第三章离散付里叶变换.ppt

《第三章离散付里叶变换.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章离散付里叶变换.ppt（104页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三章第三章离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT)Direct Fourier Transform3.1 引引 言言由于有限长序列，引入DFT(离散傅立叶变换)。DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。DFT变换除了作为有限长序列的一种傅立叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法-FFT,因而使离散傅立叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。3.2傅立叶变换的几种可能形式傅 立 叶 变 换：建 立 以 时 间t 为 自 变 量 的“信 号”与 以 频 率 f为 自 变 量 的“频 率 函 数”(频谱)之 间 的 某 种

2、变 换 关 系。所 以“时 间”或“频 率”取 连 续 还 是 离 散 值,就 形 成 各 种 不 同 形 式 的 傅 立 叶 变 换 对。在 深 入 讨 论 离 散 傅 立 叶 变 换 D F T 之 前,先 概 述 四种 不 同 形式 的 傅 立 叶 变 换 对。一、四种不同傅立叶变换对傅 立 叶 级 数(FS)：连 续 时 间,离 散 频 率 的 傅 立 叶 变 换；连 续 傅 立 叶 变 换(FT)：连 续 时 间,连 续 频 率 的 傅 立 叶 变 换；序 列 的 傅 立 叶 变 换(DTFT)：离 散 时 间,连 续 频 率 的 傅 立 叶 变 换；离 散 傅 立 叶 变 换(DF

3、T)：离 散 时 间,离 散 频 率 的 傅 立 叶 变 换。1.傅 立 叶 级 数(FS)如果周期函数在满足狄利赫里的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。当正交函数是三角函数和指数时，分别叫做“三角形式的傅立叶级数”和“指数形式的傅立叶级数”。周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。周期为T0的周期性连续时间函数 x(t)可展成傅立叶级数X(jk0),是离散非周期性频谱,表 示为:FS例子通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频 域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应。(频域采样，时域周期延拓)2.连 续 傅 立 叶 变 换(FT)非周期连续时间信号通过

4、连续傅立叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。例子从以下变换对可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱,而时域的非周期造成频域是连续的谱。3.序列的傅立叶变换(DTFT)非周期离散的时间信号(经过单位园上的Z变换(DTFT)得到周期性连续的频率函数。例子同样可看出，时域的离散造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续。4.离散傅立叶变换(DFT)上面讨论的三种傅立叶变换对，都不适于在计算机上运算，因为至少在一个域(时 域 或 频 域)中，函数是连续的。因为从数字计算角度，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是我们这里要谈到的离散傅立叶变换。周期性离散时间信号从上可以推断：周

5、期性时间信号周期性时间信号产生的产生的频谱是离散频谱是离散的的离散时间信号离散时间信号产生的产生的频谱是周期性频谱是周期性的的得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。DFT的变换总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。二、四种傅立叶变换形式的归纳3.3周期序列的离散傅立叶级数(DFS)我 们 先 从 周 期 序 列 的 离 散 傅立叶级 数(DFS)开 始 讨 论,然 后 再讨 论 可 作 为 周 期 函 数 一 个 周 期 的 有 限 长 序 列 的 离 散 傅 立 叶 变 换(DFT)。一、DFS定义设 为周 期 为 N 的 周 期 序 列,则 其 离 散 傅 立 叶 级 数(D

6、FS)变 换 对 为:正 变 换 反变换其中:二、DFS离散傅立叶级数的推导意义用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFT)对数字信号处理有实用价值。但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS。1.由非周期连续时间信号推出DFSx(t)经过抽样为x(nT)，对离散时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS.x(t)t取样x(t)tDTFTX(ejT)采样X(ejw)w2.周期性连续时间信号函

7、数周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。x(t)X(ejw)tw采样3.非周期离散时间信号非周期离散时间信号经过序列傅立叶变换(即单位园上的Z变换)DTFT，得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。x(t)tX(ejT)wX(ejw)DTFT采样三、推导DFS正变换以下由第三种傅立叶级数形式为例推导出离散傅立叶级数变换。非周期信号x(n)，其DTFT(单位园上Z变换)为其为周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为：得到频间距为：代入DTFT式子中得：设 x(n)为周 期 为

8、N 的 周 期 序 列,则 其 离 散 傅 立 叶 级 数(DFS)变 换 对 为：正 变 换 反变换其中:例子已知序列x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。解：3.5离散傅立叶变换DFT一、由DFS引出DFT的定义周期序列实际上只有有限个序列值才有意义,因 而它的离散傅立叶级数表示式也适用于有限长 序列,这就得到有限长序列的傅立叶变换(DFT)。具 体 而 言,我 们 把(1)时 域 周 期 序 列 看 作 是 有 限 长 序 列 x(n)的 周 期 延 拓;(2)把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期 延 拓。(3)这 样 我 们

9、只 要 把 DFS 的 定 义 式 两 边 取 主 值 区 间,就 得 到 关 于 有 限 长 序 列 的 时 频 域 的 对 应 变 换 对。这 就 是 数 字 信 号 处 理 课 程 里 最 重 要 的 变 换-离 散 傅 立 叶 变 换(DFT).二、DFT定义正变换反变换X(k)、x(n)为有限长序列的离散傅立叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。注意在 离 散 傅 立 叶 变 换 关 系 中,有 限 长 序 列 都 作 为 周 期 序 列 的 一 个 周 期 来 表 示,都 隐 含 有 周 期 性 意 义。DFT与序列的DTFT和Z变换的关系x（n）的N点DFT是：x（n）的

10、z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；x（n）的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样。三、DFT涉及的基本概念1.主 值(主值区间、主值序列)2.移 位(线性移位、圆周移位)3.卷 积(线性卷积、圆周卷积)4.对 称(序列的对称性、序列的对称分量)5.相 关(线性相关、圆周相关)1.主 值(主值区间、主值序列)主 值 区 间：设 有 限 长 序 列 x(n),0nN-1,将 其 延 拓 为 周 期 序 列 ,周 期 序 列 长度为N,则第 一 个 周 期 n=0 到 n=N-1 的 区 间 称 为 主 值 区 间。主 值 序 列：设 有 限 长 序 列 x(n),0nN-1,将 其 延 拓 为

11、周 期 序 列 ,周 期 为 N,则 主 值 区 间 内 的 序 列 x(n)=,0nN-1,即 为 主 值 序列。2 移位线性移位：线性移位：序 列 沿 坐 标 轴 的 平 移。圆周移位：圆周移位：将 有 限 长 序 列 x(n)以 长 度 N 为 周 期,延 拓 为 周 期 序 列,并 加 以 线 性 移 位 后,再 取 它 的 主 值 区 间 上 的 序 列 值，m 点 圆 周 移 位 记 作:其 中(.)N 表 示 N 点 周 期 延 拓。(1)有 限 长 序 列 圆 周 移 位 的 实 现 步 骤(2)例子12131 0.5(1)周期延拓：N=5时nx(n)2131x(n)0.521

12、310.51120.5n(2)周期延拓：N=6时，补零加长2131x(n)0.521310.51123n3(2)例子2131 0.5nx(n)(3)m=1时，左移(取主值)131x(n)0.52(4)m=-2时，右移(取主值)2131nx(n)0.5n 3.卷 积卷积在此我们主要介绍：(1)线性卷积(2)圆周卷积(3)圆周卷积与线性卷积的性质对比(1)线性卷积线 性 卷 积 定 义：有 限 长 序 列x1(n),0nN1-1;x2(n),0nN2-1则 线 性 卷 积 为 注意:线 性 卷 积 结 果 长 度 变 为 N1+N2-1.(2)圆周卷积令则圆 周 卷 积 结 果 长 度 不 变,为

13、 N。圆 周 卷 积 的 实 现 步 骤例子：线性卷积与圆周卷积步骤比较1231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3线性卷积：圆周卷积：(N=7)补零加长 231x(k)54k0N1=5231x(k)540N=7k例子：线性卷积与圆周卷积步骤比较2231h(k)0k(2)线性卷积无需周期延拓，而圆周卷积需进行周期延拓：线性卷积的翻褶：圆周卷积的翻褶(并取主值区间）：231231231h(-k)k0231h(-k)k0例子线性卷积与圆周卷积步骤比较3(3)平移231h(1-k)k0231h(1-k)k0（4）相乘x(k)h(-k)=51=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14

14、x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26231x(k)54k0231x(k)540N=7kx(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3例子线性卷积与圆周卷积步骤比较4(5)相加得到线性卷积的示意图相加得到圆周卷积的示意图14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可见可见,线性卷积与圆周卷积相同线性卷积与圆周卷积相同(当当NN1(5)+N2(3)-1=7时时)例子线性卷积与圆周卷积步骤比较5若圆周卷积取长度为N=5，则求圆周卷积23

15、1x(k)540N=5k231h(-k)k0求得圆周卷积x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圆卷积与线卷积不同.171326y(n)n02014(3)圆 周 卷 积 与 线 性 卷 积 的 性 质 对 比 上机用conv和circonv两种函数计算上述过程，即分别做x（n）和h（n）的线性卷积和5点、7点的圆周卷积。3.6离散傅立叶变换的性质一、引入在由DFS引出DFT的过程中我

16、们知道，DFT本质上是和周期序列的DFS概念紧密相关的，因而它们在性质上有着极大的相似，并由DFT隐含周期性（对应于DFS的显式周期性）所保证。假定x1(n）,x2(n)都是长为N的有限长序列，它们的离散傅立叶变换分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)二、DFT的性质和定理分类（1）线 性（2）时 间 移 位（3）频 率 移 位（4）圆 周 卷 积 定 理（5）圆 周 相 关 定 理（6)对 称 性 质 (7)DFT形式的帕赛瓦尔定理能量计算公式 (8)DFT 的 奇,偶,虚,实 关 系三、假设条件设x1(n)，x2(n)都是两个有限列长为N的有限序列，它们的离散傅立

17、叶变换分别为 四、性质（1）线性则x1(n),x2(n)的线性组合有：其中a,b为任一常数，本性质可由定义直接证明。证：线性说明如果x1(n)和x2(n)长度皆为N,即0nN-1范围有值,则aX1(k)+bX2(k)的长 度也是N;若x1(n)和x2(n)长度不等,设x1(n)长度为N1,x2(n)长度为N2,则ax1(n)+bx2(n)的长度应为N=maxN1,N2,故DFT必须按长度N计算。若N1频域相乘频域卷积-时域相乘（4）圆 周 卷 积 定 理-2-说明时 域 卷 积 对 应 于 频 域 相 乘,而 时 域 相 乘 对 应 于 频 域 卷 积。这 与 我 们 曾 学 过 的 其 他

18、变 换（FT/L/Z)的 卷 积 定 理 是 相 似 的。但 注 意,由 于 DFT 隐 含 的 周 期 性,卷 积 必 须 是 圆圆 周周 卷卷 积积 才 有 此 性 质。注 意 第 二 个 关 系 中 的 系 数,不 要 忽 略。（4）圆 周 卷 积 定 理-3线卷积和圆卷积步骤比较线卷积：翻褶、平移、相乘、积分（或相加）圆卷积：翻褶、周期化周期化、平移、相乘、相加（5）对 称 性 质DFT 的 对称性质较为复杂,归为以下三类:1.共轭与圆周共轭对称 在 时、频 域 的 对 应 关 系;2.实(虚)部 与 圆 周 共 轭 对 称(反 对 称)分 量 在 时、频 域 的 对 应 关 系;3.

19、时 域 为 实 序 列 时 对 应 DFT 特 征；另 外,在 以 上 对 称 性 质 的 基 础 上,可 归 纳 总 结 出 x(n)与 X(k)的 奇,偶,虚,实 关 系,利 用 这 些 关 系,可 减 少 计 算 DFT 时 的 运 算 量.。奇偶虚实关系表七、DFT性质一览表1七、DFT性质一览表2第六节抽样z变换频率抽样理论我们将先阐明：（1）z变换与DFT的关系（抽样z变换），在此基础上引出抽样z变换的概念，并进一步深入讨论频域抽样不失真条件。（2）频域抽样理论（频域抽样不失真条件）一、z变换与DFT关系（1）引入连续傅立叶变换引出离散傅立叶变换定义式。离散傅立叶变换看作是序列的傅

20、立叶变换在 频 域 再 抽 样 后 的 变 换 对。序列的傅立叶变换就是单位圆上的Z 变 换。所以对序列的傅立叶变换进行频域抽样时,自 然可以看作是对单位圆上的 Z变换进行抽样。(2)推 导Z 变 换 的 定 义 式(正 变 换)重 写 如 下:取z=ejw 代 入 定 义 式,得 到 单 位 圆 上 Z 变 换 为w是 单 位 圆 上 各 点 的 数 字 角 频 率。再 进 行 抽 样-N 等 分。这 样w=2k/N,即w值为0,2/N,4/N,6/N,考虑到x(n)是N点有限长序列,因而n只需0N-1即可。将w=2k/N代入并改变上下限,得 则这正是离散傅立叶变换(DFT)正变换定义式.(

21、3)结论1从 以 上 推 导 中 可 看 出,有 限 长 序 列 x(n)的 离 散 傅 里 叶 变 换 X(k)序 列 的 各 点 值 等 于 对 x(n)进 行 Z 变 换 后 在 单 位 圆 上 N 等 分 抽 样 的 各 点 处 所 得 的 Z 变 换 值,即 这 就 是 Z 变 换 与 DFT 的 关 系。(4)结论2有限长序列补零加长 N增加,求其DFT。发现频 谱包络不变,只是抽样点更密。原因:即N补零加长并不改变有限长序列本身,因而其 Z变换不变,而只是增加了N值。根 据 每个 X(k)仍 等 于X0(ejw)这 一 包 络，由于0kN-1,X(k)值的个数增加了,谱线变密。二

22、、频率抽样理论（频域抽样不失真条件）（1）问题引入由 Z 变 换 与 DFT 的 关 系,知 道：x(n)的 离 散 傅 立 叶 变 换 X(k)序 列 值 和 x(n)的 Z 变 换 在 单 位 圆 N 个 等 分 点 上 的 抽 样 值 相 等,这 就 是 说 实 现 了 频 域 的 抽 样。便 于 计 算 机 计 算而提出的。是否任何一序列(或说任何一个频率特性)都能用频域抽样的办法去逼近呢?其 限 制 条 件 是 什 么?（2）分析将x(n)的频域函数X(ejw)，按每周期 N点抽样，得到一周期序列 ,再反变换回时域,得到变换结果 ,是一周期延拓的序列,且与原序列x(n)有如下关系即

23、频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样,时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓。此结果符合频域抽样,时域周期延拓的说法。（3）结论长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件：频域抽样点数频域抽样点数N要大于或等于要大于或等于序列长度序列长度M,即满足即满足NM，此时可得到 表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示。（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号（6）例子-1频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化。（6）例子-2解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加,

24、时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。（6）例子-3按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度为M=5，NM,时域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为兰色。）3.8利用DFT计算模拟信号的傅立叶变换（级数）对引言FT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。归 结 起 来,有两个大方面，一是计算线性卷积计算线性卷积、线性相关线性相关；二是用 DFT(FFT)作为连续傅立叶变换的近似。FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的 一 种高速算法，虽实际 中广泛使用的是 FFT,但 其应用

25、的理论基础仍是 DFT。通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅立叶逼近这两种DFT应用，就可以说我们建立了一 般 FFT 应用的基本理论基础。一、用DFT逼近连续非周期信号的傅立叶变换在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换 是连续非周期性的频谱函数，数 字 计 算 机难 于 处 理 的,因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近。（1）分析 设；对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔 为 T(时域);对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样,频域抽样周期为 F(频域)。又因时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽样的频率

26、值,即频域周期fs=1/T。从频域抽样理论知识可知：频域抽样后对应时域按频域抽样间隔的倒数周期延拓,即 Tp=1/F。对无限长的信号计算机是不能处理的,必须对时域与 频域做截断,若时域取N点,则频域至少也要取N点(参见频域抽样不失真条件)。我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示:(2)时域的抽样与截断(3)频域的抽样与截断（4）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换结论1从以上分析，不难看出：如 果 用 DFT 定 义 式 去 计 算 一 个非 周 期 的 信 号 的 傅 立 叶 变 换,则 频 谱 的 正 常 电 平 幅 度 与 用 DFT 算 得 的 频

27、 谱 幅 度 相 差 一 个 加 权-T。（5）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换结论2同 理,用 IDFT 定 义 式 去 计 算 一 个 非 周 期 信 号 的 傅 立 叶 反 变 换,则 需 再 加 权 一 个 N*F0=fs.由 于 fs=1/T,所 以 一 个 时 间 信 号 从 时 域 到 频 域 再 到 时 域 的 整 个 变 换 过 程 中,电 平 幅 度 并 未 受 到 影 响。二、对连续时间周期信号x(t)的傅立叶级数的DFS逼近在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 周 期 信 号 的 傅 立 叶 级 数 是 数 字 计

28、 算 机 所 难 于 处 理 的,因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近.（略）二、用 DFT 做 傅 立 叶 变 换(级 数)的逼 近 时 所 产 生 的 问 题为 了 能 在 数 字 计 算 机 上 分 析 连 续 信 号 的 频 谱,常 常 用 DFT 来 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 立 叶 变 换,但 同 时 也 产 生 以 下 问 题:混 叠 现 象频 谱 泄 漏栅 栏 效 应1、混 叠 现 象利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 立 叶 变 换,为 避 免 混 叠 失 真,要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则：fs2fh 其中fs为抽 样

29、频 率,fh 为信号最高频率.但此条件只规定出fs的下限为fh,其上限要受抽样间隔 F的约束。抽 样 间 隔 F 即 频 率 分 辨 力,它是 记 录 长 度的 倒 数,即 T0=1/F 若 抽 样 点 数 为 N,则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系 为 F=fs/N 2fh/N混 叠 现 象的结论由F=fs/N 2fh/N 看出：在 N 给 定 时,为 避 免混 叠 失 真 而 一 味 提 高 抽 样 频 率 fs,必 然 导 致 F 增 加,即 频 率 分 辨 力 下 降;反 之,若 要 提 高 频 率 分 辨 力 即 减 小 F,则 导 致 减 小fs,最 终 必 须 减 小 信

30、号 的 高 频 容 量。以 上 两 点 结 论 都 是 在记录长度内抽样点数 N 给 定 的 条 件 下 得 到 的。所 以 在 高 频 容 量 fh 与 频 率 分 辨 力 F 参 数 中,保 持 其 中 一 个 不 变 而 使 另 一 个 性 能 得 以 提 高 的 唯 一 办 法,就 是 增 加 记 录 长 度 内 的 点 数 N,即 fh 和 F 都 给 定 时,则 N 必 须 满 足 N 2fh/F这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算法所必须满足条件。例子-1有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已

31、给条件为：（1）频率分辨力10Hz（2）信号的最高频率4kHz试确定以下参量：（1）最小记录长度T0；（2）抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数N。例子-2解：（1）由分辨力的要求确定最小记录长度T0.T0=1/F=1/10=0.1(s)故最小记录长度为0.1秒。（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T.fs2fh,T=1/fs 1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小记录点数N，它应满足N2fh/F=800该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。（因为N=29=512点不够）2、频 谱 泄 漏在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔之内，即

32、采取截断数据的过程。时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数,使原连续时间函数成为两端突然截断,中间为原信号与窗函数相乘的结果.时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积.由于窗函数不可能取无限宽,即其频谱不可能为一冲激函数,信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象.造成 频谱泄漏.所 以 在 截 取(即 在 窗 函 数 的 选 取)时,应 尽 量 选 择 适 当 形 状 的 窗 函 数 对时域信号进行截断,使频谱泄漏最小.频 谱 泄 漏 注 意 点由于我们无法取无数个点，所以在DFT时，时域的截断是必然的，因而泄漏也是必然存在的。为了减少频率泄漏可采用：（1）适当加大窗口宽度，增加M

33、值；（2）采用适当形状的窗函数截断指出：泄漏是不能与混叠完全分开的。例子-1设信号为x(n)=1/2,经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数前后的频谱函数。解：设信号经过矩形窗函数后的信号为x1(n),矩形窗函数为W(n),其频谱函数为X1(ejw)x1(n)=x(n)W(n)X1(ejw)=X(ejw)*W(ejw)很明显：X1(ejw)X(ejw)相当于X(ejw)失真，这种失真是由于X(ejw)的频谱泄漏引起，其现象为“拖尾（扩展现象），称之频谱泄漏。因为X(ejw)=(w),矩形窗函数例子-2wX(ejw)X(ejw)w产生泄漏3、栅 栏 效 应 利 用 DFT 逼 近 连 续 时

34、间 信 号 的 傅 里 叶 变 换,其 频 谱 将 不 再 是 连 续 函 数 而 是 基 频 F 的 整 数 倍。用 DFT 计 算 频 谱,就 如 通 过 一 个 栅栏观 看 一 个 景 色,只 能 在 离 散 点 的 地 方 看 到 真 实 的 景 象,从 而 产 生 栅 栏 效 应.如 果 在 两 离 散 的 谱 线 间 频 谱 有 很 大 变 化,不 作 特 殊 处 理,则 无 法 将 其 检 测 出 来.减 小 栅 栏 效 应方 法 减 小 栅 栏 效 应 的 一 个 方 法 是 在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点,使 一 个 周 期 内 点 数 增 加,但 是

35、 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据.这种方法 等 效 于 加 长 了 周 期 T0.因 公 式 F=1/T0(F是 抽 样 间 隔).T0 增 加,抽 样 间 隔 变 小,从 而 能 保 持 原 来 频 谱 形 式 不 变 的 情 况 下 使 谱 线 变 密,也 就 使 频 谱 抽 样 点 数 增 加.这 样,原 来 看 不 到 的 频 谱 分 量 就 有 可 能 看 到 了.补零加长使谱线细化在DFT与Z变换的关系一节中,我们也曾从另一角度阐明时域补加零值点后对频域的影响。下图从 该角度解释这一现象的.补零加长谱线细化例子画出x(n)=1,0 n 3,x(n)=0,其它n时的4点DFT

36、，8点DFT，16点DFT图形。四种不同傅立叶变换对傅 立 叶 级 数(FS)：连 续 时 间,离 散 频 率 的 傅 立 叶 变 换。连 续 傅 立 叶 变 换(FT)：连 续 时 间,连 续 频 率 的 傅 立 叶 变 换。序 列 的 傅 立 叶 变 换(DTFT)：离 散 时 间,连 续 频 率 的 傅 立 叶 变 换。离 散 傅 立 叶 变 换(DFT)：离 散 时 间,离 散 频 率 的 傅 立 叶 变 换。小结DFT性质一览表1DFT性质一览表2频域抽样理论频域抽样不失真条件频域抽样不失真条件:长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件：频域抽样点数N要大于或等于序列长度M,即满足NM.此时可得到DFT的应用（1）用DFT计算线性卷积（2）用DFT去逼近连续信号（3）用DFT进行谱分析 DFT 做 傅 立 叶 变 换(级 数)的逼 近 时 所 产 生 的 问 题混 叠 现 象:频 谱 泄 漏栅 栏 效 应上机21.谱分析：某模拟信号其中f150Hz，f2150Hz，f3250Hz，抽样频率1KHz，试画出该信号波形图，并利用函数fft进行频谱分析。（要求频率分辨率10Hz）