【2021春】高考数学新高考黄金卷及答案详解4.pdf

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1、 高考数学试卷 第 1 页 共 10 页 高考数学试卷 第 2 页 共 10 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/【2021 春】高考黄金卷（新高考）春】高考黄金卷（新高考）_试卷试卷 2 试卷满分试卷满分 150 分分 考试时间考试时间 120 分钟分钟 试卷试卷难度难度 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1设全集=UR，若集合|02Axx=，|1Bx yx=，则如图所示的阴影部分

2、表示的集合为（）A(,0)B 1,2 C)1,+D(2,)+2若mR，则“0 xR，0cos20mx+”是“2m ”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 若()()3 i2ixy+=，其中x，yR，则复数ixy+在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上单调递减的是（）A()()()ln eeln eexxxxf x=+B()1sinsinf xxx=+C()()()ln 1ln 1f xxx=+D()1eexxf x=5分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，科赫曲

3、线是比较典型的分形图形，1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线，因此将这种曲线称为科赫曲线其生成方法是：（I）将正三角形（图（1）的每边三等分，以每边三等分后的中间的那一条线段为一边，向形外作等边三角形，并将这“中间一段”去掉，得到图（2）；（II）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（III）再按上述方法继续做下去，设图（1）中的等边三角形的边长为1，并且分别将图（1）、图（2）、图（3）、图（n）、中的图形依次记作1M，2M，3M，nM，设nM的周长为nL，则4L为（）A.329 B.163 C.649 D.25627 6已知点P是抛物线24yx=上的一点，设点

4、P到此抛物线准线的距离为1d，到直线2120 xy+=的距离为2d，则12dd+的最小值为（）A.4 B.135 C.5 D.13 55 7已知a，b满足0eab，则lnbaaa+与lnabbb+的大小关系为（）Alnlnbaababab+Blnln=baababab+Clnlnbaababab+D不能确定 高考数学试卷 第 3 页 共 10 页 高考数学试卷 第 4 页 共 10 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/8已知可导函数()f x的导函数为()fx，若对任意的xR，都有()()2f xfx+，且()2021f x 为奇函数，则不等式()20

5、19e2xf x 的解集为（）A.()0,+B.(),0 C.(),e D.1,e+二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列有关说法不正确的是（）A.当0 x 时，1lg2lgxx+B.当0 x 时，12xx+C.当0,2时，2sinsin+的最小值为2 2 D.当0a，0b 时，114abab+恒成立 10已知函数()sincosf xx

6、x=+，则（）A()f x是周期函数 B()f x的图象必有对称轴 C()f x的单调增区间为,2k kk+Z，D()f x的值域为41 8，11 已知抛物线C:()220ypx p=的焦点F，过F且斜率为3的直线交抛物线C于A，B两点，其中A在第一象限，若=2AF，则（）A1p=B2=3BF C以AF为直径的圆与y轴相切 D3OA OB=12.透明塑料制成的正方体密闭容器1111ABCDABC D的体积为8，注入体积为()08xx的液体如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（）A液面始终与地面平行 B4x=时，液面始终呈平行四边形 C当()0,

7、1x时，有液体的部分可呈现正三棱锥 D当液面与正方体的对角线1AC垂直时，液面面积最大值为3 3 三、三、填空填空题题：共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知非零向量b与a的夹角为120，且2=a，24+=ab，则=b_ 14已知正实数m，n满足119222mnmn+=，则2mn+的最小值是_ 15 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为则a，b，c，d，e，f，则+abc def是偶数的概率是_ 高考数学试卷 第 5 页 共 10 页 高考数学试卷 第 6 页 共 10 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/16

8、 如图，已知矩形ABCD，3AB=，1AD=，AF 平面ABC，且3AF=E为线段DC上一点，沿直线AE将DAE翻折成DAE，M为BD的中点，则三棱锥M BCF体积的最小值是_ 四、四、解答解答题题（共共 6 小题，小题，第第 17 题题 10 分，其余每题分，其余每题 12 分，分，共共 70 分分解答应写出文字说解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤）17在4a=，ABC的周长为9，ABC的外接圆直径为16 1515，这三个条件中 任一个，补充在下面的问题中，并做出解答 已知abc，分别为ABC内角A BC，的对边，且sin2sin3BC=，1cos4A=，求ABC

9、的面积 18已知正项数列 na的前n项和为nS，112a=，且1212nnnaaa+=+（1）求证：数列11nnaa+为等比数列；（2）求100S（x表示不超过x的最大整数）高考数学试卷 第 7 页 共 10 页 高考数学试卷 第 8 页 共 10 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/19如图，在三棱柱111ABCABC中，2ABAC=，D为BC的中点，平面11BBC C 平面ABC，设直线l为平面1AC D与平面111A BC的交线（1）证明：l 平面11BBC C；（2）已知四边形11BBC C为边长为2的菱形，且160B BC=，求二面角1D A

10、CC-的余弦值 20 有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用，2020 年 4 月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不适用安全带的行为，助推养成安全习惯，该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的 1000 名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如图的统计图表：（1）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；（2）根据所给的数据，完成下面的列联表：是否佩戴头盔 年龄

11、是 否)20,40 )40,70 （1）根据（2）中的列联表，判断是否有 99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()()22n adbcKabcdacbd=+()2P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 高考数学试卷 第 9 页 共 10 页 高考数学试卷 第 10 页 共 10 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/21动点P到直线1=4y的距离比点P到点10,8F的距离多18（1）记动点P的轨迹为曲线C，求C的方程；（2）过点F作一直线与曲线C交于AB，两点，再分别过点AB，作抛物线

12、的切线，这两条切线的交点记为P证明2=FPFA FB 22已知函数()ln2sinf xaxxx=+，()f x在=2x处的切线方程为2=yxb+（1）求a,b的值；（2）求证：()f x有且仅有两个不同的零点 高考数学试卷 第 1 页 共 14 页 高考数学试卷 第 2 页 共 14 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/【2021 春】高考黄金卷（新高考）_试卷 2 参考答案与试题解析 一、一、单项单项选择题选择题 1设全集=UR，集合2|0 xxA=，1|1|Bx yxx x=，|02UAx xx=或，如图所示的阴影部分表示的集合为：()()|22

13、UBAx x=+，故选：D 2 令()cos2f xmx=+，当0m时，()22f xmm+,，20m，解得：2m，当0m时，()22f xmm+,，20m+，解得：2m，“0 xR，0cos20mx+”是“2m”的必要不充分条件，故选：B 3 因为()()3 i2i xy+=，所以()632 ixxy+=，故6320 xyx=+=，解得23203xy=，所以复数ixy+在复平面内对应的点为2 20,33，位于第二象限 故选：B 4A由ee0 xx，得eexx，即xx，得0 x，函数的定义域为()0,+，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件 B 由sin0 x 得xk，kZ，()(

14、)11sinsinsinsinfxxxf xxx=+=，则()f x是奇函数，设sintx=，当01x时，0sin1 1t，函数1ytt=+，在()0,1上单调递减，sinyx=在()0,1上单调递增，则()f x在()0,1上单调递减，满足条件 C由10 x+且10 x，得11x，当01x时，()ln 1yx=+为增函数，()ln 1yx=为减函数，则()f x为增函数，不满足条件 D 当01x时，exy=为增函数，1exy=为增函数，则()f x为增函数，不满足条件 故选：B 5 由题意可知，设nM中每条边的长度为na，边数为nb，每个三角形都是正三角形，且边长变为原来三角形的13，从而边

15、长na的递推公式为11,11,23nnnaan=，即13nna=，nb的递推公式为3,141,2nnnbbn=，即13 4nnb=，高考数学试卷 第 3 页 共 14 页 高考数学试卷 第 4 页 共 14 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/所以1433nnnnLab=，所以4 1446464333279L=故选：C 6 易知直线2120 xy+=与抛物线24yx=无交点 设抛物线24yx=的交点为F，则F点的坐标为()1,0 根据抛物线的定义，可知点P到抛物线24yx=的准线的距离等于点P到抛物线24yx=的焦点的距离，即1dPF=所以122ddP

16、Fd+=+所以12dd+的最小值为点F到直线2120 xy+=的距离 由于()1,0F到直线2120 xy+=的距离为1 1213 551 4+=+12dd+的最小值为13 55 故选：D 7 lnlnlnlnlnlnbaababbaababab=，且0ab，比较ba和ab的大小关系等价于比较lnaa与lnbb的大小关系，设()ln xf xx=，()21 ln xfxx=，()0,ex 时，()0fx，()f x单调递增，且0eab，()()f af b，即lnlnabab，lnlnbaababab+故选：C 8 设()()2exf xg x=，由()()2f xfx+，得：()()()20

17、exfxf xgx+=，故函数()g x在R递减，由()2021f x 为奇函数，得()02021f=，()()0022019gf=，即()02019g=，不等式()2019e2xf x，()22019exf x，即()()0g xg，结合函数的单调性得：0 x，故不等式()2019e2xf x 的解集是()0,+故选：A 二、多项选择题二、多项选择题 9A当()0,1x时，lg0 x，A 不成立；高考数学试卷 第 5 页 共 14 页 高考数学试卷 第 6 页 共 14 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/B0 x，1122xxxx+=，当且仅当1x

18、=时等号成立，B 正确；C当0,2时，22sin2 sin2 2sinsin+=，当且仅当2sinsin=，即sin2=时，等号成立，又因为()sin0,1，C 不成立；D当0a，0b 时，1111224aba babababababbaabb a+=+=，当且仅当1ab=时等号成立，D 正确 故选：AC 10函数()sincosf xxx=+，对于 A：函数满足()2fxf x+=，所以2为()f x的周期，故 A 正确；对于 B：函数满足()2fxf x=，所以函数关于4x=对称，故函数的图象必有对称轴，故 B 正确；对于 C：由 A 知，函数的周期为2，所以，对于 C 中的关系，当0k=

19、时，函数的单调递增区间为0,2，显然错误，故 C 错误；对 于D：由A，B知，()f x的 值 域 即()f x在0,4上 的 值 域()2sincos2 sin cosyfxxxxx=+，令sincos1,2txx=+，2221ytt=+，在1,2上单调递增，1,2 2y，则()41,8f x，故 D 正确 故选：ABD 11根据焦半径公式有211 cos12ppAF=所以1p=，A 正确；由112AFBFp+=，得23BF=，B 正确；由抛物线定义，22ApAFx=+=，易求得3,32A，所以AF中点为31,2，于是中点到y轴的距离为1，等于12AF，所以AF为直径的圆与y轴相切，C 正确

20、；记()11,A x y，()22,B xy，根据抛物线平均性质可知，1214x x=，121y y=，于是121234OA OBx xy y=+=，D 错误 故选：ABC 12 液面始终是水平面，与场地是平行的，故 A 正确；当4x=时，体积时正方体的一半，如液面正好过棱11A B，1B B，BC，CD，1DD，11D A的中点，此时液面时正六边形，不是平行四边形，故 B 错误；液面过1AA，AB，AD的中点时，此时()10,16x=，有液体的部分是正三棱锥，故 C 正确；当液面与正方体的对角线AC垂直时，液面面积取最大值时就是选项 B 中所列举的正六边 高考数学试卷 第 7 页 共 14

21、页 高考数学试卷 第 8 页 共 14 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/形（此时液体条件是正方体体积的一半），面积为()23623 34=，故 D 正确 故选：ACD 三三、填空题、填空题 13因为24+=ab，所以2216+=ab，2244cos12016+=aabb，即214416242+=bb，即2240=bb，解得4=b或0=b（舍）故答案为：4 14 正实数m，n满足119222mnmn+=，设2amn=+，112bmn=+，()111592222222mnm nabmnmnnmn m=+=+=，当且仅当mn=时取等号，92ab+=，99

22、22aa，解得332a，故2mn+的最小值为32 故答案为：32 15当abcdef+为奇数时，abc，def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为 1，3，5 的排列，d，e，f为2，4，6的排列，这样有3!3!36=种情况，由对称性可知，满足条件的情况为36 272=种，从而所求概率为72916!10=故答案：910 16AF 平面ABC，四边形ABCD为矩形，BCAB，AFBC BC平面ABF，BCBF，又BC 平面CBF，平面ABF 平面CBF，选定点E后，可知D在圆上运动，现E在线段DC上运动，且1AD=，D的运动轨迹为以A为球心，半径为1AD=的球面的一部分，11193322

23、BCFSBC BF=+=，求三棱锥MBCF体积的最小值只需求M到平面BCF的距离1d的最小值,即求D到平面BCF的距离d的最小值,过A作BF的垂线，垂足为H,当D为AH与球面的交点G时，D到平面BCF的距离最小,此时点E在DC上，311122dAH=，11124dd=,高考数学试卷 第 9 页 共 14 页 高考数学试卷 第 10 页 共 14 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/三棱锥MBCF体积的最小值为min113312BCFVSd=故答案为：312 四四、解答题、解答题 17在ABC中，由sin2sin3BC=及正弦定理，得23bc=，设2bk

24、=，3ck=，则22222cos16abcbcAk=+=，所以4ak=由1cos4A=，得215sin1 cos4AA=，选：由4a=，得1k=，由此可得2b=，3c=，所以ABC的面积11153 15sin2 32244SbcA=选：由9abc+=，得99k=，解得1k=，由此可得2b=，3c=，所以ABC的面积11153 15sin2 32244SbcA=选：由ABC的外接圆直径为16 1515，得16 15152 sin4154aRA=，由4a=，得1k=，由此可得2b=，3c=，所以ABC的面积11153 15sin2 32244SbcA=18(1)因为1212nnnaaa+=+,所以

25、1121112112113 112nnnnnnnnaaaaaaaa+=+,数列11nnaa+首项为111111211312aa=+,故数列11nnaa+为等比数列，首项与公比都为13（2）由上一问可知：111111333nnnnaa=+，即31213131nnnna=+,1002100210010011111111002100299993 131313333S=+=+因此10099100S,故10099S=19（1）证明：因为2ABAC=，D为BC的中点，所以ADBC，又因为平面11BBC C 平面ABC，且11BBC CABCBC=平面平面，AD 平面ABC，所以AD 平面11BBC C，而

26、AD平面111A BC，且AD 平面1AC D，1111AC DABCl=平面平面，所以ADl，高考数学试卷 第 11 页 共 14 页 高考数学试卷 第 12 页 共 14 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/所以l 平面11BBC C；（2）因为AD 平面11BBC C，AD 平面1AC D，所以平面1AC D 平面11BBC C，且平面1AC D平面111BBC CDC=，在平面11BBC C内，过C作1CHDC于点H，则CH 平面1AC D，过C作1CGAC于点G，则G为线段1AC的中点，连接HG，则CGH就是二面角1D ACC-的平面角，在1

27、1RtDBC中，112BC=，13B D=，17DC=，在1DCC中，217CH=，在1ACC中，22110AGADC D=+=，221162CGCCC G=，在RtCGH中，2221014GHCGCH=，所以35cos7GHCGHCG=，所以二面角1DACC的余弦值为357 20（1）该市电动自行车骑乘人员的平均年龄为：25 0.25 35 0.3545 0.255 0.1565 0.0539+=（2）列联表如下图：是否佩戴头盔 年龄 是 否)20,40 540 60)40,70 340 60（3）()22100060 54060 340125=5.6826.635600 400 880 1

28、2022K=，所以没有 99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关 21（1）根据抛物线的定义知，点P的轨迹为以10,8F为焦点，以18y=为准线的抛物线，所以C的方程：212xy=；（2）设()00,P x y，()11,A x y，()22,B xy，22yx=，由题意知，AP：10104xxyy=+，BP：20204xxyy=+，可知AB：004xxyy=+，联立002412xxyyxy=+=，可得：()222000280yyxyy+=，2120082yyxy+=，2120y yy=，118FAy=+，218FBy=+，则()121211864FA FBy yyy=+()220001182

29、864yxy=+220018xy=+高考数学试卷 第 13 页 共 14 页 高考数学试卷 第 14 页 共 14 页 班级 姓名 /O/O/O 密 O 封 O 装 O 订 O 线 O/O/O/又2220018FPxy=+，2FPFA FB=，得证 22(1)求导得()12cosafxxx=+，依题意有2212af=，2 ln22222fab=+=+，解得1a=，ln12b=+（2）设()()112cosg xfxxx=+，当()0,x时，()212sin0gxxx=，()g x在()0,上单调递减，31 103g=+，2102g=，()g x在()0,上存在唯一零点，设为,3 2，当()0,

30、x时，()0fx，()f x在()0,上单调递增，当(),x时，()0fx，()f x在(),上单调递减，()f x在()0,上存在唯一的极大值点,3 2，()ln2202222ff=+，2222111122sin220eeeef=+()f x在()0,上恰有一个零点，()ln20f=，()f x在(),上恰有一个零点 当),2x时，sin0 x，()lnf xxx，设()lnh xxx=，()110h xx=()h x在),2上单调递减，()()0h xh，当),2x时，()()()0f xh xh恒成立，()f x在),2上没有零点 当)2,+x时，()ln2f xxx+，设()ln2xxx=+，()110 xx=，()x在)2,+上单调递减，()()20 x，当)2,+x时，()()()20f xx恒成立，()f x在)2,+上没有零点 综上，()f x有且仅有两个不同的零点