matlab06符号计算.ppt

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1、MATHEMATICS第6讲 MATLAB的符号计算MATHEMATICS所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所得到结果以标准的符号形式来表示。MathWorks公司以Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号工具箱和扩展符号工具箱。MATHEMATICS一、符号计算基础MATHEMATICS一、符号计算基础参与符号运算的对象可以是参与符号运算的对象可以是符号变量符号变量、符号表达式或符号矩阵符号表达式或符号矩阵。符号变量要先定符号变量要先定义，后引用。义，后引用。可以用可以用sym函数、函数、syms函

2、数函数将运算量定义为符号型数据。引用符号运将运算量定义为符号型数据。引用符号运算函数时，用户可以指定函数执行过程中算函数时，用户可以指定函数执行过程中的变量参数；若用户没有指定变量参数，的变量参数；若用户没有指定变量参数，则使用则使用findsym函数默认的变量作为函数的函数默认的变量作为函数的变量参数。变量参数。（一）定义符号变量MATHEMATICS其目的是将其目的是将x创建为符号变量，以创建为符号变量，以x作为输出变量作为输出变量名。每次调用该函数名。每次调用该函数,可以定义一个符号变量。可以定义一个符号变量。一、符号计算基础（一）定义符号变量1、sym函数函数sym函数的主要功能是创建

3、符号变量，以便进行符号运算，函数的主要功能是创建符号变量，以便进行符号运算，也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。用用sym函数创建符函数创建符号变量的一般格式为：号变量的一般格式为：x=sym(x)MATHEMATICS【例1】作符号计算：a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量一、符号计算基础（一）定义符号变量MATHEMATICSa=sym(a);%定定义义aa为为符符号号运运算算量量，输输出出变变量量名为名为a ab=sym(b);x=sym(x);y=sym(y);x,y=solve(a*x-b*y-1,a*x

4、+b*y-5,x,y)%以以a,b为符号常数，为符号常数，x,y为符号变量为符号变量一、符号计算基础（一）定义符号变量即可得到方程组的解：即可得到方程组的解：x=3/ay=2/bMATHEMATICS 为为了了使使乘乘积积表表达达式式x2+y2x2+y2非非负负，这这里，把变量里，把变量x x和和y y定义为实数。定义为实数。x=sym(x,real);x=sym(x,real);y=sym(y,real);y=sym(y,real);一、符号计算基础（一）定义符号变量【例2】已知一复数表达式已知一复数表达式 z=x+i*y,z=x+i*y,试求其试求其共轭复数共轭复数,并求该表达式与其共轭复

5、数乘积的并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。多项式。MATHEMATICSz=x+i*y;%z=x+i*y;%定义复数表达式定义复数表达式conj(z);%conj(z);%求共轭复数求共轭复数expand(z*conj(z)expand(z*conj(z)%求表达式与其共轭复数乘积的多项式求表达式与其共轭复数乘积的多项式ans=x2+y2若要去掉若要去掉x的属性的属性,可以使用下面语句可以使用下面语句 x=sym(x,unreal)将将x创建为纯格式的符号变量。创建为纯格式的符号变量。一、符号计算基础（一）定义符号变量MATHEMATICSsyms函函数数的的功功能能与与sym函函数数类类

6、似似。syms函函数数可可以以在在一一个个语语句句中中同同时时定定义义多多个个符符号号变量，其一般格式为：变量，其一般格式为：syms arg1 arg2 argN 用用于于将将arg1,arg2,argN等等符符号号创创建建为为符号型数据。符号型数据。一、符号计算基础（一）定义符号变量2、syms函数函数MATHEMATICS（二）默认符号变量（二）默认符号变量在在数数学学表表达达式式中中，一一般般习习惯惯于于使使用用排排在在字字母母表表中中前前面面的的字字母母作作为为变变量量的的系系数数，而而用排在后面的字母表示变量。例如：用排在后面的字母表示变量。例如：f=ax2+bx+c表表达达式式中

7、中的的a,b,c通通常常被被认认为为是是常常数数，用用作变量的系数；而将作变量的系数；而将x看作自变量。看作自变量。一、符号计算基础MATHEMATICS例如例如，数学表达式，数学表达式 f=xn g=sin(at+b)根根据据数数学学式式中中表表示示自自变变量量的的习习惯惯，默默认认a,b,c为为符号常数，符号常数，x为符号变量。为符号变量。若在若在MATLAB中表示上述表达式，首先用中表示上述表达式，首先用syms 函数定义函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中

8、的自变量，默认采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认a,b,c为符号常数，为符号常数，x，t为符号变量。为符号变量。即即：对函数对函数f求导为：求导为：df/dx 对函数对函数g求导为：求导为：dg/dt一、符号计算基础（二）默认符号变量MATHEMATICS为为了了了了解解函函数数引引用用过过程程中中使使用用的的符符号号变变量量个个数数及及变变量量名名，可可以以用用findsym函函数数查查询询默默认认的的变变量量。该函数的引用格式为：该函数的引用格式为：findsym（f,n）说明：说明：f为用户定义的为用户定义的符号函数符号函数，n为正整数，表示查询变量的个数。为正整数，表示查询变量的

9、个数。n=i,表表示示查查询询i个个系系统统默默认认变变量量。n值值省省略略时时表示查询符号函数中全部系统默认变量。表示查询符号函数中全部系统默认变量。一、符号计算基础（二）默认符号变量MATHEMATICS【例例3】查询符号函数查询符号函数 f=xn g=sin(at+b)中的系统默认变量。中的系统默认变量。syms a b n t x%定义符号变量定义符号变量f=xn;%给定符号函数给定符号函数g=sin(a*t+b);findsym(f,1)%在在f函函数数中中查查询询1个个系系统统默默认认变变量量ans=x表示表示f函数中查询的函数中查询的1个系统默认变量为个系统默认变量为x。一、符号

10、计算基础（二）默认符号变量MATHEMATICS（三）（三）符号表达式符号表达式符符号号表表达达式式由由符符号号变变量量、函函数数、算算术术运运算算符符等等组组成成。符符号号表表达达式式的书写格式与数值表达式相同。例如的书写格式与数值表达式相同。例如,数学表达式数学表达式 一、符号计算基础其符号表达式为：其符号表达式为：1+sqrt(5*x)/2注注意意，在在定定义义表表达达式式前前应应先先将将表表达达式式中中的的字字符符x定定义义为为符符号号变量。变量。MATHEMATICS（四）（四）生成符号函数生成符号函数将表达式中的自变量定义为符号变量后，将表达式中的自变量定义为符号变量后，赋值给符号

11、函数名，即可生成符号函数。赋值给符号函数名，即可生成符号函数。例如有一数学表达式：例如有一数学表达式：一、符号计算基础MATHEMATICS其其用用符符号号表表达达式式生生成成符符号号函函数数fxy的的过过程程为：为：syms a b c x y%定义符号运算量定义符号运算量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2%生成符号函数生成符号函数生生成成符符号号函函数数fxy后后，即即可可用用于于微微积积分分等等符号计算。符号计算。一、符号计算基础（四）生成符号函数MATHEMATICS【例例4 4】定定义义一一个个符符号号函函数数 fxy=fxy=(a*x2+b*y2)/c2，分分别别求求该该函数对

12、函数对x、y的导数和对的导数和对x的积分。的积分。syms a b c x y%定义符号变量定义符号变量fxy=(a*x2+b*y2)/c2；%生成符号函数生成符号函数 diff(fxy，x)%符号函数符号函数fxy对对x求导数求导数ans=2*a*x/c2diff(fxy，y)%符号函数符号函数fxy对对y求导数求导数 ans=2*b*y/c2int(fxy，x)%符号函数符号函数fxy对对x求积分求积分ans=1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x)一、符号计算基础（四）生成符号函数MATHEMATICS二、微积分MATHEMATICS（一）（一）微积分函数微积分函数1.求极限求极限

13、函数函数limit用于求符号函数用于求符号函数f的极限。系统的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能：功能：二、微积分MATHEMATICS limit(f,x,a)：求符号函数求符号函数f（x）的极限值。即计算当变量）的极限值。即计算当变量x趋趋近于常数近于常数a时，时，f（x）函数的极限值。）函数的极限值。limit(f,a)：求符号函数求符号函数f（x）的极限值。由于没有指定符号函）的极限值。由于没有指定符号函数数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函数）的自变量，则

14、使用该格式时，符号函数f（x）的变量为函数）的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，既变量确定的默认自变量，既变量x趋近于趋近于a。limit(f)：求符号函数求符号函数f（x）的极限值。符号函数）的极限值。符号函数f（x）的变量为）的变量为函数函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于趋近于0，即，即a=0的情况。的情况。limit(f,x,a,right)：求符号函数求符号函数f的极限值。的极限值。right表示表示变量变量x从右边趋近于从右边趋近于a。limit(f,x,a,left)：

15、求符号函数求符号函数f的极限值。的极限值。left表示变量表示变量x从左边趋近于从左边趋近于a。二、微积分MATHEMATICS【例5】求极限求极限二、微积分syms x;%syms x;%定义符号变量定义符号变量f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3;%f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3;%确定符号表达式确定符号表达式w=limit(f)%w=limit(f)%求函数的极限求函数的极限输出：输出：w=-1/2w=-1/2MATHEMATICS2.微分函数微分函数diff函函数数用用于于对对

16、符符号号表表达达式式s求求微微分分。该该函函数数的的一一般般引引用格式为：用格式为：diff(s,v,n)二、微积分说明：说明：应应用用diff（s）没没有有指指定定微微分分变变量量和和微微分分阶阶数数，则则系系统统按按findsym函函数数指指示示的的默默认认变变量量对对符符号号表表达达式式s求求一一阶阶微微分。分。应应用用diff（s，v）或或diff（s，sym（v）格格式，表示以式，表示以v为自变量，对符号表达式为自变量，对符号表达式s求一阶微分。求一阶微分。应应用用diff（s，n）格格式式，表表示示对对符符号号表表达达式式s求求n阶阶微微分，分，n为正整数。为正整数。应应用用dif

17、f（s，v，n）格格式式，表表示示以以v为为自自变变量量，对符号表达式对符号表达式s求求n阶微分。阶微分。MATHEMATICS【例6】求导数：求导数：二、微积分x=sym(x);%定义符号变量定义符号变量t=sym(t);diff(sin(x2)%求导运算求导运算ans=2*cos(x2)*xMATHEMATICS3积分函数积分函数积积分分函函数数int（s，v，a，b)可可以以对对被被积积函函数或符号表达式数或符号表达式s求积分。其引用格式为：求积分。其引用格式为：int（s，v，a，b)说明：说明：(1)应应用用int（s）格格式式，表表示示没没有有指指定定积积分分变变量量和和积积分分阶

18、阶数数时时，系系统统按按findsym函函数数指指示示的的默默认认变变量量对对被被积积函函数数或或符号表达式符号表达式s求一阶不定积分。求一阶不定积分。(2)应应用用int（s，v）格格式式，表表示示以以v为为自自变变量量，对对被被积积函函数或符号表达式数或符号表达式s求一阶不定积分。求一阶不定积分。(3)应应用用积积分分函函数数时时，如如果果给给定定 a、b两两项项，表表示示是是进进行行定定积积分分运运算算。a、b分分别别表表示示定定积积分分的的下下限限和和上上限限。不不指指定积分的下限和上限表示求不定积分。定积分的下限和上限表示求不定积分。二、微积分MATHEMATICS【例【例7 7】求

19、下述积分求下述积分二、微积分syms xint(1/(1+x2)ans=atan(x)MATHEMATICS4.级数级数(级数求和级数求和)级级数数求求和和运运算算是是数数学学中中常常见见的的一一种种运运算算。例如：例如：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn函函数数symsum可可以以用用于于此此类类对对符符号号函函数数f的的求求和和运运算算。该该函函数数的的引引用用时时，应应确确定定级级数数的的通通项项式式s，变量的变化范围，变量的变化范围a和和b。该函数的引用格式为：。该函数的引用格式为：symsum(s,a,b)二、微积分MATHEMATICS【例例 8 8】求求 级级

20、数数 的的 和和:键键 入入：1/1 12 2+1/2+1/22 2+1/3+1/32 2+1/4+1/42 2+二、微积分syms k symsum(1/k2,1,Inf)%k值为值为1到无穷大到无穷大ans=1/6*pi2其结果为：其结果为：1/1 12 2+1/2+1/22 2+1/3+1/32 2+1/4+1/42 2+=+=2/6MATHEMATICS三、简化方程表达式MATHEMATICS1.因式分解因式分解factor函函数数的的功功能能为为：把把多多项项式式S分分解解为为多多个个因因式式，各各多项式的系数均为有理数。格式为：多项式的系数均为有理数。格式为：factor(s)三、

21、简化方程表达式【例【例9 9】将表达式将表达式(x9-1)分解为多个因式。分解为多个因式。syms xfactor(x9-1)ans=ans=(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)MATHEMATICS2.嵌套嵌套将将符符号号多多项项式式s用用嵌嵌套套形形式式表表示示，即即用用多多层层括括号号的的形形式式表示。表示。horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：函数可以实现此功能。该函数的格式为：horner(s)三、简化方程表达式【例10】将将表表达达式式x3-6*x2+11*x-6用用嵌嵌套套形形式式表表示。示。syms xhor

22、ner(x3-6*x2+11*x-6)ans=-6+(11+(-6+x)*x)*xMATHEMATICS四、解方程MATHEMATICS解方程函数的格式为：解方程函数的格式为：solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN)或或 solve(expr1,expr2,.,exprN)其功能为：其功能为：求解代数方程组求解代数方程组expr1,expr2,.,exprN的的 根根，未未 知知 数数 为为var1,var2,.varN。说明：说明：若若不不指指明明符符号号表表达达式式expr1,expr2,.,exprN的的值值，系系统统默默认认为为0。例例如如给

23、给出出一一个个表表达达式式x2-3*x-8,则则系统将按系统将按x2-3*x-8=0进行运算；进行运算；四、解方程MATHEMATICS【例【例1111】解代数方程：解代数方程：a*xa*x2 2-b*x-6=0-b*x-6=0syms a b xsolve(a*x2-b*x-6)ans=1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2)1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2)即该方程有两个根即该方程有两个根:x1=1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2)；x2=1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2)四、解方程MATHEMATICS上机作业：上机作业：1解方程组：2.计算：f(x)=sin(x)f(x)=1/cos(x)