使方程成立的解，能够使方程成立的解E E E Em m m m(x)(x)(x)(x)和和和和E E E En n n n(y(y(y(y)被称为相应的本被称为相应的本被称为相应的本被称为相应的本征函数；征函数；征函数；征函数；本征函数决定了镜面上的场分布；本征函数决定了镜面上的场分布；本征函数决定了镜面上的场分布；本征函数决定了镜面上的场分布；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、

10、谐振频率等；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；此时的自再现模为：此时的自再现模为：复常数为：复常数为：11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法平行平面腔自再现模式的迭代解法 由此可得到数值计算中的迭代公式为：由此可得到数值计算中的迭代公式为：由此可得到数值计算中的迭代公式为：由此可得到数值计算中的迭代公式为：要进行迭代需要设置初始值要进行迭代需要设置初始值要进行迭代需要设置初始值要进行迭代需要设置初始值u u1 1，从前面我们对开腔物理模，从前

11、面我们对开腔物理模，从前面我们对开腔物理模，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u u1 1(x)=1(x)=1，由于由于由于由于arguargu1 1(x)=0(x)=0，它代表了一个等相位面就，它代表了一个等相位面就，它代表了一个等相

12、位面就，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法平行平面腔自再现模式的迭代解法 将将将将u u1 1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u u2 2。由于。由于。由于。由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对我们只

13、对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u u2 2进行归进行归进行归进行归一化。一化。一化。一化。将归一化后的将归一化后的将归一化后的将归一化后的u u2 2作为输入参数带入迭代公式可以求出作为输入参数带入迭代公式可以求出作为输入参数带入迭代公式可以求出作为输入参数带入迭代公式可以求出u u3 3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的依次循环计算下去，直到得到的归一化的依次循环计算下去，直到得到的归一化的依次循环计算下去，直到得到的归一化的u uq+1q+1和和和和u uq q之间只之间只之间只之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；相差一个与坐标无关的

14、常数因子为止；相差一个与坐标无关的常数因子为止；相差一个与坐标无关的常数因子为止；此时求出的此时求出的此时求出的此时求出的u uq q是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；此时求出的与坐标无关的常数因子此时求出的与坐标无关的常数因子此时求出的与坐标无关的常数因子此时求出的与坐标无关的常数因子 是本征值；是本征值；是本征值；是本征值；11.2 平行平面腔自再现模式的特征平行平面腔自再现模式的特征 Fox-LiFox-Li对对对对 条件下的平平腔进行了迭代计条件下的平平腔进行了迭代计条件下的平

15、平腔进行了迭代计条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。1 1、镜面上的振幅分布、镜面上的振幅分布、镜面上的振幅分布、镜面上的振幅分布 右图是右图是右图是右图是300300次迭代后得到的稳定自再次迭代后得到的稳定自再次迭代后得到的稳定自再次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：现模的相对振幅分布，具有以下的特点：现模的相对振幅分布，具有以下的特点：现模的相对振幅分布，具有以下的特点：镜面中心处振幅最大；镜面中心处振幅

16、最大；从中心到边缘振幅逐渐下降；从中心到边缘振幅逐渐下降；振幅分布具有藕对称性；振幅分布具有藕对称性；具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条状腔中用状腔中用状腔中用状腔中用TEMTEM0 0，在矩形镜和圆形镜腔中用，在矩形镜和圆形镜腔中用，在矩形镜和圆形镜腔中用，在矩形镜和圆形镜腔中用TEMTEM0000来表示基模。来表示基模。来表示基模。来表示基模。菲涅耳数菲涅耳数菲涅耳数菲涅耳数N N描述了光腔衍射损耗的大

17、小，描述了光腔衍射损耗的大小，描述了光腔衍射损耗的大小，描述了光腔衍射损耗的大小，N N越大，衍射损耗越小，越大，衍射损耗越小，越大，衍射损耗越小，越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；镜边缘处的相对振幅越小；镜边缘处的相对振幅越小；镜边缘处的相对振幅越小；11.2 平行平面腔自再现模式的特征平行平面腔自再现模式的特征 在平平腔中除了基模外，还有其他在平平腔中除了基模外，还有其他在平平腔中除了基模外，还有其他在平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。在平平腔迭代中如果选类型的模。在平平腔迭代中如果选类型的模。在平平腔迭代中如果选类型的模。在平平腔迭代中如果选取初值条件为：取初值条件为：取初

18、值条件为：取初值条件为：可以通过迭代得到另一种形式的稳可以通过迭代得到另一种形式的稳可以通过迭代得到另一种形式的稳可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振定解，如右图所示，图中的相对振定解，如右图所示，图中的相对振定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也幅在镜中心处为零，在镜边缘处也幅在镜中心处为零，在镜边缘处也幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最小值，然而在镜中心和边缘中为最小值，然而在镜中心和边缘中为最小值，然而在镜中心和边缘中为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了间存在两个极值，在镜面上出现了间存在两个极值，在镜面上出现了间存在

19、两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分场振幅为零的节线位置，整体的分场振幅为零的节线位置，整体的分场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为布具有奇对称特性，这样的模称为布具有奇对称特性，这样的模称为布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以条状腔的最低阶奇对称模，以条状腔的最低阶奇对称模，以条状腔的最低阶奇对称模，以TEMTEM1 1表示。表示。表示。表示。腔中还存在着其他的高阶模式；腔中还存在着其他的高阶模式；腔中还存在着其他的高阶模式；腔中还存在着其他的高阶模式；11.2 平行平面腔自再现模式的特征平行平面腔自再现模式的特征 2 2、镜面上

20、的相位分布、镜面上的相位分布、镜面上的相位分布、镜面上的相位分布 右上图是基模在镜面上的相位分布，右上图是基模在镜面上的相位分布，右上图是基模在镜面上的相位分布，右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知从其分布可知从其分布可知从其分布可知TEMTEM0 0模不是严格意义模不是严格意义模不是严格意义模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳数较大时，的平面波，但当菲涅耳数较大时，的平面波，但当菲涅耳数较大时，的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在仍然可以近似为平面波，特别是在仍然可以近似为平面波，特别是在仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；只有在镜边镜面中心及附近

21、区域；只有在镜边镜面中心及附近区域；只有在镜边镜面中心及附近区域；只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；缘波前才发生微小的弯曲；缘波前才发生微小的弯曲；缘波前才发生微小的弯曲；右下图是右下图是右下图是右下图是TEMTEM1 1模的相位分布，在节模的相位分布，在节模的相位分布，在节模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节线附近相位会发生突变，在被波节线附近相位会发生突变，在被波节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为隔开的各个区域中都可以被近似为隔开的各个区域中都可以被近似为隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。平面波。平面波。平面波。11.2 平行平面腔自再现模式的特

22、征平行平面腔自再现模式的特征3、单程相移与谐振频率、单程相移与谐振频率A A、单程总相移、单程总相移、单程总相移、单程总相移 计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；表达式：表达式：其中其中kLkL为几何相移，为几何相移，为附加相移，与为附加相移，与N N有关，有关，不同的横模有不同的附加相移；不同的横模有不同的附加相移；11.2 平行平面腔自再现模式的特征平行平面腔自再现

23、模式的特征右图为不同横模的单程右图为不同横模的单程相移随相移随N变化的曲线，变化的曲线，从曲线中可以得出结论：从曲线中可以得出结论：N N相同时，基模的附加相相同时，基模的附加相相同时，基模的附加相相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移最小，高阶模的附加相移最小，高阶模的附加相移最小，高阶模的附加相移较大；移较大；移较大；移较大；N N较大时，在对数坐标中较大时，在对数坐标中较大时，在对数坐标中较大时，在对数坐标中附加相移随附加相移随附加相移随附加相移随N N的变化曲线的变化曲线的变化曲线的变化曲线基本为直线；基本为直线；基本为直线；基本为直线；11.2 平行平面腔自再现模式的特征平行平

24、面腔自再现模式的特征B B、谐振频率、谐振频率、谐振频率、谐振频率 由自再现模稳定存在的条件可知：由自再现模稳定存在的条件可知：由自再现模稳定存在的条件可知：由自再现模稳定存在的条件可知：以以以以mnqmnqmnqmnq表示表示表示表示TEMTEMTEMTEMmnmnmnmn模的谐振频率，则：模的谐振频率，则：模的谐振频率，则：模的谐振频率，则：与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由多了一项，它是由多了一项，它是由多了一项，它是由TE

25、MTEMTEMTEMmnmnmnmn模的附加相移引起的。模的附加相移引起的。模的附加相移引起的。模的附加相移引起的。11.2 平行平面腔自再现模式的特征平行平面腔自再现模式的特征4 4、单程功率损耗、单程功率损耗、单程功率损耗、单程功率损耗 对于横模，无论是什么类型的对于横模，无论是什么类型的对于横模，无论是什么类型的对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大谐振腔，其单程功率损耗的大谐振腔，其单程功率损耗的大谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图小都是菲涅耳数的函数，右图小都是菲涅耳数的函数，右图小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程是不同腔型的不同模式

26、的单程是不同腔型的不同模式的单程是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随功率损耗随功率损耗随功率损耗随N N变化的曲线。变化的曲线。变化的曲线。变化的曲线。基模是平行平面腔的一切横模中基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；损耗最小的；对确定的横模，单程损耗由对确定的横模，单程损耗由N N单单值决定，值决定，N N越大，损耗越小；越大，损耗越小；低阶模，特别是基模，其损耗均低阶模，特别是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；低于均匀平面波的损耗；激光原理与技术激光原理与技术原理部分原理部分第第12讲讲方形镜共焦腔自再现模式方形镜共焦腔自再现模式12.1 衍射积分方程及其解析解衍射积分方程及其解析解

27、如右图所示的方形镜共焦腔，满足如如右图所示的方形镜共焦腔，满足如如右图所示的方形镜共焦腔，满足如如右图所示的方形镜共焦腔，满足如 下条件：下条件：下条件：下条件：则两点之间的距离为：则两点之间的距离为：则两点之间的距离为：则两点之间的距离为：从平平腔推导可知：从平平腔推导可知：从平平腔推导可知：从平平腔推导可知：由球面镜几何关系：由球面镜几何关系：由球面镜几何关系：由球面镜几何关系：12.1 衍射积分方程及其解析解衍射积分方程及其解析解 其自再现模其自再现模其自再现模其自再现模mnmnmnmn满足的积分方程为：满足的积分方程为：满足的积分方程为：满足的积分方程为：作如下变换：作如下变换：作如下

28、变换：作如下变换：12.1 衍射积分方程及其解析解衍射积分方程及其解析解 通过分离变量求得：通过分离变量求得：通过分离变量求得：通过分离变量求得：寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：12.1 衍射积分方程及其解析解衍射积分方程及其解析解 将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得

29、：将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：长椭球函数满足关系：长椭球函数满足关系：长椭球函数满足关系：长椭球函数满足关系：该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换

30、等于其本身，即长椭球函数是实函数；于其本身，即长椭球函数是实函数；于其本身，即长椭球函数是实函数；于其本身，即长椭球函数是实函数；(1)(1)式同式同式同式同(2)(2)式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；以以以以TEMTEMmnmn表示共焦腔自再现模；表示共焦腔自再现模；表示共焦腔自再现模；表示共焦腔自再现模；12.2 镜面上场的振幅和相位分布镜面上场的振幅和相位分布 A A、厄米、厄米、厄米、厄米-高斯近似高斯近似高斯近似高斯近似 在在在在 时，在共焦反射镜面中心附近，角向长

31、椭球函数时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：其中其中其中其中C Cmm、C Cn n为常系数，为常系数，为常系数，为常系数，H Hmm(x(x)为为为为mm阶厄米多项式。阶厄米多项式。阶厄米多项式。阶厄米多项式。厄米多项式的最初几阶为：厄米多项式的最初几阶为：厄米多项式的最初几阶为：厄米多项式的最初几阶为：12.2 镜面上场的振幅和相位分布镜面上场的振幅和

32、相位分布 当当当当c c时时，厄米，厄米，厄米，厄米-高斯函数高斯函数高斯函数高斯函数 是分离是分离是分离是分离变变量后的本征方程的本征函数；量后的本征方程的本征函数；量后的本征方程的本征函数；量后的本征方程的本征函数；c c c c为为有限有限有限有限值时值时，只要，只要，只要，只要满满足条件足条件足条件足条件c=2c=2c=2c=2NNNN1111，厄米，厄米，厄米，厄米-高斯函数高斯函数高斯函数高斯函数仍能非常好的仍能非常好的仍能非常好的仍能非常好的满满满满足本征方程；足本征方程；足本征方程；足本征方程；若不若不若不若不满满足足足足该该条件，在条件，在条件，在条件，在镜镜面的中心附近，仍

33、然能面的中心附近，仍然能面的中心附近，仍然能面的中心附近，仍然能够够用厄米用厄米用厄米用厄米-高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；将将将将长椭长椭球函数的厄米球函数的厄米球函数的厄米球函数的厄米-高斯近似高斯近似高斯近似高斯近似带带入本征方程的本征解，入本征方程的本征解，入本征方程的本征解，入本征方程的本征解，并且用并且用并且用并且用x x x x，y y y y替代替代替代替代X X X X，Y Y Y Y可以得到自再可以得到自再可以得到自再可以得到自再现现模的

34、表达式：模的表达式：模的表达式：模的表达式：其中其中其中其中C C C Cmnmnmnmn为为常系数。常系数。常系数。常系数。12.2 镜面上场的振幅和相位分布镜面上场的振幅和相位分布 B B、厄米、厄米、厄米、厄米-高斯近似下的基模高斯近似下的基模高斯近似下的基模高斯近似下的基模 当当当当m=n=0m=n=0时，可以得到时，可以得到时，可以得到时，可以得到TEMTEM0000模的分布函数：模的分布函数：模的分布函数：模的分布函数：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：基模振幅在镜面

35、上的分布为高斯型，在距离中心距离为：处，振幅降为中心处振幅的处，振幅降为中心处振幅的处，振幅降为中心处振幅的处，振幅降为中心处振幅的1/e1/e。其中。其中。其中。其中L L为共焦腔长度，为共焦腔长度，为共焦腔长度，为共焦腔长度，为激光波长，为激光波长，为激光波长，为激光波长，通常用半径为通常用半径为通常用半径为通常用半径为r r r r的圆来规定基模光斑的半径，并定义的圆来规定基模光斑的半径，并定义的圆来规定基模光斑的半径，并定义的圆来规定基模光斑的半径，并定义为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。

36、为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。光场并不局限于光场并不局限于光场并不局限于光场并不局限于0S0S0S0S内，而是扩展到无穷远处，只是当内，而是扩展到无穷远处，只是当内，而是扩展到无穷远处，只是当内，而是扩展到无穷远处，只是当r r r r 0S0S0S0S时，光强已时，光强已时，光强已时，光强已经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只与腔长与腔长与腔长与腔长L L L L，或共

37、焦腔反射镜焦距，或共焦腔反射镜焦距，或共焦腔反射镜焦距，或共焦腔反射镜焦距f f f f=L/2=L/2=L/2=L/2有关，但只在厄米有关，但只在厄米有关，但只在厄米有关，但只在厄米-高斯函数近似下高斯函数近似下高斯函数近似下高斯函数近似下才成立。才成立。才成立。才成立。12.2 镜面上场的振幅和相位分布镜面上场的振幅和相位分布 例例例例 使用共焦腔的使用共焦腔的使用共焦腔的使用共焦腔的CO2CO2激光器，若激光器，若激光器，若激光器，若L=1mL=1m，输出波，输出波，输出波，输出波长为长为长为长为10.6um10.6um，则，则，则，则0S0S0S0S约为约为约为约为1.84mm1.84

38、mm1.84mm1.84mm；使用共焦腔的使用共焦腔的使用共焦腔的使用共焦腔的He-NeHe-NeHe-NeHe-Ne激光器，激光器，激光器，激光器，L=0.3mL=0.3m，输出波长，输出波长，输出波长，输出波长为为为为0.6328um0.6328um，则，则，则，则0S0S0S0S约为约为约为约为0.25mm0.25mm0.25mm0.25mm；说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；

39、得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；除了除了除了除了1/e1/e1/e1/e半径半径半径半径0S 0S 0S 0S，还有另一种光斑半径的定义，还有另一种光斑半径的定义，还有另一种光斑半径的定义，还有另一种光斑半径的定义方式，即强度最大值的方式，即强度最大值的方式，即强度最大值的方式，即强度最大值的1/21/21/21/2处（半功率点）的光处（半功率点）的光处（半功率点）的光处（半功率点）的光斑尺寸为斑尺寸为斑尺寸为斑尺寸为0S0S0S0S。12.2 镜面上场的振幅和相位分布镜面上场的振幅和相位分布 C C、高阶横模、高阶横模、高阶横模、高阶横模 当当

40、当当mm、n n取不同时为取不同时为取不同时为取不同时为0 0的一系列整数时，为高阶横模：的一系列整数时，为高阶横模：的一系列整数时，为高阶横模：的一系列整数时，为高阶横模：TEMTEMmnmn在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线

41、，而厄米多项式的正负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。12.2 镜面上场的振幅和相位分布镜面上场的振幅和相位分布12.2 镜面上场的振幅和相位分布镜面上场的振幅和相位分布D、相位分布、相位分布镜面上等相位面由镜面上等相位面由镜面上等相位面由镜面上等相位面由mnmnmnmn(x,y(x,y(x,y(x,y)的幅角决定。的幅角决定。的幅角决定。的幅角决定。由于长椭球函数为实函数，则由于长椭球函数为实函数，则由于长椭球函数为实函数，则由于长椭球函数为实函数，则mnmnmnmn(

42、x,y(x,y(x,y(x,y)也是实也是实也是实也是实函数，其幅角为函数，其幅角为函数，其幅角为函数，其幅角为0 0 0 0，说明镜面上各点的相位相同，说明镜面上各点的相位相同，说明镜面上各点的相位相同，说明镜面上各点的相位相同，即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。共焦腔与平平腔的相位分布不同；共焦腔与平

43、平腔的相位分布不同；共焦腔与平平腔的相位分布不同；共焦腔与平平腔的相位分布不同；12.3 单程损耗单程损耗共焦腔自再现模的单程损耗：共焦腔自再现模的单程损耗：共焦腔自再现模的单程损耗：共焦腔自再现模的单程损耗：通过计算可以得到不同腔的通过计算可以得到不同腔的通过计算可以得到不同腔的通过计算可以得到不同腔的损耗，如右图所示。损耗，如右图所示。损耗，如右图所示。损耗，如右图所示。均匀平面波在镜面边缘的夫琅均匀平面波在镜面边缘的夫琅均匀平面波在镜面边缘的夫琅均匀平面波在镜面边缘的夫琅和费衍射损耗大于平平腔自再和费衍射损耗大于平平腔自再和费衍射损耗大于平平腔自再和费衍射损耗大于平平腔自再现模的衍射损耗

44、，而平平腔的现模的衍射损耗，而平平腔的现模的衍射损耗，而平平腔的现模的衍射损耗，而平平腔的损耗大于共焦腔的衍射损耗；损耗大于共焦腔的衍射损耗；损耗大于共焦腔的衍射损耗；损耗大于共焦腔的衍射损耗；基模的损耗是所有模式的损耗基模的损耗是所有模式的损耗基模的损耗是所有模式的损耗基模的损耗是所有模式的损耗中最少的；中最少的；中最少的；中最少的；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；12.3 单程损耗单程损耗 共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地共焦腔中各个模式的损耗

45、与腔的具体尺寸无关，而单值地共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地由菲涅尔数确定，由菲涅尔数确定，由菲涅尔数确定，由菲涅尔数确定，TEMTEM0000模的损耗可近似按下述公式计算：模的损耗可近似按下述公式计算：模的损耗可近似按下述公式计算：模的损耗可近似按下述公式计算：He-NeHe-Ne激光器采用共焦腔，激光器采用共焦腔，激光器采用共焦腔，激光器采用共焦腔，L=30cmL=30cm，放电管半径，放电管半径，放电管半径，放电管半径a=0.1cma=0.1cm，输出波长，输出波长，输出波长，输出波长0.6328um0.6328um，对应菲涅耳数为，对应菲涅耳数为，对应菲涅耳数为，对应

46、菲涅耳数为5.6275.627，可以求出可以求出可以求出可以求出 而如果采用平平腔，而如果采用平平腔，而如果采用平平腔，而如果采用平平腔，。以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，当当当当N N不太小时，衍射损耗可以忽略不计。不太小时，衍射损耗可以忽略不计。不太小时，衍射损耗可以忽略不计。不太小时，衍射损耗可以忽略不计。当当当当N N相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍相同时，不同

47、的横模有不同的损耗，因此可以利用衍相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍射损耗的差别来进行横模选择。射损耗的差别来进行横模选择。射损耗的差别来进行横模选择。射损耗的差别来进行横模选择。12.4 单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率 单程相移由本征值决定：单程相移由本征值决定：单程相移由本征值决定：单程相移由本征值决定：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：该相移与该相移与该相移与该相移与N N无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；无关，而是由横模

48、的阶次决定的，这与平平腔情况不同；无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；由谐振腔的谐振条件由谐振腔的谐振条件由谐振腔的谐振条件由谐振腔的谐振条件 可得：可得：可得：可得：则谐振频率为：则谐振频率为：则谐振频率为：则谐振频率为：12.4 单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率 纵模间隔：纵模间隔：纵模间隔：纵模间隔：当当当当mm、n n不变时，由不变时，由不变时，由不变时，由q q变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当当当当q q、n n

49、不变时，由不变时，由不变时，由不变时，由mm变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当当当当q q、mm不变时，由不变时，由不变时，由不变时，由n n变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：模式简并：模式简并：模式简并：模式简并：不同的不同的q q、mm、n n所决定的所决定的横模处于同一个谐振频率横模处于同一个谐振频率mnqmnq，即使得即使得q q+(m+n+1)/2+(m+n+1)/2相同的各种相同

50、的各种m m、n n、q q搭配。搭配。12.5 方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场 当镜面上的场分布能够用厄米当镜面上的场分布能够用厄米当镜面上的场分布能够用厄米当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦高斯函数来描述时，共焦高斯函数来描述时，共焦高斯函数来描述时，共焦腔中的行波场可以表示为：腔中的行波场可以表示为：腔中的行波场可以表示为：腔中的行波场可以表示为：其中：其中：其中：其中：Emn(x,y,z)表示表示TEMmn模在腔内任一点的场强，模在腔内任一点的场强，E0为常数，为常数，Amn为归一化常数；为归一化常数；只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行只要考虑输出镜的