MATLAB语言及应用.ppt

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1、系统建模与仿真王海英王海英参考教材参考教材:控制系统的控制系统的MATLAB与仿真，王海英，高等教育出版社与仿真，王海英，高等教育出版社系统建模与仿真，张晓华，清华大学出版社系统建模与仿真，张晓华，清华大学出版社主要内容MATLAB语言及应用系统建模系统仿真及应用第一部分第一部分MATLAB语言及应用语言及应用1.Matlab操作桌面操作桌面 命令窗口命令窗口 历史命令窗口历史命令窗口 当前目录浏览器当前目录浏览器 工作空间浏览器工作空间浏览器 M文件编辑器文件编辑器/调试器调试器 帮助导航帮助导航2.MATLAB编程基础 变量变量 变量命名规则变量命名规则变量的定义变量的定义特殊变量特殊变量

2、变变量名称量名称功能功能变变量名称量名称功能功能ans保存最后一次的运算结果pi圆周率realmax最大的浮点数值realmin最小的浮点数值i虚数单位j虚数单位inf正无穷大NaN非数（0/0，Inf/Inf）示例示例基本数据类型基本数据类型 在MATLAB中共有六种数据类型六种数据类型，每一种类型可以是一维、二维和多维的。基本的数据类型是双精度型复数（double）和字符型（char）。MATLAB以复数矩阵为基本的运算单元。基本语句基本语句 MATLAB最基本的语句是赋值语句，其结构为：变量名列表变量名列表=表达式表达式其中等号左边的变量名列表为MATLAB语句的返回值，若一次返回多个结

3、果，则变量列表用 括起来，各变量间用逗号分隔；等号右边为表达式，可以是矩阵运算或函数调用。关于程序编辑关于程序编辑 语句可以由语句可以由分号分号(;)、逗号、逗号(,)或者回车或者回车结束结束 如果用分号结束，则左边的变量结果不会被显示在命令窗口，否则将显示左侧变量的值。每行可以写多行语句，语句之间用空格、逗号、分号进每行可以写多行语句，语句之间用空格、逗号、分号进行分隔行分隔 用三个黑点表示“续行”，表示下一行是上一行的继续。A=1,2,3;4,5,6;用用%表示注释，表示注释，%开始一直到行末的内容都是注释开始一直到行末的内容都是注释示例示例3.数据结构及其运算数据结构及其运算数据数据类类

4、型型举举 例例解解 释释doubledouble1,2;3,4,5+6i1,2;3,4,5+6i双精度数双精度数值类值类型，是最常用的型，是最常用的类类型。型。charcharHelloHello字符数字符数组组，每个字符占，每个字符占1616位。位。sparsesparsespeye(5)speye(5)双精度稀疏矩双精度稀疏矩阵阵，只存，只存储储矩矩阵阵中的非中的非0 0元素元素cellcell1,2,3;4,5,6;7,8,9,hell1,2,3;4,5,6;7,8,9,hello,eye(2)o,eye(2)细细胞数胞数组组，数，数组组中的每个元素可中的每个元素可为为不同不同类类型、不

5、同型、不同维维的数据。的数据。structstructa.day=12;a.day=12;a.color=a.color=redreda.mat=magic(3)a.mat=magic(3)结结构数构数组组相当于数据相当于数据库库的的记录记录，把相关的，把相关的数据列在一起，称数据列在一起，称为为属性，不同属性的属性，不同属性的数据数据类类型可以不同型可以不同storagestorageunit8(magic(3)unit8(magic(3)8 8位型，位型，为为无符号整数，最大可表示无符号整数，最大可表示255,255,不不能能进进行数学运算。行数学运算。双精度型（双精度型（double）、

6、字符型（）、字符型（char）、稀疏型（）、稀疏型（sparse）、存储型）、存储型（storage）、细胞型（）、细胞型（cell）和结构型（）和结构型（struct）。）。数据类型数据类型 一维数组 一维数组的创建一维数组的创建 逐个元素输入法冒号运算符法一维数组的访问一维数组的访问 一维数组的访问遵循以下约定：用下标方式访问数组元素，下标要用一对圆括号()引起来。下标代表的是元素在数组中的位置序号，从1开始，最大值为数组中元素的个数。下标可以是常量，也可以是变量。可以访问数组中的单个元素，也可以访问数组中的某些元素，即数组的子数组。示例示例例例3.1二维数组 二维数组的建立二维数组的建立

7、逐个输入数组元素值 如果数组内元素数量少，可以直接从键盘逐个输入元素的值，需要遵循的规则是：整个数组必须用中括号“”括起来数组的行与行之间用分号“;”分隔，或者用回车符分隔每行之间的元素必须用逗号“,”或者空格分隔利用M文件 如果数组元素很多，或者元素值要经常改变，我们可以采用M文件来输入和保存数组。例例3.2例例3.3(mydata.m)二维数组的访问二维数组的访问二维数组的访问遵循以下约定：用下标方式访问数组元素，下标要用一对圆形括号()引起来。可以用双下标方式访问数组元素，格式为(r,c)，其中r为二维数组的行下标，c为二维数组的列下标，下标之间用逗号分隔。可以用单下标方式访问二维数组，

8、二维数组的单下标是按照列优先规则排序的，即二维数组被看作是从第一列开始从左到右依次将各列首位连接而成的一维数组，单下标表示元素在这个一维数组中的位置。单下标和双下标具有对应关系可以访问二维数组的某个元素及其子数组，可以对元素和子数组赋值。例例3.4数组操作 标准数组的生成标准数组的生成数组操作数组操作 数组运算 数组运算符数组运算符数组运算函数数组运算函数 矩阵运算 矩阵运算符矩阵运算符矩阵函数矩阵函数 例例3.5例例3.6例例3.8ones功能：生成全1数组，即数组中的元素都为1。格式：Y=ones(n)%生成nn的全1矩阵Y=ones(m1,m2,mk)%生成m1m2mk的全1数组 Y=o

9、nes(size(A)%生成和数组A同样尺寸的全1数组zeros功能：生成全0数组，即数组中的元素都为0。格式：同ones函数rand功能：生成均匀分布随机数组。格式：Y=sand(state,v)%设置随机发生器的初始状态为v,其他同ones函数randn功能：产生正态分布随机数组。格式：同rand函数常用的标准数组magic功能：产生魔方矩阵,不适用于高维数组。格式：M=magic(n)说明：说明：产生nn的魔方矩阵eye功能：产生单位矩阵，即主对角线元素都为1而其他元素都为0的二维数组格式：Y=eye(n),Y=eye(n,m),Y=eys(size(A)Diag功能：产生对角阵，即矩阵

10、的某个对角线元素不全为0，其他元素为0。格式：X=diag(v,k)说明：说明：v为行向量，表示对角线元素。返回返回常用的数组运算符A+B 数组加法运算A-B 数组减法运算A.*B数组相乘，A和B相同位置元素的乘积A./B 数组相除，A和B相同位置元素相除A.p数组各元素求p次幂A#BA、B数组对应元素间进行关系运算ABA、B数组对应元素间进行逻辑运算A.数组转置，非共轭转置sA标量s与数组A运算返回返回常用的数组运算函数三角函数sin，cos，asin，asinh，asec，sect，tan，atan指数对数函数：exp指数函数log自然对数函数log10以10为底的对数函数log2以2为底

11、的对数函数pow22的幂函数sqrt平方根函数复数函数abs绝对值，模angle相角（弧度）imag复数的虚部real复数的实部conj复数的共轭取整函数ceil向+方向取整fix向0方向取整floor向-方向取整round向最近的整数取整常用的矩阵运算A+B矩阵加法A-B矩阵减法A*B矩阵乘法A/B矩阵右除，求xB=A的最小二乘解AB矩阵左除，求Bx=A的最小二乘解Ap矩阵乘方s*A标量s与矩阵A相乘expm(A)矩阵的指数函数logm(A)矩阵的对数函数sqrtm(A)矩阵的平方根函数inv(A)矩阵的逆矩阵返回返回多项式多项式的创建多项式的创建多项式的运算多项式的运算 运算符 关系运算符

12、关系运算符 逻辑运算符逻辑运算符逻辑函数逻辑函数 算术运算符算术运算符 关系运算符关系运算符 小于大于=大于等于=等于!=不等于逻辑运算符逻辑运算符&逻辑与|逻辑或 逻辑非示例示例例例3.9例例3.10例例3.11例例3.12多项式常用运算多项式加减：+-%运算符+-实现多项式的加减法多项式相乘:p=conv(p1,p2)%p为多项式p1和多项式p2的乘积多项式相除：q,r=deconv(p1,p2)%多项式p1除以多项式p2，商多项式为q，余多项式为r多项式求导:dp=polyder(p)%多项式p的导数多项式为dp dp=polyder(p1,p2)%多项式p1和p2乘积的导数多项式为dp

13、 num,den=polyder(p1,p2)%有理分式(p1/p2)的求导后的有理分式为(num/den)多项式求值:pA=polyval(p,A)%多项式p在自变量为A时的值多项式求根：r=roots(p)多项式拟合：p=polyfit(x,y,n)矩阵的特征多项式：p=poly(A)%多项式p为矩阵A的特征多项式返回返回常用逻辑函数any(v)向量v中有非0元素，结果为1，否则为0；结果是行向量all(v)向量v中都是非0元素，结果为1。结果是行向量isequal(A,B)判断是否相等，数组运算ismember(A,B)A的元素是B中的元素，则A相应位置的结果为1，否则为0判断特殊数据的

14、逻辑函数isempty isfinite isinf isletter isnan isprime isreal isspace判断数据类型的逻辑函数iscell ischar iscellstr isfield isglobal ishandle islogicalisnumeric isobject issparse isstruct返回返回4.数据的可视化 图形窗口创建图形窗口创建Figure%创建新的图形窗口，并将新创建的窗口作为当创建新的图形窗口，并将新创建的窗口作为当前绘图窗口。前绘图窗口。subplot(m,n,p)%将当前图形窗口分为将当前图形窗口分为m行行n列个子窗口，并指定

15、列个子窗口，并指定第第p个子窗口为当前的绘图子窗口。子窗口序个子窗口为当前的绘图子窗口。子窗口序号号p是是按照行优先按照行优先的次序排列的。的次序排列的。例例4.1二维图形二维图形基本二维绘图函数基本二维绘图函数 plot（y）plot（x，y）plot（x1,y1,x2,y2,）绘图属性控制绘图属性控制plot（x,y,color_linestyle_marker）参数参数color_linestyle_marker为由颜色、线型、为由颜色、线型、数据点等组成的字符串数据点等组成的字符串绘图窗口的属性控制绘图窗口的属性控制例例4.3例例4.2例例4.4例例4.5颜色字符定义表颜色字符定义表字

16、符定义字符定义颜色颜色字符定义字符定义颜色颜色y yyellowyellow（黄）（黄）m mmagentamagenta（洋红）（洋红）c ccyancyan（青）（青）r rredred（红）（红）g ggreengreen（绿）（绿）b bblueblue（兰）默认（兰）默认w wwhitewhite（白）（白）k kblackblack（黑）（黑）线型字符定义表线型字符定义表字符定义字符定义线型线型字符定义字符定义线型线型-实线（默认）实线（默认）-虚线虚线:点划线点划线-.-.点连线点连线nonenone无线无线数据点标记字符定义表数据点标记字符定义表字符定字符定义义数据点数据点标记

17、标记字符定字符定义义颜颜色色+加号加号 反勾号反勾号v v勾号勾号 大于号大于号 小于号小于号o o小小圆圆圈圈*星号星号.小黑点小黑点x x叉号叉号pentagram pentagram 五角星五角星square square 小正方形小正方形hexagram hexagram 六角星六角星diamonddiamond菱形菱形nonenone无无标记标记常用二维图形绘制函数表常用二维图形绘制函数表绘制函数绘制函数意义意义调用格式调用格式bar()bar()条形图条形图bar(x,y)bar(x,y)compass()compass()罗盘图罗盘图compass(x,y)compass(x,y

18、)contour()contour()等高线图等高线图contour(x,y,z)contour(x,y,z)errorbar()errorbar()误差限图误差限图errorbar(x,y,l,u)errorbar(x,y,l,u)hist()hist()直方图直方图hist(x,y)hist(x,y)stairs()stairs()阶梯图阶梯图stairs(x,y)stairs(x,y)pie()pie()饼图饼图pie(y)pie(y)polar()polar()极坐标图极坐标图polar(x,y)polar(x,y)loglog()loglog()对数图对数图loglog(x,y)lo

19、glog(x,y)semilogx()semilogx()semilogy()semilogy()半对数图半对数图semilogx(x,y)semilogx(x,y)semilogy(x,y)semilogy(x,y)例例4.6三维图形三维图形基本三维图形的绘制基本三维图形的绘制plot3(X,Y,Z,s)三维网线图三维网线图 mesh(X,Y,Z)曲面图曲面图surf(X,Y,Z,C)函数绘图函数绘图 一元函数绘图一元函数绘图ezplot(F,xmin,ymin)二元函数绘图二元函数绘图ezsurf(F,domain,ngrid)%在指定矩形区域上，用指定格点数画二元函数曲面在指定矩形区域上

20、，用指定格点数画二元函数曲面ezsurf(F,domain,circ)%在极坐标中绘制二元函数曲面在极坐标中绘制二元函数曲面例4.7设某参数方程组为试绘制由变量x，y，z确定的三维曲线。例例4.7例4.8 绘制函数在自变量取范围内的网线图和曲面图。例例4.8例4.9 绘制球面,锥面等图形例例4.9例4.10 绘制在0t20区间的函数曲线。例4.11 在极坐标系中绘制的图形。例例4.10例例4.115.M文件和程序设计文件和程序设计分支控制分支控制程序控制语句程序控制语句if结构结构ifexpressioncommandsend【说明说明】当表达式当表达式expression的值为真，则执行的值

21、为真，则执行commands语句组，否则跳过语句组，否则跳过commands语句组，语句组，执行执行end之后的语句。之后的语句。if-else结构结构ifexpressioncommands1elsecommands2end【说明说明】如果表达式如果表达式expression的值为真，则执行的值为真，则执行语句组语句组command1，然后跳过语句组，然后跳过语句组command2向向下执行；若表达式下执行；若表达式expression的值为假，则跳过语的值为假，则跳过语句组句组commands1而执行语句组而执行语句组commands2。if-elseif-else结构结构ifexpres

22、sion_1command_1elseifexpression_2command_2elseifexpression_ncommand_nelsecommand_elend【说明说明】如果表达式如果表达式expression_1的值为真，则执行语句组的值为真，则执行语句组command_1，若表达式，若表达式expression_1的值为假，则判断的值为假，则判断expression_2的值，若为真，则执行语句组的值，若为真，则执行语句组command_2，否，否则向下继续判断表达式。如果所有表达式都为假，则执行语句则向下继续判断表达式。如果所有表达式都为假，则执行语句组组command_el

23、。例例5.1 有分段函数有分段函数编编程程输输入入x的的值值，计计算并算并显显示函数示函数值值。例例5.1switch-case结构switchexp_constcasevalue_1commands_1casevalue_2commands_2 casevalue_ncommands_notherwisecommands_owend【说明】表达式exp_const的值和哪一个case语句后的测试值相等，就执行那个case语句下的语句组。如果exp_const和所有测试值都不相等，就执行otherwise后的语句组commands_ow。循环控制循环控制for循环循环for x=Arrayco

24、mmandsend【说明】【说明】x称为循环变量，称为循环变量，commands称为循环体。循环的执行称为循环体。循环的执行步骤是：循环变量从左到右依次取步骤是：循环变量从左到右依次取Array数组的一列，每数组的一列，每取一列就执行一次循环体，循环体被执行的次数为取一列就执行一次循环体，循环体被执行的次数为Array的列数。的列数。while循环循环while expressioncommandsend【说明】【说明】如果表达式如果表达式expression的值为真，则执行的值为真，则执行commands循循环体，直到表达式环体，直到表达式expression的值为假，结束循环。的值为假，结

25、束循环。break【说明】【说明】从循环体中跳出，并使循环结束。从循环体中跳出，并使循环结束。例例5.2：输入物品的标签号码，显示物品的种类。其中输入物品的标签号码，显示物品的种类。其中标签号码为标签号码为1、5、7的物品为食品，号码为的物品为食品，号码为10到到19的物的物品为办公用品，号码为品为办公用品，号码为20、24、28的为音像制品。要的为音像制品。要求不断从键盘输入标签号码，输入一个号码显示一次求不断从键盘输入标签号码，输入一个号码显示一次物品种类，输入错误号码要给出提示，输入号码物品种类，输入错误号码要给出提示，输入号码0则结则结束输入。束输入。例例5.2命令文件命令文件 命令文

26、件没有输入参数也没有输出参数，只命令文件没有输入参数也没有输出参数，只是一些是一些Matlab命令和函数的组合。命令和函数的组合。命令文件可以操作基本工作空间的变量，也命令文件可以操作基本工作空间的变量，也可以生成新的变量。命令文件执行结束后新可以生成新的变量。命令文件执行结束后新变量将保存在基本工作空间中，不会被自动变量将保存在基本工作空间中，不会被自动清除。清除。命令文件是用命令文件是用“.m”为扩展名的文件，只要为扩展名的文件，只要命令文件在搜索路径上，在命令窗口键入文命令文件在搜索路径上，在命令窗口键入文件名就可以运行命令文件。件名就可以运行命令文件。例例5.3:编写命令文件，用于求解

27、小于编写命令文件，用于求解小于1000且为且为2的整数次幂的正整数。的整数次幂的正整数。例例5.3函数文件要在第一行用函数文件要在第一行用function关键字来显关键字来显式的定义。式的定义。函数文件有输入变量和输出变量。函数文件有输入变量和输出变量。函数文件的名字和第一行所定义的函数名相函数文件的名字和第一行所定义的函数名相同。同。可以用比函数定义中数目少的输入变量和输可以用比函数定义中数目少的输入变量和输出变量来调用函数。出变量来调用函数。函数文件内部定义的变量属于临时变量，只函数文件内部定义的变量属于临时变量，只有函数运行期间才被生成，函数运行结束后，有函数运行期间才被生成，函数运行结

28、束后，系统自动删除。系统自动删除。函数文件函数文件函数函数M文件组成文件组成 函数定义行函数定义行函数函数M文件的第一行用关键字文件的第一行用关键字“function”把把M文件定义文件定义为一个函数，指定函数的名字，同时定义了函数的输入变为一个函数，指定函数的名字，同时定义了函数的输入变量和输出变量。量和输出变量。输入变量输入变量的定义用圆括号的定义用圆括号（）（），如果有多，如果有多个输入变量则用个输入变量则用逗号分隔逗号分隔；输出变量输出变量的定义用中括号的定义用中括号，如果有多个输出变量则用，如果有多个输出变量则用逗号分隔逗号分隔。H1行行所谓所谓H1行指帮助文本的第一行，它紧跟在定义

29、行之后并行指帮助文本的第一行，它紧跟在定义行之后并以以“%”符号开头，用于概括说明函数的功能。在命令窗符号开头，用于概括说明函数的功能。在命令窗口用口用lookfor命令时将显示函数的命令时将显示函数的H1行。行。函数帮助文本函数帮助文本帮助文本指位于帮助文本指位于H1行之后函数体之前的说明文本，它同行之后函数体之前的说明文本，它同样以样以“%”符号开头，一般用来比较详细地介绍函数的功符号开头，一般用来比较详细地介绍函数的功能、用法以及函数的修改记录。在命令窗口用能、用法以及函数的修改记录。在命令窗口用help命令命令时将显示函数的时将显示函数的H1行和所有帮助文本。行和所有帮助文本。函数体函

30、数体是函数的主体部分，函数的功能是通过函数体实是函数的主体部分，函数的功能是通过函数体实现的。函数体可以包括所有的现的。函数体可以包括所有的Matlab合法命令、合法命令、函数和流程控制语句。函数和流程控制语句。注释注释除了函数开始处独立的帮助文本外，还可以在函除了函数开始处独立的帮助文本外，还可以在函数体中添加对语句的注释。注释必须以数体中添加对语句的注释。注释必须以“%”符符号开头，号开头，MATLAB在解释执行在解释执行M文件时把每一行文件时把每一行中中“%”后面的全部内容作为注释不进行解释执后面的全部内容作为注释不进行解释执行。行。例例5.4：编编写函数文件求写函数文件求例例5.4子函

31、数子函数 Matlab允许一个函数文件内定义多个函数。其中，第一个定义的函数称为主函数，其他的函数称为子函数。关于主函数和子函数的描述如下：每个文件的第一行定义的是主函数；只有主函数可以被其他程序调用；函数文件的名字必须和主函数相同；子函数只能被处在同一个文件中的主函数或者其他子函数调用；主函数和各个子函数的工作空间是彼此独立的，即每个函数拥有自己独立的工作空间。私有函数私有函数 私有函数是在函数M文件所在目录的private子目录中的函数M文件，其性质如下：私有函数只能被private的直接父目录中定义的M文件调用，其他目录的M文件或者命令窗口无权调用私有函数。私有函数的定义和构成和普通函数

32、相同。例例5.5：编编写函数文件求写函数文件求例例5.56.数值计算线性代数函数分析数据拟合插值和样条常微分方程的数值解 线性代数LU分解分解 一个矩阵可以分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，称之为LU分解。LU分解是用高斯主元消去法实现的，通常要对主元位置进行交换，主元交换的方法是将被分解矩阵左乘一个由01构成的行交换阵。L,U,P=lu(X)%对矩阵X进行LU分解，并进行主元交换L,U=lu(X)%对矩阵X进行LU分解，无主元交换【说明】X为被分解的矩阵，L为主对角元素为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为行交换矩阵。行列式和求逆行列式和求逆 矩阵的行列式和求逆可以通过LU分解的方

33、法求解。d=det(X)%求矩阵X的行列式Y=inv(X)%求矩阵X的逆矩阵例例6.1特征值和特征向量特征值和特征向量对于求解矩阵的特征值和特征向量。D=eig(A)%计算矩阵A的特征值，d为特征值构成的向量 V,D=eig(A)%计算矩阵A的特征值对角阵D和特征向量矩阵V V,D=eig(A,nobalance)%当矩阵A中有与截断误差近似的数值 c=condeig(A)%求特征值的条件数，表示特征值对扰动的灵敏度矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解任意矩阵A可以做奇异值分解，即存在酉矩阵U和V，使下面等式成立 s=svd(A)%求矩阵A的奇异值，s为由奇异值构成的向量 U,S,V=svd(A)

34、%矩阵A的奇异值分解例例6.2矩阵结构特征的奇异值描述矩阵结构特征的奇异值描述矩阵的奇异值可以描述矩阵的结构特征，Matlab中提供了下列函数，函数的具体使用方法请读者参阅Matlab的帮助文件。r=rank(A)%求矩阵A的秩。Z=null(A)%求矩阵A的零空间。V=orth(A)%求矩阵A的值空间。n=norm(A)%求矩阵A的2范数。n=norm(A,p)%求矩阵A的各种范数。c=cond(X)%求矩阵A的条件数。theta=subspace(A,B)%求A和B矩阵所张子空间的夹角。B=pinv(A)%求矩阵A的广义逆。线性方程组的解线性方程组的解 在线性方程组中，独立方程的个数等于独

35、立未知参数的个数，称为恰定方程恰定方程；独立方程的个数大于独立未知参数的个数，称为超定方程超定方程；独立方程的个数小于独立未知参数的个数，称为欠定方程欠定方程。线性方程组求解方法：线性方程组求解方法：左除运算符法-对于一般的非奇异矩阵A，可以求得唯一数值解。欠定方程和超定方程，可以获得最小二乘解。x=Ab广义逆法-如果用左除运算符求解的时候出现提示矩阵A为非奇异的警告或者解中出现Nan，则可以采用广义逆法。x=pinv(A)*b符号计算法-可以求得方程组的符号解，对于欠定方程可以求得具有自由变量的解。例6.3 求以下3个方程组的解 II：III：I：例例6.3函数分析 函数的零点函数的零点多项

36、式的根多项式的根 r=roots(p)%多项式求根函数一元函数零点一元函数零点 x=fzero(fun,x0)%一元函数零点的最简格式多元函数的零点多元函数的零点 x=fsolve(fun,x0)%多元非线性方程求解最简格式【说明】fzero只能求得x0附近的单个零点，不能求取函数的所有零点。输入变量fun表示一元函数，可以是字符串、内联函数或者函数句柄。输入变量x0为零点的初始猜测值（自变量值）。输出变量x为零点处的自变量值。在区间内的所有零点。例6.4求函数例例6.4例例6.5附近的解。例6.5求方程组在函数的极值点函数的极值点求一元函数fun在自变量（x1，x2）区间的最小值x,fval

37、,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2,options)用单纯形法求多元函数fun在自变量向量x0附近的极小值点x,fval,exitflag,output=fminsearch(fun,x0,options)用拟牛顿法求多元函数fun在自变量向量x0附近的极小值点x,fval,exitflag,output=fminunc(fun,x0,options)例例6.6例6.6 求二元函数在附近的极小值。数值微分数值微分 数值导数和微分是基于差分定义的，对原始数据的采样间隔依赖很大，如果原始数据含有噪声，则数值导数结果没有什么价值，因此尽量避免求数值导数，求相邻数据间

38、的数值差分。DX=diff(X)%求X相邻元素的一阶差分DX=diff(X,n)%求X相邻元素的n阶差分DX=diff(X,n,dim)%在dim指定的维上，求X相邻元素的n阶差分【说明】如果X是向量，差分是相邻元素相减；如果X是矩阵，差分是相邻行间对应元素相减。差分数据DX元素的个数要比被操作数X少一个。DX只是差分数据，如果相邻数据点之间的步长为DH，则DX./DH为导数数据。例6.7 绘制函数的导函数在区间的曲线。例例6.7数值积分数值积分 积分计算可以采用本节介绍的相关函数，也可以采用样条积分法，还可以采用符号积分方法。一元函数的数值积分一元函数的数值积分q=quadl(fun,a,b

39、)%采用递推自适应Lobatto法计算一元函数的积分【说明】fun为被积函数，可以用字符串、内联函数和函数M文件的函数句柄表示，且被积函数表达式要按照数组运算规则来编写。通常积分变量采用字母x。a和b为积分变量的积分上下限，为常数数值。返回值q为数值积分的结果。例6.8 求积分例例6.8二重数值积分二重数值积分q=dblquad(fun,x1,x2,y1,y2)【说明】fun为被积函数，可以用字符串、内联函数和函数M文件的函数句柄表示。积分变量用x，y表示，x为内重积分变量，x2和x1是变量x的积分上下限，y为外重积分变量，y2和y1是变量y的积分上下限。三重数值积分三重数值积分q=tripl

40、equad(fun,x1,x2,y1,y2,z1,z2)【说明】fun为被积函数，定义同上。积分变量用x，y，z表示，从内到外积分变量依次为x，y，z。x2和x1是变量x的积分上下限，y2和y1是变量y的积分上下限，z2和z1是变量z的积分上下限。例6.9 计算定积分例例6.9数据拟合 已知某些离散的原始数据，建立一个曲线方程，让它以最佳的方式反映原始数据的变化趋势，尽量避免出现局部的波动，这种方法称为拟合。不要求拟合曲线经过所有的原始数据。最佳方式通常是指用拟合得到的数学模型计算出来的计算数据和原始数据之间的误差的平方和最小，这种方式称为最小二乘。多项式拟合多项式拟合多项式拟合是用一个n阶多

41、项式模型去拟合原始数据的方法，需要计算的模型参数包括多项式的阶次和多项式的系数。p=polyfit(x,y,n)%根据给定的数据(x,y)，计算n阶拟合多项式的系数向量py=polyval(p,x)%计算自变量为x时多项式p的值（估计值）【说明】多项式拟合一般不要超过5阶，否则计算误差变大。拟合多项式只在原始数据范围内可以保证精度，超出范围使用拟合多项式无法保证预报的精度。例6.10：已知五个数据点：1,5.5,2,43,3,128,4,290,5,498试画出这五个点拟合的三次曲线。例例6.10最小二乘估计最小二乘估计线性最小二乘估计线性最小二乘估计 对于线性数学模型的参数估计，可以用形如Y

42、=Ax+b的一阶多项式拟合来估计参数。某些非线性模型经过变量替换也可以转换为线性模型，也可以采用线性估计方法。非线性最小二乘估计非线性最小二乘估计a,resnorm,residual,exitflag,output=lsqnonlin(Fun,a0,lb,ub,options,p1,p2,.)a=lsqnonlin(Fun,a0)【说明】例6.11 混凝土的抗压强度y随养护时间x的延长而增加，其数学模型为现将一批混凝土作成12个测试块，记录了养护时间x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据，如表所示。试估计该数学模型的参数a1，a2，a3，a4。x23457912 14 17 21 28 5

43、6y35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99混凝土的抗压强度y和养护时间x的实测数据表例例6.11插值和样条 曲线拟合是用带有噪声的“测量数据”构造出以某种方式最接近“真实数据”的曲线方程，因为测量数据包含噪声，所以不要求拟合曲线穿越所有测量数据。插值和拟合不同，插值认为原始数据是完全准确的，目的是用某种算法平滑的计算出这些原始数据之间的数据值。插值插值yi=interp1(x,Y,xi,method)%计算插值点自变量为xi时的值yipp=interp1(x,Y,method,pp)%用原始数据获取插值函数数据yi=ppval(pp,xi)%计算插值函数数据pp

44、函数关系下的函数值【说明】输入变量x，Y是原始数据向量对。x的数据必须以单调方式排列。xi是插值点的自变量坐标向量。输入变量method是插值方法，linear-线性插值，缺省值,cublic-三次多项式插值,spline-三次样条插值,nearst-最临近插值输出变量yi为插值点自变量为xi时的计算值,pp为插值函数数据例6.12 已知1900年到1990年间，每隔10年美国的人口数量的统计数据（单位：百万）依次为75.995，91.972，105.711，123.203，131.669，150.697，179.323，203.212，226.505，249.633，求在1975年美国人口的

45、数量，并绘制1900到1990年间每年的人口数量趋势图。例例6.12样条样条样条插值是常用的一种插值方法，其特点是精度高、最平滑，但是运算速度慢。yy=spline(x,y,xx)%根据原始数据（x，y）计算xx的样条插值yypp=spline(x,y)%根据原始数据（x，y）计算分段样条函数数据ppdpp=fnder(pp)%求pp形式的样条函数的不定积分ipp=fnint(pp)%求pp 形式的样条函数的导数例例6.13例6.13 设函数，用样条函数求和常微分方程的数值解 ODE文件的编写格式文件的编写格式 要编写表示一阶向量微分方程的函数M文件，实现 的微分计算function DY=F

46、un(t,Y)其中输入变量t为时间变量，输入变量Y为列向量，输出变量DY是Y的一阶导数。只含有一个自变量的微分方程称为常微分方程（ODE）。工程上的许多常微分方程或者没有解析解，或者求解析解困难太大，这时可以选择其数值解法。solver解算指令解算指令常微分方程化成一阶向量微分方程时，某些向量微分方程的向量解的各个分量的量级差别较大，这对数值求解算法来说是很大的困难，表列出了solve各个解算指令的名称、精度和适用范围。solve解算指令解算指令Solve指令解题类型精度适用场合ode45非刚性一步法，4、5阶龙格库塔法，中等精度大多数场合的首选算法ode23非刚性一步法，2、3阶龙格库塔法，

47、精度低较低精度场合，e-3ode113非刚性多步法，Adams算法，高低精度均可ode45计算时间长时的替代ode23t适度刚性梯形法则算法，精度低适度刚性ode15s刚性多步法，中低精度ode45失败时候适用ode23s刚性一步法，2阶Rosenbrock算式，精度低低精度时，比ode15s有效ode23tb刚性梯形法则反向数值微分两阶段法，精度低低精度时，比ode15s有效solve解算指令的调用格式解算指令的调用格式t,Y=solver(ODE_FUN,tspan,Y0,options)【说明】输入变量ODE_FUN是ODE函数的文件名。输入变量tspan为求数值解的时间范围。当tspa

48、n=t0,tf时，表示求解t0到tf区间的数值解；当tspan=t0,t1,.,tf时，表示求解tspan指定时间序列上的数值解。输入变量Y0是微分方程组的初始条件列向量。输入变量options是可选择的算法参数。输出变量t是数值解的自变量数据列向量。输出变量Y是数值解。Y是一个矩阵，每一列代表了向量解的一个分量在自变量t上的数值解。solver不仅可以求解常微分方程，还可以求解常微分方程组。例6.14 求常微分方程的解其初始条件为（1）将常微分方程变为一阶微分方程组令则（2）编写ODE文件OdeFun1.m（3）求解常微分方程的数值解，绘制y(t)的曲线（3）求解常微分方程的数值解，绘制y(

49、t)的曲线例例6.14例6.15 求常微分方程组在0,12区间的数值解。其初始条件为（1）编写ODE文件OdeFun2.m（2）求解常微分方程的数值解，绘制y(t)的曲线例例6.157符号计算 符号对象的创建 符号对象的生成符号对象的生成符号对象的数据存储格式是符号字符串，包括符号常量、符号变量和符号表达式。f=sym(arg)%把数值、字符串或者表达式arg转换为符号对象ff=sym(argn,flagn)%把数值或数值表达式argn转换为flag格式的符号对象f=sym(argv,flagv)%把字符串argv按照flagv的格式转换为符号对象symsargv1argv2.%定义argv1

50、、argv2等为符号对象symsarg1arg2.flagv%定义arg1、arg2等为flagv格式的符号对象【说明】对于数值或者数值表达式argn，flagn可以取以下值：d最接近的十进制浮点精度表示e带估计误差的有理表示f十六进制浮点数表示r最接近的有理表示，Matlab的缺省表示方法对于字符串变量名argv，flagv可以取以下“限定”项：positive“正实数”符号变量real “实数”符号变量unreal“非实数”符号变量syms是sym函数的简化书写方式，各符号对象之间只能用空格分开。符号常量符号常量用sym函数可以定义符号常量对象，包括符号标量对象和符号常量数组对象，定义符号