中考数学总复习（四边形）.docx

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1、今日奋发拼搏，明日独占鳌头，舍我其谁！中考总复习四边形综合题1综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AEEP，EP与正方形的外角DCG的平分线交于P点试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题请在图1中补全图形，解答老师提出的问题【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP90，连接CP，可以求出DCP的大小，请你思考并解答这个问题【拓展迁移

2、】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP90，连接DP知道正方形的边长时，可以求出ADP周长的最小值当AB4时，请你求出ADP周长的最小值2已知正方形，为对角线上一点【建立模型】（1）如图1，连接，求证：；【模型应用】（2）如图2，是延长线上一点，交于点判断的形状并说明理由；若为的中点，且，求的长【模型迁移】（3）如图3，是延长线上一点，交于点，求证：3如图，在菱形ABCD中，BAD120，AB6，连接BD（1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合

3、），点F在边AD上，且BEDF当CEAB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由4如图，在矩形中，点是边上的任一点（不包括端点，过点作交的延长线于点，设（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）连接交于点，连接，当时，求证：四边形是菱形5如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AOCO，BCACAD（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD2AB，BC15，AC16，求EFG的周长6阅读材料：小明喜欢探究数学

4、问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，ABC和BDE都是等边三角形，点A在DE上求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DCAE，ADC120，从而得出ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由若AE2+AG210，试求出正方形ABCD的面积7如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记COD的面积为S1，

5、AOB的面积为S2（1）问题解决：如图，若ABCD，求证：（2）探索推广：如图，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图，在OA上取一点E，使OEOC，过点E作EFCD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG2GH，若，求值8如图1，四边形中，于点将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点与重合，点在上，其中，（1）求证：；（2）从图1的位置出发，先沿着方向向右平移（图，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转（图，当边旋转时停止边从平移开始，到绕点旋转结束，求边扫过的面积；如图2，点在上，且若右移的速度为每秒1个单位长，绕点旋

6、转的速度为每秒，求点在区域（含边界）内的时长；如图3，在旋转过程中，设，分别交于点，若，直接写出的长（用含的式子表示）9综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（1）操作判断操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：或或或（任写一个即可）（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接如图2，当点在上时，；改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并

7、说明理由（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长10在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接（1）当四边形是矩形时，如图1，求证：；（2）当四边形是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立请给出结论的证明11如图1，在矩形ABCD中，AB4，BC6点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EFCE，交AB于点F（1）求证：AEFDCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BGCF，垂足为G，连接AG点M是线段BC的中点，连接GM求AG+GM的最小值；当AG+GM取最小值时，求线段DE的长12如图，在平面直角坐标系中，四边形

8、ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，ADBC，BD平分ABC，交AO于点E，交AC于点F，CAODBC若OB，OC的长分别是一元二次方程x25x+60的两个根，且OBOC请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y（k0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由13几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数

9、结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式：公式：公式：公式：图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 （2）几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）（3）如图6，在等腰直角三角形中，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点记与的面积之和为，与的面积之和为若为边的中点，则的值为 ；若不为边的中

10、点时，试问中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由14如图，矩形ABCD中，AB15，BC9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AFBE于F，CGBE于G，延长CG至点C，使CGCG，连接CF，AC（1）直接写出图中与AFB相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC是平行四边形，求CE的长；（3）当CE的长为多少时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形？15如图，在ABCD中，AB4，ADBD，点M为边AB的中点动点P从点A出发，沿折线ADDB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM作点A关于直线PM的对称点A，连结AP、AM设点P的运动时间为t秒，（1

11、）点D到边AB的距离为 3；（2）用含t的代数式表示线段DP的长；（3）连结AD，当线段AD最短时，求DPA的面积；（4）当M、A、C三点共线时，直接写出t的值16如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于BAC，连接CF（1）当点E在BC上时，作FMAC，垂足为M，求证：AMAB；（2）当AE3时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值17如图，已知四边形为矩形，点在上，将沿翻折到，连接（1）求的长；（2）求的值18【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在勾股举隅中给出多种证明勾股定理的

12、方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线在ABC中，ACB90，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以RtABC的三边为一边的正方形延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M（1）证明：ADLC；（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理【迁移拓展】（4）如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹

13、）；若不存在，请说明理由19综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为 1；当与垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为 ；类比探究（2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点，如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）；

14、拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）（参考数据：，20下面图片是八年级教科书中的一道题如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F求证AEEF（提示：取AB的中点G，连接EG）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：AGCE；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变求证：AEEF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EPAC，垂足为P

15、设k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明21如图，菱形的边长为10，对角线、相交于点，点在对角线上，连接，作且边与直线相交于点（1）求菱形的面积；（2）求证22如图，在矩形中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点【尝试初探】（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由【深入探究】（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值【拓展延伸】（3）连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）23某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，

16、按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点，连接该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当时，则；（2）如图3，当点，重合时，请直接写出，之间的数量关系：；【深入探究】（3）如图4，当点，不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由【拓展延伸】（4）如图5，在与中，若，为常数）保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点，连接，如图6试探究，之间的数量关系，并说明理由24华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案如图，在正方形中，求证：证明：设与交于点，四边形是正方形，

17、某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在线段、上，且试猜想的值，并证明你的猜想【知识迁移】如图2，在矩形中，点、分别在线段、上，且则【拓展应用】如图3，在四边形中，点、分别在线段、上，且求的值25如图，平行四边形ABCD中，DB2，AB4，AD2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的

18、速度为个单位每秒，运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？（3）如图3，H在线段AB上且AHHB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EMHM，并说明理由26如图，在矩形中，点是的中点，点是射线上动点，点在线段上（不与点重合），（1）判断的形状，并说明理由（2）当点为边中点时，连接并延长交于点求证：（3）点在边上，当时，求的长27在正方形中，点是边的中点，点在线段上（不与点重合），点在边上，且，连接，以为边在正方形内作正方形（1）如图1，若，当点与点重合时，求正方形的面积（2）如图2，

19、已知直线分别与边，交于点，射线与射线交于点求证：；设，和四边形的面积分别为，求证：28如图，在菱形中，点从点出发沿折线向终点运动过点作点所在的边或的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形（1）如图1，点在上求证：（2）若，当过中点时，求的长（3）已知，设点的运动路程为当满足什么条件时，以，为顶点的三角形与相似（包括全等）？29如图，在矩形中，动点从点出发，沿边，向点运动，关于直线的对称点分别为，连结（1）如图，当在边上且时，求的度数（2）当在延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由（3）当直线恰好经过点时，求的长30图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2

20、，在正方形各边上分别取点，使，依次连接它们，得到四边形；再在四边形各边上分别取点，使，依次连接它们，得到四边形；如此继续下去，得到四条螺旋折线（1）求证：四边形是正方形（2）求的值（3）请研究螺旋折线中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明四边形综合题参考答案1【解答】解：（1）AEEP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，F、E分别为AB、BC的中点，ABBFBECE，BFE45，AFE135，CP平分DCG，DCP45，ECP135，AFEECP，AEPE，AEP90，AEB+PEC90，AEB+BAE90，PECBAE，AFEECP（ASA），AEEP；（2）在AB上取AFEC，

21、连接EF，由（1）同理可得CEPFAE，AFEC，AEEP，FAECEP（SAS），ECPAFE，AFEC，ABBC，BFBE，BEFBFE45，AFE135，ECP135，DCP45，（3）作DGCP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，DCP45，CDG45，DCG是等腰直角三角形，点D与G关于CP对称，AP+DP的最小值为AG的长，AB4，BG8，由勾股定理得AG4，ADP周长的最小值为AD+AG4+42【解答】（1）证明：是正方形的对角线，；（2）解：为等腰三角形，理由：四边形是正方形，由（1）知，是等腰三角形；如图，过点作于，四边形为正方形，点为的中点，由知，在与中

22、，在中，；（3），在中，由（1）知，由（2）知，3【解答】解：（1）过点D作DHAB交BA的延长线于H，如图：四边形ABCD是菱形，ADAB6，BAD120，DAH60，在RtADH中，DHADsinDAH63，AHADcosDAH63，BD6；（2）设CEAB交AB于M点，过点F作FNAB交BA的延长线于N，如图：菱形ABCD中，ABBCCDAD6，ADBC，BAD120，ABC+BAD180，ABC180BAD60，在RtBCM中，BMBCcosABC63，BD是菱形ABCD的对角线，DBAABC30，在RtBEM中，MEBMtanDBM3，BE2，BEDF，DF2，AFADDF4，在Rt

23、AFN中，FAN180BAD60，FNAFsinFAN42，ANAFcosFAN42，MNAB+ANBM6+235，S四边形ABEFSBEM+S梯形EMNFSAFNEMBM+（EM+FN）MNANFN3+（+2）522+27；当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，理由：设DFx，则BEDFx，过点C作CHAB于点H，过点F作FGCH于点G，过点E作EYCH于点Y，作EMAB于M点，过点F作FNAB交BA的延长线于N，如图：EYFGAB，FNCH，四边形EMHY、FNHG是矩形，FNGH，FGNH，EYMH，EMYH，由可知：MEBEx，BMBEx，ANAF（ADDF）3x，F

24、NAF，CHBC3，BHBC3，AMABBM6x，AHABBH3，YHMEx，GHFN，EYMHBMBHx3，CYCHYH3x，FGNHAN+AH6，CGCHGH3x，MNAB+ANBM6+3xx92x，S四边形ABEFSBEM+S梯形EMNFSAFNEMBM+（EM+FN）MNANFNxx+（x+）（92x）（3x）x2x+9（x3）2+，0，当x3时，四边形ABEF的面积取得最小值，CE+CF+，（x3）20，当且仅当x3时，（x3）20，CE+CF+12，当且仅当x3时，CE+CF12，即当x3时，CE+CF的最小值为12，当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为

25、124【解答】（1）解：四边形是矩形，即，（2）证明：四边形是矩形，四边形是平行四边形，在中，在中，在中，如图，过点作于点，又，是的角平分线，平行四边形是菱形5【解答】（1）证明：BCACAD，ADBC，在AOD与COB中，AODCOB（ASA），ADBC，四边形ABCD是平行四边形；（2）解：连接DF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC15，ABCD，ADBC，BD2OD，OAOCAC8，BD2AB，ABOD，DODC，点F是OC的中点，OFOC4，DFOC，AFOA+OF12，在RtAFD中，DF9，点G是AD的中点，AFD90，DGFGAD7.5，点E，点F分别是OB，OC的中点，EF

26、是OBC的中位线，EFBC7.5，EFBC，EFDG，EFAD，四边形GEFD是平行四边形，GEDF9，EFG的周长GE+GF+EF9+7.5+7.524，EFG的周长为246【解答】（1）证明：如图1，连接DC，ABC和BDE都是等边三角形，ABBC，BEBC，ABCDBEEBDE60，ABCABDDBEABD，即CBDABE，CBDABE（SAS），CDAE，BDCE60，ADCBDE+BDC120，ADC为钝角三角形，以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形（2）解：以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，ABC

27、B，BEBG，ABCBCDEBGBGF90，EGBGEB45，ABCABGEBGABG，即CBGABE，CBGABE（SAS），CGAE，CGBAEB45，AGCEGB+CGB45+4590，ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；由可知，CGAE，AGC90，CG2+AG2AC2，AE2+AG2AC2，AE2+AG210，AC210，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，AB2+BC2AC210，AB25，S正方形ABCDAB257【解答】（1）证明：过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，如图所示：DEODsinDOE，BFOBsinBOF，S1OCD

28、EOCODsinDOE，S2OABFOAOBsinBOF，DOEBOF，sinDOEsinBOF，；（2）解：（1）中的结论成立，理由如下：过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，如图所示：DEODsinDOE，BFOBsinBOF，S1OCDEOCODsinDOE，S2OABFOAOBsinBOF，DOEBOF，sinDOEsinBOF；（3）解：过点A作AMEF交OB于M，取BM中点N，连接HN，如图所示：EFCD，ODCOFE，OCDOEF，又OEOC，OEFOCD（AAS），ODOF，EFAM，OEFOAM，设OEOC5m，OFOD5n，则OA6m，OM6n，H是AB的中点，N是B

29、M的中点，HN是ABM的中位线，HNAMEF，OGFOHN，OG2GH，OGOH，ONOF，BNMNONOM6n，OBON+BN+9n，由（2）得：8【解答】（1）证明：四边形是矩形，在中，在和中，；（2）解：如图1中，扫过的面积平行四边形的面积扇形的面积设交于点，扫过的面积；如图中，连接当运动到与重合时，点在区域（含边界）内的时长；如图3中，在中，9【解答】解：（1）对折矩形纸片，沿折叠，使点落在矩形内部点处，故答案为：或或或（任写一个即可）；（2）由（1）可知，四边形是正方形，由折叠可得：，又，故答案为：15，15；，理由如下：四边形是正方形，由折叠可得：，又，；（3）由折叠的性质可得，当

30、点在线段上时，当点在线段上时，综上所述：的长为或10【解答】（1）证明：连接，过点作于点四边形是矩形，平分，；（2）解：过点作于点，连接四边形是平行四边形，平分，11【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AD90，CED+DCE90，EFCE，CED+AEF90，DCEAEF，AEFDCE；（2）解：连接AM，如图2，BGCF，BGC是直角三角形，点M是BC的中点，MBCMGM，点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GMAM，当A，G，M三点共线时，AG+GMAM，此时，AG+GM取得最小值，在RtABM中，AM5，AG+GM的最

31、小值为5方法一：如图3，过点M作MNAB交FC于点N，CMNCBF，设AFx，则BF4x，MNBF（4+x），MNAB，AFGMNG，由（2）可知AG+GM的最小值为5，即AM5，又GM3，AG2，解得x1，即AF1，由（1）得，设DEy，则AE6y，解得：y3+或y3，06，036，DE3+或DE3方法二：如图4，过点G作GHAB交BC于点H，MHGMBA，由（2）可知AG+MG的最小值为5，即AM5，又GM3，GH，MH，由GHAB得CHGCBF，即，解得FB3，AFABFB1由（1）得，设DEy，则AE6y，解得：y3+或y3，06，036，DE3+或DE312【解答】解：（1）由x25

32、x+60，解得x12，x23，OB，OC的长分别是方程的两个根，且OBOC，OB3，OC2B（3，0），C （2，0）；（2）AOBC，AOB90，CAODBC，CAO+AFBDBC+AOB，AFBAOB90BD平分ABC，ABDDBC，AFB90，BACBCA，ABBC5，ADBC，ADBDBC，ABDADB，ABAD5，在RtABO中，AO4，D（5，4），反比例函数解析式为：y；（3）存在，N4（3，12），N5（，），N 6（，），理由：过点D作DGx轴于点G，B（3，0），D（5，4），BG8，DG4，BD4，使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形，当BD是矩形一边，

33、且是短边时，即图中矩形BDM1N1和矩形BDM4N4，由BD：N1B2：3，得N1B6，过点N1作N1Hx轴于点H，由一线三等角易得BDGN1BH，根据相似三角形三边对应成比例得：BH6，N1H12，OHOB+BH3+69，N1（9，12），同理得点N4（3，12），当BD是矩形一边，且是长边时，即图中矩形BDM2N2和矩形BDM3N3，方法同上，得点N2（，），N3（，）；当BD是对角线时，如下图：以BD为半径作圆，矩形BN5DM5，BN6DM6即为符合题意矩形，当BN5：N5D2：3时，过点N5作KLx轴，过点B作BKKL于点K，过点D作DLKL于点L，由一线三等角易得BKN5DLN5，B

34、KN5L，KN5LD，设N5Lx，LDy，BKx，KN5y，N5L+KN58，DLBK4，解得：，KN5y，N5的横坐标3，同理得N5的纵坐标；再同理得：当BN5：N5D3：2时，N6（，）综上所述：在第四象限内点N的坐标为N4（3，12），N5（，），N 6（，）13【解答】（1）解：观察图象可得：图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式；故答案为：，；（2）证明：如图：由图可知，矩形和矩形都是正方形，；（3）解：设，由已知可得、是等腰直角三角形，四边形是矩形，是中点，；故答案为：2；不为边的中点时中的结论仍成立，证明如下：设，由已知可得、是等腰直角三角形，四边形是矩形，14【

35、解答】解：（1）（任意回答一个即可）；如图1，AFBBCE，理由如下：四边形ABCD是矩形，DCAB，BCEABC90，BECABF，AFBE，AFB90，AFBBCE90，AFBBCE；AFBCGE，理由如下：CGBE，CGE90，CGEAFB，CEGABF，AFBCGE；AFBBGC，理由如下：ABF+CBGCBG+BCG90，ABFBCG，AFBCGB90，AFBBGC；（2）四边形AFCC是平行四边形，AFCC，由（1）知：AFBBGC，即，设AF5x，BG3x，CCAF5x，CGCG，CGCG2.5x，AFBBCEBGC，即，CE7.5；（3）分两种情况：当CFBC时，如图2，CGB

36、E，BGGF，CGCG，四边形BCFC是菱形，CFCB9，由（2）知：AF5x，BG3x，BF6x，AFBBCE，即，CE；当CFBF时，如图3，由（1）知：AFBBGC，设BF5a，CG3a，CF5a，CGCG，BECC，CFCF5a，FG4a，tanCBE，CE3；综上，当CE的长为长为或3时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形15【解答】解：（1）连接DM，DADB，点M是AB的中点，DMAB，AM2，在RtADM中，由勾股定理得，DM，故答案为：3（2）当点P在AD上时，即0t1时，PDADAPt，当点P在BD上时，即1t2时，PDt，PD；（3）AM2，DM3，AD1

37、，当点D、A、M共线时，DA最短，AMPDMP，SAPM，SPDASADM2SAMP32；（4）当点A在CM上时，如图，作CHAB，交AB的延长线于H，作MQ平分CMH，交CH于Q，作QGMC于G，ADBC，DAMCBH，DMACHB，AMDBHC（AAS），BHAM2，CHDM3，MQ平分CMB，GMQQMH，QGMQHM，MQMQ，MQGMQH（AAS），MGAH4，QHQG，CG1，tanMCH，QG，AP，AN2t，PN3t，AMPAMP，CMQQMH，PMQ90，QMHMPN，MNt，2t+t2，t；当A在CM的延长线上时，作PTAB于T，由题意知BP2t，同理得，PT63t，BT42t，MT189t，18