matlab矩阵与线性变换与计算.ppt

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1、第五章：矩阵与线性变换第五章：矩阵与线性变换有有限限维维空空间间的的线线性性变变换换是是简简单单而而常常用用的的数数学学变变换，其实现可以归结为矩阵运算换，其实现可以归结为矩阵运算 y=Ax y=Ax 刚刚体体的的运运动动，物物体体的的线线性性变变形形，光光线线的的反反射射等等，都都可可以以归归结结为为线线性性变变换换。较较复复杂杂的的运运动动，当当运运动动幅幅度度很很小小时时，如如物物体体的的小小幅幅振振动动，也也可可以以利利用用线线性性微微分分方方程程作作近近似似刻刻画画，其其离离散散解解可可以以归归结为一系列线性变换。结为一系列线性变换。对对于于非非线线性性问问题题，通通常常可可以以利利

2、用用一一系系列列线线性性变变换换来逼近。如非线性方程组来逼近。如非线性方程组可以利用可以利用NewtonNewton迭代法逐步逼近问题的解迭代法逐步逼近问题的解 其中矩阵其中矩阵 是是F F的的JacobiJacobi矩阵的逆矩阵。矩阵的逆矩阵。刚体的平移、旋转和镜面映射刚体的平移、旋转和镜面映射 刚体的旋转刚体的旋转刚体的旋转可以利用旋转变换实现。例如，围绕刚体的旋转可以利用旋转变换实现。例如，围绕z z轴的旋轴的旋转的旋转变换矩阵为转的旋转变换矩阵为如果一个物体同时围绕两个轴转动，（如陀螺的运动），如果一个物体同时围绕两个轴转动，（如陀螺的运动），则变换可以由两个矩阵的乘积实现。则变换可以

3、由两个矩阵的乘积实现。例例5.15.1：螺线的绕：螺线的绕z z轴旋转。轴旋转。考虑考虑螺线方程螺线方程 x=x=cost,y=cost,y=sint,z=at 0sint,z=at 0 t t 2 2 对给定的节点对给定的节点 0t0t1 1 t t2 2ttn,n,螺线的数据为螺线的数据为而而 T Tz zX X 则是旋转后的数据。则是旋转后的数据。螺线绕螺线绕z z轴旋转的动画参考程序轴旋转的动画参考程序function rotation1function rotation1%rotation around z-axis%rotation around z-axisclearclear%

4、forming the parametric curve%forming the parametric curvecita=pi/20;cita=pi/20;t=0:pi/10:10*pi;t=0:pi/10:10*pi;x=cos(t);x=cos(t);y=sin(t);y=sin(t);z=0.2*t;z=0.2*t;%rotation operator%rotation operatorA=cos(cita)-sin(cita)0A=cos(cita)-sin(cita)0 sin(cita)cos(cita)0 sin(cita)cos(cita)0 0 0 1;0 0 1;%ini

5、tial figure%initial figureh=line(x,y,z,EraseMode,Xor,.h=line(x,y,z,EraseMode,Xor,.LineWidth,8,Color,1 0 0);LineWidth,8,Color,1 0 0);view(90,20)view(90,20)axis offaxis offaxis equalaxis equalxlim(-1.5,1.5);ylim(-1.5,1.5);zlim(0,pi)xlim(-1.5,1.5);ylim(-1.5,1.5);zlim(0,pi)%motion figure%motion figurem=

6、length(t);X=x;y;z;m=length(t);X=x;y;z;while 1while 1 X=X*A;set(h,XData,X(1:m),YData,.X=X*A;set(h,XData,X(1:m),YData,.X(m+1:2*m),XData,X(2*m+1:3*m)X(m+1:2*m),XData,X(2*m+1:3*m)drawnow drawnow pause(0.1)pause(0.1)endend注注1 1：由由于于线线性性变变换换不不能能作作平平移移运运动动，因因此此，一一般般刚刚体体的的运运动动不不能能通通过过线线性性变变换换完完成成。解解决决这这一一问题

7、的做法是引入齐次坐标问题的做法是引入齐次坐标来来代代换换普普通通坐坐标标 。齐齐次次坐坐标标的的含含义义是是其其乘乘以以任任意非零常数表示同一坐标。意非零常数表示同一坐标。例如例如利用上述坐标，一般的刚体运动利用上述坐标，一般的刚体运动可以描写为可以描写为注注2 2：围围绕绕给给定定方方向向单单位位向向量量 ,旋旋转转角角为为 的的旋旋转转变换矩阵为变换矩阵为 其中其中镜面映射面映射镜面映射变换为镜面映射变换为其中其中x x是垂直于镜面的单位向量。是垂直于镜面的单位向量。x设任意向量设任意向量y y分解为平行于分解为平行于x x的分量的分量y y1 1和垂直于和垂直于x x的分量的分量y y2

8、 2，则，则即以垂直于即以垂直于x x的过原点的平面为映射镜面。的过原点的平面为映射镜面。例例5.25.2：将上一实验中的旋转螺线沿：将上一实验中的旋转螺线沿x x轴偏移两轴偏移两个单位，然后以个单位，然后以yozyoz平面为镜面作镜面映射。平面为镜面作镜面映射。%rotation around z-axis%rotation around z-axisclearclear%forming the parametric curve%forming the parametric curvecita=pi/20;cita=pi/20;t=0:pi/10:10*pi;m=length(t);t=0:

9、pi/10:10*pi;m=length(t);x=cos(t);x=cos(t);y=sin(t);y=sin(t);z=0.2*t;z=0.2*t;%rotation operator%rotation operatorA=cos(cita)-sin(cita)0A=cos(cita)-sin(cita)0 sin(cita)cos(cita)0 sin(cita)cos(cita)0 0 0 1;0 0 1;%mirror operator%mirror operatord=1 0 0;d=1 0 0;B=eye(3)-2*d*d;B=eye(3)-2*d*d;%initial figu

10、re%initial figureh=line(x-2,y,z,EraseMode,Xor,.h=line(x-2,y,z,EraseMode,Xor,.LineWidth,8,Color,1 0 0);LineWidth,8,Color,1 0 0);view(158,26)view(158,26)axis equalaxis equalxlim(-3,3)xlim(-3,3)ylim(-1.5,1.5)ylim(-1.5,1.5)zlim(0,2*pi)zlim(0,2*pi)X1=x-2,y,z*B;X1=x-2,y,z*B;h1=line(X1(1:m),X1(m+1:2*m),X1(

11、2*m+1:end),.h1=line(X1(1:m),X1(m+1:2*m),X1(2*m+1:end),.EraseMode,Xor,LineWidth,8,Color,0 1 0);EraseMode,Xor,LineWidth,8,Color,0 1 0);%motion figure%motion figureX=x,y,z;X=x,y,z;while 1while 1 X=X*A;X=X*A;X(:,1)=X(:,1)-2;X(:,1)=X(:,1)-2;set(h,XData,X(1:m),YData,X(m+1:2*m),ZData,set(h,XData,X(1:m),YDa

12、ta,X(m+1:2*m),ZData,X(2*m+1:3*m)X(2*m+1:3*m)X1=X*B;X1=X*B;set(h1,XData,X1(1:m),YData,X1(m+1:2*m),ZDatset(h1,XData,X1(1:m),YData,X1(m+1:2*m),ZData,X1(2*m+1:3*m)a,X1(2*m+1:3*m)pause(0.1)%control the rotation speed pause(0.1)%control the rotation speed X(:,1)=X(:,1)+2;X(:,1)=X(:,1)+2;endend例例5.3 利用利用镜面

13、映射生成万花筒的几何面映射生成万花筒的几何图案案.性性质1:以直线 为镜面的镜面映射为 其中向量P由下式给出以以L L1 1 为镜面的镜面映射的算法为为镜面的镜面映射的算法为(1)(1)求求(2)(2)作映射作映射function reflect_testfunction reflect_testx,y=mypolygon(7);x,y=mypolygon(7);q=0.5*x,0;y,1;x1=1,0;y1=0,1;q=0.5*x,0;y,1;x1=1,0;y1=0,1;q1=reflect_1(x1,y1,q);q1=reflect_1(x1,y1,q);plot(q(1,:),q(2,:

14、),q1(1,:),q1(2,:)plot(q(1,:),q(2,:),q1(1,:),q1(2,:)endend function q1=reflect_1(x,y,q)function q1=reflect_1(x,y,q)%the program returns the figure data which is the%the program returns the figure data which is the%reflection of data q by the mirror L.L is a%reflection of data q by the mirror L.L is a

15、%straight line passing(x1,y1)and(x2,y2)%straight line passing(x1,y1)and(x2,y2)%q is an array of 2 times n which contains n%q is an array of 2 times n which contains n%different points.%different points.P1=(y(2)-y(1)*x(1)-(x(2)-x(1)*y(1)/.P1=(y(2)-y(1)*x(1)-(x(2)-x(1)*y(1)/.(x(2)-x(1)2+(y(2)-y(1)2);(

16、x(2)-x(1)2+(y(2)-y(1)2);P=P1*y(2)-y(1),-(x(2)-x(1);P=P1*y(2)-y(1),-(x(2)-x(1);m,n=size(q);m,n=size(q);PP=repmat(P,1,n);PP=repmat(P,1,n);PQ=P/norm(P);PQ=P/norm(P);q1=(eye(2)-2*PQ*PQ)*(q-PP)+PP;q1=(eye(2)-2*PQ*PQ)*(q-PP)+PP;end end function x,y=mypolygon(n)function x,y=mypolygon(n)%the program creates a polygon%the program creates a polygon cita=linspace(pi/2,2*pi+pi/2,n+1);cita=linspace(pi/2,2*pi+pi/2,n+1);x=cos(cita);x=cos(cita);y=sin(cita);y=sin(cita);if nargout=0 if nargout=0 plot(x,0,y,1)plot(x,0,y,1)end endendend