中考数学专题——相似三角形与圆的综合.docx

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1、中考数学专题相似三角形与圆的综合一、综合题1如图，D为O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且CDACBD（1）求证：CD是O的切线；（2）若DC4，AC2，求OC的长2如图，AB是的直径，点F在上，AE平分交于点E，过点E作，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C（1）求证：CD是的切线；（2）若，求BC的长3如图，AB为O的直径，直线BMAB于点B，点C在O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为O的切线交BM于点F（1）求证：CFDF；（2）连接OF，若AB10，BC6，求线段OF的长4如图，已知AB是0的直径，C为O上一点，OCB的平分线交0于点D

2、，过点D作0的切线交CB的延长线于点E.（1）求证：CEDE；（2）若AB=10， tanA=，求DE的长.5如图，点C在以AB为直径的O上，BD平分ABC交O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.（1）求证：DE与O相切；（2）若AB5，BE4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由6如图，在ABC中，ACB90，边AB与O相切于点D，CD是O的直径，AC交O于E，连接BE交CD于P，交O于F，连接DF（1）求证：ABCEFD；（2）若AD2，CD，求BD的长7如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，DAB2B，过C作CEDA交DA的延长线于E.（1）求证：CE是O的切线

3、.（2）若DE2CE，BC4，求O的半径.8如图，AB是O的直径，C为O上一点，ADCD，（点D在O外）AC平分BAD （1）求证：CD是O的切线； （2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE=12，AD=9，求BE的长 9如图，AB是O的直径，点E、F在O上，且2，连接OE、AF，过点B作O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D（1）求证：COBA；（2）若AB6，CB4，求线段FD的长10如图，已知AB为O的直径，AC，CD是弦ABCD于EOFAC于F连接BC（1）求证：；（2）若BE2cm，求AC的长11如图所示，AB是O直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AEC=ODB （

4、1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明； （2）当AB=10，BC=8时，求BD的长 12如图，已知RtABC，ABC=90，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD （1）若AD=3，BD=4，求边BC的长； （2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切 13如图，DP是O的切线，D为切点，弦ABDP，连接BO并延长，与O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD（1）求证：AFOD；（2）若OD5，AB8，求线段EF的长14如图，是的外接圆，平分的外角，垂足分别是点M、N，且（1）求证：/；（2）如图，延长交于E点，若，；求的半径长15如图，AB

5、为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为，的面积为，求CD的长16如图，AB是的直径，AC是弦，于点D，过点A作的切线AP，与OD的延长线交于点P，连接CP，与AB的延长线交于点E（1）求证：PC是的切线；（2）求证：17如图，已知是以AB为直径的圆，C为上一点，D为OC延长线上一点，BC的延长线交AD于E，（1）求证：直线AD为的切线；（2）求证：18如图，在中，点D是的中点，点O是AB上一点，以点O为圆心、为半径作，与AB相交于点F，与相切于点E，连接BD与相交于点G（1）求证：BE平；（2）当时，求的长19

6、如图，以AB为直径的O与AC相切于点A，点D、E在O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F（1）求证：DAC=DEA；（2）若点E是BD的中点，O的半径为3，BF=2，求AC的长20如图，四边形 内接于 ， ， 是对角线，点 在 的延长线上，且 （1）求证： 是 的切线； （2） 与 的延长线交于点 ，若 ， ， ，求证： ； （3）求 的长 答案解析部分1【答案】（1）证明：如图，连接OD，AB是O的直径，ADB=90，即ODB+ODA=90，OB=OD，ABD=ODB，又CDA=CBD，ODA+CDA=90，即ODCD，OD是O的半径，CD是O的切线；（2

7、）解：CDA=CBD，ACD=DCB，ACDDCB，即，CB=8，OA=3，OC=OA+AC=3+2=5【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出ODA+CDA=90，即可得出结论；（2）利用相似三角形的判定和性质求出BC，进而求出半径OA，再求出OC即可。2【答案】（1）证明：连接OE，OA=OE，OAE=OEA，AE平分BAF，OAE=DAE，OEA=EAD，OE/AD，EDAF，OEDE，CD是O的切线； （2）解：连接BE，AB为直径，AEB=90=D，又DAE=BAE，ADEAEB， ，又， ，则AE=2BE，又AB=10，在RtABE中，AE2+BE2=AB2，即

8、（2BE）2+BE2=102，解得：BE=，则AE= ， ，解得：AD=8，DE=4，OE/AD，COECAD， ，设BC=x， ，解得：x= ， 经检验：x=是原方程的解，故BC的长为【解析】【分析】（1）连接OE，由提意可证OE/AD，且DEAF，即可得到OEDE，所以CD是O的切线； （2）先证明ADEAEB，再利用相似三角形的性质可得，再求出BE=，则AE= ，即可得到，求出AD=8，DE=4，再证明COECAD， 可得，再设BC=x，将数据代入计算可得答案。3【答案】（1）证明：连接OC，如图，CF为切线，OCCF，1+390，BMAB，2+490，OCOB，12，34，AB为直径，

9、ACB90，3+590，4+BDC90，BDC5，CFDF；（2）解：在RtABC中，AC8，BACDAB，ABCABD，即，AD，34，FCFB，而FCFD，FDFB，而BOAO，OF为ABD的中位线，OFAD【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出1+390，即可证明34，再根据圆周角定理得出ACB90，再根据等角的余角相等得出BDC5，从而根据等腰三角形的判定定理得出结论；（2）根据勾股定理计算出AC的值，再证明ABCABD，利用相似比得出AD值，再证明OF为ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长。4【答案】（1）证明：连接OD，DE是的切线，CD平分，；（2）解

10、：，AB是直径，故DE的长为3【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ， 最后求解即可；（2）根据题意先求出 ，再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。5【答案】（1）证明：如图：连接OD，平分，是O的半径，DE与O相切（2）解：为O的直径，平分，（3）解：CE=AB-BE；理由如下如图：过点D作于点H，则，平分，在与中，四边形内接于O，在与中，【解析】【分析】（1） 如图：连接OD， 由OD=OB得ODB=OBD，由角平分线的定义可得CBD=OBD，即得ODB=CBD，根据平行线的判定得ODBE，由BEDE可得ODDE，根据切线的判定定理即证；（2）证明可得，据此即可求出BD；（3）CE=

11、AB-BE；理由：如图过点D作于点H，则，证RtBEDRtBHD，可得BE=BH，再证，可得，从而得出AB=AH+BH=CE+BE，继而得出结论.6【答案】（1）证明：与相切于点，；（2）解：，的长为3【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得CDB=90，由已知条件可知ACB=90，根据同角的余角相等可得ECD=ABC，由圆周角定理可得ECD=EFD，据此证明；（2）根据垂直的概念可得ADC=CDB=90，根据同角的余角相等可得ECD=ABC，证明ACDCBD，然后根据相似三角形的性质进行计算.7【答案】（1）证明：如图：连接 ，则 . ， ， ， ， ， 是 的切线；（2）解：如图：连接 .

12、 AB是O的直径， . ， . ，又 ， . .DE2CE， ， . . 的半径为 .【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得AOC=2B，结合已知条件可得DAB=AOC，推出DEOC，结合CEDA可得CEOC，据此证明；（2）连接AC，根据圆周角定理可得ACB=90，B=D，证明ABCCDE，根据相似三角形的性质可得AC，然后利用勾股定理进行计算.8【答案】（1）证明：连接OC， AC平分DAB，DAC=CAB，OC=OA，OAC=OCA，DAC=OCA，OCAD，ADCD，OCCD，OC为O半径，CD是O的切线（2）解：在RtADE中，由勾股定理得：AE= =15， OCAD，E

13、COEDA， = ， = ，解得：OC= ，BE=AE2OC=152 = ，答：BE的长是 【解析】【分析】（1）连接OC，推出DAC=CAB，OAC=OCA，求出DAC=OCA，得出OCAD，推出OCDC，根据切线的判定判断即可；（2）根据勾股定理求出AE，根据ECOEDA，得出比例式，求出圆的半径，即可求出答案 9【答案】（1）证明：取的中点，连接、，（2）解：连接，如图，为的切线，即，解得，在中，是的直径，即，解得：【解析】【分析】（1）取的中点M，连接OM、OF，根据弧长和弦的性质可得，再结合，即可得到 COBA；（2）根据切线的性质可得，再结合可证明，再利用相似三角形的性质可得，再求

14、出BD的长，利用勾股定理求出AD，再证明，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可。10【答案】（1）证明：AB为O的直径，ACB90，即BCAC，又OFAC，（2）解：AB为O的直径，ABCD，在中，由勾股定理得，即，解得；的长为cm【解析】【分析】（1）先证明ACB90，即BCAC，再结合OFAC，可得OF/BC；（2）先利用勾股定理求出BC的长，再证明可得，即，再求出即可。11【答案】（1）解：直线BD和O相切 证明：AEC=ODB，AEC=ABCABC=ODBODBCDBC+ODB=90DBC+ABC=90DBO=90直线BD和O相切（2）解：连接AC AB是直径ACB=90

15、在RtABC中，AB=10，BC=8直径AB=10OB=5由（1），BD和O相切OBD=90ACB=OBD=90由（1）得ABC=ODB，ABCODB ，解得BD= 【解析】【分析】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有AEC=ABC，又AEC=ODB，所以ABC=ODB，OD弦BC，即ABC+BOD=90，则有ODB+BOD=90，即BD垂直于AB，所以BD为切线（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又由（1）知ABC=ODB，所以有ACBOBD，而AC可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD 12【答案】（1）解：AB为直径， ADB=90，即BDAC在RtADB中，

16、AD=3，BD=4，由勾股定理得AB=5ABC=90，BDAC，ABDACB， = ，即 = ，BC= （2）证明：连接OD， OD=OB，ODB=OBD；又E是BC的中点，BDAC，DE=BE，EDB=EBDODB+EDB=OBD+EBD=90，即ODE=90，DEODED与O相切【解析】【分析】（1）根据勾股定理易求AB的长；根据ABDACB得比例线段可求BC的长（2）连接OD，证明DEOD 13【答案】（1）证明：延长DO交AB于点H，DP是O的切线，ODDP，ABDP，HDAB，BC为O的直径，BAC90，AFOD（2）解：OHAB，AB8，BHAH4，OH3，BHED，BOHEOD，

17、即，解得：ED ，BAC90，DHAB，DHDP，四边形AFDH为矩形，DFAH4，EFEDDF4【解析】【分析】（1）先求出 ODDP， 再求出 BAC90， 最后证明即可；（2）先求出 BHAH4， 再利用勾股定理求出OH=3，再利用相似三角形的判定与性质求解即可。14【答案】（1）证明：，平分的外角，；（2）解：延长交于F点，连接CF，AF是圆的直径，ACF=90，由（1）得，（负值舍去），即半径为【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可得DAC=2DAE，根据圆的概念及性质可证明AB=AC，再证明即可；（2）延长交于F点，连接CF，证明，列出比例式求解即可。15【答案】（1）证明：连

18、接OC，如图1，AB为O直径，又，CD为O切线；（2）解：过点C作于点M，如图2，O的半径为，的面积为，在中，由（1）得，【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得ACB=90，从而得出CAB+CBO=90，由同圆半径相等可得，结合，可得BCD+BCO=A+BCO=A+CBO=90，根据切线的判定定理即证；（2）过点C作于点M，如图2，根据的面积为 可求出 ， 在中 ，利用勾股定理求出OM=1，证明，可得，据此求出CD即可.16【答案】（1）证明：连接OC，ODAC，OD经过圆心O，OP垂直平分AC，AOP=COP在OAP和OCP中，OAPOCP，OCP=OAPPA是O的切线，OAP=9

19、0OCP=90，即OCPCPC是O的切线（2）证明：连接BC，如图：AB是的直径，；【解析】【分析】（1）连接OC，先证明OAPOCP，可得OCP=OAP，再结合OAP=90，可得OCP=90，即OCPC，即可得到PC是O的切线；（2）连接BC，先证明，可得，再化简可得。17【答案】（1）证明：AB为O的直径，ACB=90，CAB+B=90，DAC=DCE，DCE=BCO，DAC=BCO，OB=OC，B=BCO，DAC=B，CAB+DAC=90，ADAB，OA是O半径，AD为O的切线；（2）证明：DAC=DCE，D=D，CEDACD，DC2=EDDA【解析】【分析】（1）先证明出CAB+DAC

20、=90，即ADAB，再结合OA是O半径，即可得到AD为O的切线；（2）先证明CEDACD，可得，再化简可得DC2=EDDA。18【答案】（1）证明：如图，连接，与相切于点E在中，点D是的中点，即，即平分（2）解：，点D是的中点，在中，由勾股定理得由（1）知设，则解得在中，由勾股定理得的长为5【解析】【分析】（1） 四边形是平行四边形， 由 在中，点D是的中点 得出 ， ，由 ，得出 ，即可得出结论；（2）由 ，点D是的中点， ，得出 ， ， 在中，由勾股定理得 BD的值， 由（1）知 ，得出 ，推出 ， 设，则 ，代入求解，再利用勾股定理求出AE的值即可。19【答案】（1）解：AC与AB为直径

21、的O相切于点A，ACAB，DAC+BAD=90，AB是直径，ADB=90，B+BAD=90，DAC=B，DEA=B，DAC=DEA；（2）解：如图，连接BEE是BD的中点设，BEF=90，即，解得：，ADC=BDA=90【解析】【分析】（1）先求出 DAC+BAD=90， 再求出 DAC=B， 最后证明求解即可；（2）利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。20【答案】（1）证明：连接 ，如图1， 四边形 内接于 ， ， 是 的直径，即点 在 上 又 ，CEDBDC ，即 OD是 的半径 是 的切线（2）证明：如图2， 与 交于点 ， ， BD垂直平分AC ， ， ， （3）解：设 ，则CF2x， 在 中， ， 解得： ， （舍） 【解析】【分析】（1）先证明，则，再结合OD是的半径，可得是的切线；（2）连接BD，与交于点，先证明可得，再化简可得；（3）设 ，则CF2x，利用勾股定理可得 ，再求出x的值即可。 39 / 39学科网（北京）股份有限公司