高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理111ppt课件新人教A版选修.ppt

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1、第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用主主题题1:1:分分类类加法加法计计数原理数原理某志愿者从杭州奔赴北京参加公益活某志愿者从杭州奔赴北京参加公益活动动,假假设设每天有每天有4 4个航班个航班,5,5列火列火车车.1.1.该该志愿者要完成的一件事是什么志愿者要完成的一件事是什么?提示提示:从杭州乘火车或飞机奔赴北京参加公益活动从杭州乘火车或飞机奔赴北京参加公益活动.2.2.有几有几类类方案可完成方案可完成这这件事件事?每每类类方案又各有几种方法方案又各有几种方法?每种方法是否都能完成每种方法是否都能完成这这件事件事?提示提

2、示:两两类方案方案,第一第一类方方类:乘乘飞机机,有有4种方法种方法;第二第二类方案方案:坐火坐火车,有有5种方法种方法.每种方案中的每种方法都能完成每种方案中的每种方法都能完成这件事件事.3.3.该该志愿者从杭州到北京共有多少种不同方法志愿者从杭州到北京共有多少种不同方法?提示提示:共有共有4+5=94+5=9种不同的方法种不同的方法.结论结论:分分类类加法加法计计数原理数原理完成一件事有两完成一件事有两类类不同方案不同方案,在第在第1 1类类方案中有方案中有m m种不种不同的方法同的方法,在第在第2 2类类方案中有方案中有n n种不同的方法种不同的方法,那么完成那么完成这这件事共有件事共有

3、N=_N=_种不同的方法种不同的方法.m+nm+n【微思考微思考】根据分根据分类类加法加法计计数原理考数原理考虑虑完成一件事的第完成一件事的第1 1类类方案与方案与第第2 2类类方案中的每一种方法有没有重复或方案中的每一种方法有没有重复或遗遗漏漏?提示提示:每种方法都可以独立地完成这件事每种方法都可以独立地完成这件事,它们之间没它们之间没有重复或遗漏有重复或遗漏.主主题题2:2:分步乘法分步乘法计计数原理数原理某志愿者从某志愿者从丽丽水奔赴北京参加公益活水奔赴北京参加公益活动动,中中间间在杭州停在杭州停留留,假假设设每天从每天从丽丽水到杭州有水到杭州有3 3次汽次汽车车,从杭州到北京有从杭州到

4、北京有4 4个航班个航班.1.1.该该志愿者要完成志愿者要完成这这件事需要几个步件事需要几个步骤骤?提示提示:两个两个,即先坐汽车到杭州即先坐汽车到杭州,再从杭州乘飞机到北京再从杭州乘飞机到北京.2.2.完成每一步各有几种方法完成每一步各有几种方法?提示提示:第一步第一步(坐汽车坐汽车):):有有3 3种方法种方法,第二步第二步(乘飞机乘飞机):):有有4 4种方法种方法.3.3.该该志愿者从志愿者从丽丽水到北京共有多少种不同的方法水到北京共有多少种不同的方法?提示提示:共有共有3 34=124=12种方法种方法.结论结论:分步乘法分步乘法计计数原理数原理完成一件事需要两个步完成一件事需要两个

5、步骤骤,做第做第1 1步有步有m m种不同的方种不同的方法法,做第做第2 2步有步有n n种不同的方法种不同的方法,那么完成那么完成这这件事共有件事共有N=_N=_种不同的方法种不同的方法.m mn n【微思考微思考】1.1.分步乘法分步乘法计计数原理的特征是什么数原理的特征是什么?提示提示:分步就是说完成这件事的任何一种方法分步就是说完成这件事的任何一种方法,都要分都要分成若干个步骤成若干个步骤,要完成这件事必须且只需连续完成这若要完成这件事必须且只需连续完成这若干个步骤后干个步骤后,这件事才算完成这件事才算完成.2.2.第第1 1步采用不同的方法步采用不同的方法对对第第2 2步方法的步方法

6、的选选取有没有影取有没有影响响?提示提示:第第1 1步与第步与第2 2步互相独立步互相独立,没有影响没有影响.【预习预习自自测测】1.1.从从A A地到地到B B地地,可乘汽可乘汽车车、火、火车车、轮轮船三种交通工具船三种交通工具,如果一天内汽如果一天内汽车发车发3 3次次,火火车发车发4 4次次,轮轮船船发发2 2次次,那么一那么一天内乘坐天内乘坐这这三种交通工具的不同走法三种交通工具的不同走法为为()A.1+1+1=3A.1+1+1=3 B.3+4+2=9B.3+4+2=9C.3C.34 42=242=24D.D.以上都不以上都不对对【解析解析】选B.B.乘汽车有乘汽车有3 3种方法种方法

7、,乘火车有乘火车有4 4种方法种方法,坐坐轮船有轮船有2 2种方法种方法.根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理,共有共有3+4+2=93+4+2=9种不同的走法种不同的走法.2.2.某体育某体育场场南南侧侧有有4 4个大个大门门,北北侧侧有有3 3个大个大门门,某学生到某学生到该该体育体育场练习场练习跑步跑步,则则他他进进出出门门的方案有的方案有()A.12A.12种种B.7B.7种种C.24C.24种种D.49D.49种种【解析解析】选D.D.该学生从南侧进、南侧出有该学生从南侧进、南侧出有4 44=164=16种方种方案案;从北侧进、北侧出有从北侧进、北侧出有3 33=93=9种方案种

8、方案;从一侧进另一从一侧进另一侧出有侧出有2 24 43=243=24种方案种方案,所以共有所以共有16+9+24=4916+9+24=49种方案种方案.3.(a3.(a1 1+a+a2 2+a+a3 3)(b)(b1 1+b+b2 2+b+b3 3+b+b4 4)的展开式中共有的展开式中共有()A.60A.60项项B.12B.12项项C.30C.30项项D.D.以上都不以上都不对对【解析解析】选B.B.完成这件事需分两步完成这件事需分两步,第一步第一步:从第一个从第一个括号中取一字母有括号中取一字母有3 3种方法种方法;第二步第二步:从第二个括号中取从第二个括号中取一字母有一字母有4 4种方

9、法种方法.故共有故共有3 34=124=12项.4.4.加工某个零件分三道工序加工某个零件分三道工序,第一道工序有第一道工序有5 5人可以人可以选选择择,第二道工序有第二道工序有6 6人可以人可以选择选择,第三道工序有第三道工序有4 4人可以人可以选择选择,从中从中选选3 3人每人做一道工序人每人做一道工序,则选则选法有法有_种种.【解析解析】选第一、第二、第三道工序各一人的方法数选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为依次为5,6,4,5,6,4,由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知,选法总数为选法总数为N=5N=56 64=120.4=120.答案答案:1201205.5.现现有有

10、5 5幅不同的国画幅不同的国画,2,2幅不同的油画幅不同的油画,7,7幅不同的水彩幅不同的水彩画画.(1)(1)从中任取一幅画布置房从中任取一幅画布置房间间,有几种不同的有几种不同的选选法法?(2)(2)从从这这些国画、油画、水彩画中各些国画、油画、水彩画中各选选一幅布置房一幅布置房间间,有几种不同的有几种不同的选选法法?(?(仿照教材仿照教材P5P5例例3 3的解析的解析过过程程)【解析解析】(1)从中任取一幅画从中任取一幅画,有三有三类方法方法:第第1类方法是从国画中取一幅有方法是从国画中取一幅有5种不同方法种不同方法;第第2类方法是从油画中取一幅有方法是从油画中取一幅有2种不同方法种不同

11、方法;第第3类方法是从水彩画中取一幅有方法是从水彩画中取一幅有7种不同方法种不同方法.所以不同取法的种数是所以不同取法的种数是5+2+7=14.(2)从三种画中各取一幅从三种画中各取一幅,可分成三个步可分成三个步骤完成完成:第第1步步,从国画中取从国画中取1幅幅,有有5种方法种方法;第第2步步,从油画中取从油画中取1幅幅,有有2种方法种方法;第第3步步,从水彩画中取从水彩画中取1幅幅,有有7种方法种方法.所以不同取法的种数是所以不同取法的种数是527=70.类类型一分型一分类类加法加法计计数原理的数原理的应应用用【典例典例1 1】(1)(2017(1)(2017日照高二日照高二检测检测)如如图

12、图所示所示,在在A,BA,B间间有四个有四个焊焊接点接点1,2,3,4,1,2,3,4,若若焊焊接点脱落接点脱落导导致断路致断路,则则电电路不通路不通,现发现电现发现电路不通路不通,则焊则焊接点脱落的不同情况接点脱落的不同情况有有()A.16A.16种种B.15B.15种种C.9C.9种种D.8D.8种种(2)(2)满满足足a,b-1,0,1,2,a,b-1,0,1,2,且关于且关于x x的方程的方程axax2 2+2x+b=0+2x+b=0有有实实数解的有序数数解的有序数对对(a,ba,b)的个数的个数为为_._.【解解题指南指南】(1)根据根据题意意,可将其分可将其分为1个、个、2个、个、

13、3个、个、4个个焊接点脱落的情形接点脱落的情形,即分成四即分成四类,按照分按照分类加法加法计数数原理求解原理求解.(2)分分a=0与与a0两种情况两种情况,当当a0时再借助判再借助判别式式讨论求求解解.【解析解析】(1)选B.按照可能脱落的个数可分成四按照可能脱落的个数可分成四类:第一第一类:1个个焊接点脱落接点脱落,有有4种情况种情况.第二第二类:2个个焊接点脱落接点脱落,有有6种情况种情况.即即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).第三第三类:3个个焊接点脱落接点脱落,有有4种情况种情况.即即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).

14、第四第四类:4个个焊接点脱落接点脱落,有有1种情况种情况.即即(1,2,3,4).所以共有所以共有4+6+4+1=15种情况种情况.(2)当当a=0时,关于关于x的方程的方程为2x+b=0,此此时有序数有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均均满足要求足要求;当当a0时,由由=4-4ab0,ab1,此此时满足要求的有序数足要求的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上上,满足要求的有序数足要求的有序数对共有共有13个个.答案答案:13【延伸探究延伸探究】1.1.若将典例若将典例1(

15、1)1(1)中的中的“图图形形”改改变变成成“如下如下图图形形”,结结果如果如何何?【解析解析】按照可能脱落的个数可分成四按照可能脱落的个数可分成四类:第一第一类:1个个焊接点脱落接点脱落,有有2种情况种情况,即即1,4.第二第二类:2个个焊接点脱落接点脱落,有有6种情况种情况,即即(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4).第三第三类:3个个焊接点脱落接点脱落,有有4种情况种情况,即即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).第四第四类:4个个焊接点脱落接点脱落,有有1种情况种情况,即即(1,2,3,4).所以共有所以共有2+6+4+1=13

16、种情况种情况.2.2.若将典例若将典例1(1)1(1)中增加条件中增加条件“已知已知焊焊接点接点2 2是正常的是正常的”,结结果如何果如何?【解析解析】由于由于焊接点接点2正常正常,所以可能脱落的个数可分成所以可能脱落的个数可分成三三类:第一第一类:1个个焊接点脱落接点脱落,有有3种情况种情况,即即1,3,4.第二第二类:2个个焊接点脱落接点脱落,有有3种情况种情况,即即(1,3),(1,4),(3,4).第三第三类:3个个焊接点脱落接点脱落,有有1种情况种情况,即即(1,3,4).所以共有所以共有3+3+1=7种情况种情况.【方法方法总结总结】1.1.应应用分用分类类加法加法计计数原理解数原

17、理解题题的步的步骤骤2.2.分分类类加法加法计计数原理的推广数原理的推广完成一件事有完成一件事有n n类类不同方案不同方案,在第在第1 1类类方案中有方案中有m m1 1种不同种不同的方法的方法,在第在第2 2类类方案中有方案中有m m2 2种不同的方法种不同的方法,在第在第n n类类方案中有方案中有m mn n种不同的方法种不同的方法,那么完成那么完成这这件事共有件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+m mn n种不同的方法种不同的方法.【补偿训练补偿训练】(1)(1)某某兴兴趣小趣小组组有男生有男生1010名名,女生女生9 9名名,要从中要从中选选出一名出一名组长组长,不同的不同的选选

18、法共有法共有()A.8A.8种种B.7B.7种种C.19C.19种种D.90D.90种种(2)(2)书书架上架上层层放放4 4本不同的数学本不同的数学书书,中中层层放放6 6本不同的外本不同的外语书语书,下下层层放放5 5本不同的本不同的语语文文书书,从中任取从中任取1 1本本,不同的取不同的取法种数法种数为为()A.15A.15B.120B.120C.3C.3D.1D.1【解析解析】(1)选C.只要只要选出一名出一名组长即可即可,共有共有N=10+9=19种方法种方法.(2)选A.由分由分类加法加法计数原理数原理,共有共有4+6+5=15种不同的种不同的取法取法.类类型二分步乘法型二分步乘法

19、计计数原理的数原理的应应用用【典例典例2 2】在平面直角坐在平面直角坐标标系内系内,若点若点P(x,yP(x,y)的横、的横、纵纵坐坐标标均在均在0,1,2,30,1,2,3内取内取值值.问问:(1):(1)点点P P可以表示平面上多少个不同的点可以表示平面上多少个不同的点?(2)(2)点点P P可以表示平面上多少个第一象限的点可以表示平面上多少个第一象限的点?【解解题指南指南】先确定先确定P点横坐点横坐标,再确定其再确定其纵坐坐标,用分用分步乘法步乘法计数原理求解数原理求解.【解析解析】(1)确定确定P的坐的坐标分两步分两步第第1步步:确定横坐确定横坐标x,从从0,1,2,3四个数字中四个数

20、字中选一个一个,有有4种种方法方法.第第2步步:确定确定纵坐坐标y,从从0,1,2,3四个数字中四个数字中选一个一个,有有4种种方法方法.根据分步乘法根据分步乘法计数原理数原理,所有不同的点所有不同的点P的个数的个数为:44=16(个个).(2)第一象限的点的横坐第一象限的点的横坐标,纵坐坐标都都为正数正数,所以横坐所以横坐标x从从1,2,3三个数中三个数中选一个一个,有有3种方法种方法.纵坐坐标y从从1,2,3三三个数中个数中选一个一个,有有3种方法种方法,所以第一象限的点共有所以第一象限的点共有33=9(个个).【方法方法总结总结】1.1.利用分步乘法利用分步乘法计计数原理解数原理解题题的

21、步的步骤骤2.2.分步乘法分步乘法计计数原理的推广数原理的推广完成一件事需要完成一件事需要n n个步个步骤骤,做第做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法,做做第第2 2步有步有m m2 2种不同的方法种不同的方法,做第做第n n步有步有m mn n种不同的方种不同的方法法,那么完成那么完成这这件事共有件事共有N=mN=m1 1m m2 2m m3 3m mn n种不同的种不同的方法方法.【巩固巩固训练训练】(2016(2016全国卷全国卷)如如图图,小明从街道的小明从街道的E E处处出出发发,先到先到F F处处与小与小红红会合会合,再一起到位于再一起到位于G G处处的老年的老年

22、公寓参加志愿者活公寓参加志愿者活动动,则则小明到老年公寓可以小明到老年公寓可以选择选择的最的最短路径条数短路径条数为为()A.24A.24B.18B.18C.12C.12D.9D.9【解析解析】选B.EB.EF F有有6 6种走法种走法,F,FG G有有3 3种走法种走法,由分歩由分歩乘法计数原理知乘法计数原理知,共共6 63=183=18种走法种走法.【补偿训练补偿训练】从集合从集合1,2,3,1,2,3,10,10中中,选选出由出由5 5个数个数组组成的集合的子集成的集合的子集,使得使得这这5 5个数中的任何两个数的和个数中的任何两个数的和不等于不等于11,11,这样这样的子集共有多少个的

23、子集共有多少个?【解解题题指南指南】根据子集的定根据子集的定义义分析分析,把握任意两个数的把握任意两个数的和不等于和不等于11,11,可以先可以先寻寻找和等于找和等于1111的情况的情况,再根据子集再根据子集的思想分析解决的思想分析解决.【解析解析】和为和为1111的数共有的数共有5 5组:1:1与与10,210,2与与9,39,3与与8,48,4与与7,57,5与与6,6,子集中的元素不能取自同一组中的两数子集中的元素不能取自同一组中的两数,即子即子集中的元素取自集中的元素取自5 5个组中的一个数个组中的一个数,而每个数的取法有而每个数的取法有2 2种种,所以子集的个数为所以子集的个数为N=

24、2N=22 22 22 22=22=25 5=32.=32.类类型三两个型三两个计计数原理的数原理的综综合合应应用用【典例典例3 3】(2017(2017济济宁高二宁高二检测检测)某某艺术艺术小小组组有有9 9人人,每每人至少会人至少会钢钢琴和小号中的一种琴和小号中的一种乐乐器器,其中其中7 7人会人会钢钢琴琴,3,3人会小号人会小号,从中从中选选出会出会钢钢琴与小号的各琴与小号的各1 1人人,有多少种不有多少种不同的同的选选法法?【解解题题指南指南】先确定既会先确定既会钢钢琴又会小号的人数琴又会小号的人数,再以既再以既会会钢钢琴又会小号的人琴又会小号的人为为依据分依据分类讨论类讨论.【解析解

25、析】由题意可知由题意可知,在艺术小组在艺术小组9 9人中人中,有且仅有有且仅有1 1人人既会钢琴又会小号既会钢琴又会小号(把该人称为把该人称为“多面手多面手”).).只会钢琴只会钢琴的有的有6 6人人,只会小号的有只会小号的有2 2人人,把选出会钢琴把选出会钢琴,小号各小号各1 1人人的方法分为两类的方法分为两类:第一步第一步:多面手入多面手入选,另另1人只需从其他人只需从其他8人中任人中任选一个一个,故故这类选法共有法共有8种种.第二步第二步:多面手不入多面手不入选,则选会会钢琴者只能从琴者只能从6个只会个只会钢琴的人中琴的人中选出出,选会小号者也只能从只会小号的会小号者也只能从只会小号的2

26、人中人中选出出,故故这类选法共有法共有62=12(种种).因此因此N=8+62=20(种种),故共有故共有20种不同的种不同的选法法.【方法方法总结总结】运用两个原理解决运用两个原理解决计计数数问题应问题应注意的事注意的事项项(1)(1)在在处处理具体的理具体的应应用用题时题时,首先必首先必须须弄清是弄清是“分分类类”还还是是“分步分步”,其次要搞清其次要搞清“分分类类”或或“分步分步”的具体的具体标标准是什准是什么么.选择选择合理的合理的标标准准处处理事件理事件,可以避免可以避免计计数的重复或数的重复或遗遗漏漏.(2)(2)对对于一些比于一些比较较复复杂杂的既要运用分的既要运用分类类加法加法

27、计计数原理又数原理又要运用分步乘法要运用分步乘法计计数原理的数原理的问题问题,我我们们可以恰当地画出可以恰当地画出示意示意图图或列出表格或列出表格,使使问题问题更加直更加直观观、清晰、清晰.【巩固巩固训练训练】现现有高一年有高一年级级的四个班的学生的四个班的学生3434人人,其中其中一、二、三、四班各一、二、三、四班各7 7人、人、8 8人、人、9 9人、人、1010人人,他他们们自愿自愿组组成数学成数学课课外小外小组组.(1)(1)选选其中一人其中一人为负责为负责人人,有多少种不同的有多少种不同的选选法法?(2)(2)每班每班选选一名一名组长组长,有多少种不同的有多少种不同的选选法法?(3)

28、(3)推推选选两人做中心两人做中心发发言言,这这两人需来自不同的班两人需来自不同的班级级,有有多少种不同的多少种不同的选选法法?【解析解析】(1)分四分四类:第一第一类,从一班学生中从一班学生中选1人人,有有7种种选法法;第二第二类,从二班学生中从二班学生中选1人人,有有8种种选法法;第三第三类,从三班学生中从三班学生中选1人人,有有9种种选法法;第四第四类,从四班学生中从四班学生中选1人人,有有10种种选法法,所以所以,共有不同的共有不同的选法法N=7+8+9+10=34(种种).(2)分四步分四步:第一、二、三、四步分第一、二、三、四步分别从一、二、三、四从一、二、三、四班学生中班学生中选

29、一人任一人任组长.所以所以,共有不同的共有不同的选法法N=78910=5040(种种).(3)分六分六类,每每类又分两步又分两步,从一班、二班学生中各从一班、二班学生中各选1人人,有有78种不同的种不同的选法法;从一班、三班学生中各从一班、三班学生中各选1人人,有有79种不同的种不同的选法法;从一班、四班学生中各从一班、四班学生中各选1人人,有有710种不同的种不同的选法法;从二班、三班学生中各从二班、三班学生中各选1人人,有有89种不同的种不同的选法法;从二班、四班学生中各从二班、四班学生中各选1人人,有有810种不同的种不同的选法法;从三班、四班学生中各从三班、四班学生中各选1人人,有有9

30、10种不同的种不同的选法法.所以共有不同的所以共有不同的选法法N=78+79+710+89+810+910=431(种种).【补偿训练补偿训练】甲、乙、丙甲、乙、丙3 3位志愿者安排在周一至周五位志愿者安排在周一至周五的的5 5天中参加某天中参加某项项志愿者活志愿者活动动,要求每人参加一天且每要求每人参加一天且每天至多安排一人天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面并要求甲安排在另外两位前面,不同不同的安排方法共有多少种的安排方法共有多少种?【解析解析】甲排周一甲排周一时,乙有乙有4种排法种排法,丙丙则有有3种排法种排法,共有共有43=12(种种);甲排周二甲排周二时,乙有乙有3种排法种排法,丙有丙有2种排法种排法,共共32=6(种种);甲排周三甲排周三时,乙有乙有2种排法种排法,丙有丙有1种排法种排法,共共21=2(种种).由分由分类加法加法计数原理得不同的安排方法共有数原理得不同的安排方法共有12+6+2=20(种种).【课课堂小堂小结结】1.1.知知识总结识总结2.2.方法方法总结总结应应用用计计数原理数原理应应遵守的两原遵守的两原则则(1)(1)不重不漏原不重不漏原则则:整体分整体分类类无无遗遗漏漏,类类与与类类之之间间无交叉无交叉.(2)(2)步步骤骤完整原完整原则则:步与步之步与步之间间要独立要独立,且完成了所有步且完成了所有步骤骤恰好完成任恰好完成任务务.