n维向量的定义、线性运算和线性相关性.ppt

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1、第三章第三章 n n维向量空间维向量空间n n维向量维向量的定义的定义n n维向量维向量的线性运算的线性运算向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组向量空间向量空间习题课习题课定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，第一节第一节 维向量的概念维向量的概念例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个个分量分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是，也就是行行矩阵矩阵，通常用，通常用等表示，如：等表示，

2、如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是也就是列列矩阵矩阵，通常用通常用等表示，如：等表示，如：注意注意3行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量和矩阵之间的关系向量和矩阵之间的关系向量；向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.1向量的分量之间是有先后顺序的。向量的分量之间是有先后顺序的。令令 表示一切表示一切n维实向量组成的集合。若维实向量组成的集合。若 是是n维实向量，则可简记维实向量，则可简记 ,如果没有特别如果没有特别的说明，我们指的都是实向量。的说明，我们指的都是实

3、向量。若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组例如例如一些特殊的向量：一些特殊的向量：向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组n维维0向量向量：注：注：维数维数不同不同的零向量是不同的向量的零向量是不同的向量n阶单位矩阵阶单位矩阵 的的n个列向量分别记为：个列向量分别记为：称为称为n维基本向量维基本向量第二节第二节 n维向量的线性运算维向量的线性运算定义定义1 1K是实数域中的一个数，则向量的加法是实数域中的一个数，则向量的加法向量的加法和数乘统称为向量的加法和数乘统称为向量的线性运算向量的线性

4、运算注：注：设设n n维向量维向量的对应分量相等，即的对应分量相等，即称这两个量是相等的，即称这两个量是相等的，即注：注：1 与与 要么都是行向量，要么都是列向量。要么都是行向量，要么都是列向量。2 与与的分量个数应相同。的分量个数应相同。例例1 1(1)求求 ，的负向量的负向量(2)计算计算一、线性组合一、线性组合定义定义:第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 对于给定的向量组对于给定的向量组 A:1,2,m 和向量和向量b,如如果果存在一组数存在一组数 k1,k2,km 使关系式使关系式则称向量则称向量b是向量组是向量组 1,2,m 的的线性组合线性组合,或称向量或称向量b可

5、以由向量组可以由向量组 1,2,m 线性表示线性表示.比如说：比如说：为为n n维基本向量维基本向量结论：结论：任何任何n n维向量都是维向量都是n n维基本向量的线性组合维基本向量的线性组合设有向量设有向量称称b b是是 的线性组合的线性组合.或或b b可以由可以由 线性表示线性表示.例如例如：二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性定义定义 对于向量组对于向量组A:1,2,m,成立成立,则称向量组则称向量组 1,2,m 线性相关线性相关.如果存在一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数k1,k2,km使关系式使关系式反之则称向量组反之则称向量组 1,2,m 线性无关线性无关.成立成立,

6、即即只有当只有当 k1=k2=km=0 时时,才有才有成立成立,则称向量组则称向量组 1,2,m 线性无关线性无关.如果没有不全为零的如果没有不全为零的k1,k2,km,使使例例1：设有向量则称向量组则称向量组线性相关线性相关例例2 2：则由则由，得，得线性无关。线性无关。注：注：n n维基本向量维基本向量线性无关线性无关向量组向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关部分组线性无关讨论讨论x1,x2,xm的情况的情况.如果解得如果解得x1,x2,xm不全为零不

7、全为零,则则 1,2,m 线性相关线性相关;如果推出如果推出x1=x2=xm=0,则则 1,2,m 线性无关线性无关.例例3 3 讨论讨论的线性相关性的线性相关性e1=(1,0,0)Ten=(0,0,1)Te2=(0,1,0)T 向量组向量组 线性相关的充分必要条件为：线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为线性相关性的判定）线性相关性的判定）定理定理1三、线性相关与线性组合之间的关系三、线性相关与线性组合之间的关系 向量组向量组 线性相关线性相关,但但 线性无关，则向量线性无关，则向量 可由向量组唯一可由向量组唯一地线性表示。地线性表示。定理定理2例例4 4：讨论向量组讨论向量组 ，的线性相关性。的线性相关性。解：设有实数解：设有实数使使即即系数行列式系数行列式故方程组有非零解。如取故方程组有非零解。如取有有，所以，所以线性相关。线性相关。例例5：设向量组设向量组 线性无关，线性无关，试证向量组试证向量组也线性无关。也线性无关。证明：证明：设设即即因为因为线性无关线性无关系数行列式为系数行列式为2 2，故方程组只有零解，故方程组只有零解，故得证故得证例例6 6 设有向量组为设有向量组为 取何值时，该向量组线性相关。取何值时，该向量组线性相关。