中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合.docx

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1、中考数学高频考点突破反比例函数与三角形综合1. 如图，反比例函数 y1=kxx0 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于 A1,m，B4,n 两点，过点 A 作 AC 垂直于 x 轴于点 C，且 SOAC=2(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；(2) 当 y1y2 时，求 x 的取值范围2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AC 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B0,52，且与反比例函数 y=10x 在第一象限的图象交于点 C，CDy 轴于点 D，CD=2(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数 y=10x 的函数值 y5 时，自变量 x 的取值范围(2) 动点 P 在 x

2、 轴上，PQx 轴交反比例函数 y=10x 的图象于点 Q若 SPAC:SPOQ=2，求点 P 的坐标3. 如图，点 A3,4 是反比例函数 y=kx 在第一象限图象上一点，连接 OA，过 A 作 ABx 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函数 y=kx 的图象于点 P，连接 AP(1) 求反比例函数的表达式(2) 求 OAP 的面积4. 如图，一次函数 y=ax+ba0 的图象与反比例函数 y=kxk0 的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，tanDCO=32，过点 A 作 AEx 轴于点 E，若点 C 是 OE 的中点，且点 A

3、的横坐标为 4(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式(2) 连接 ED ,求 ADE 的面积5. 如图，在 RtABC 中，ABC=90，直角顶点 B 位于 x 轴的负半轴，点 A0,2，斜边 AC 交 x 轴于点 D，BC 与 y 轴交于点 E，且 tanOAD=12，y 轴平分 BAC，反比例函数 y=kxx0 的图象经过点 C(1) 求点 B，D 坐标；(2) 求 y=kxx0 的函数表达式6. 如图，在 AOB 中，OAB=90，AO=AB=4，以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，OAB 的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上(1) 求反比例函数的表达

4、式(2) 把 OAB 向右平移 m 个单位长度，对应得到 OAB，当这个函数图象经过 OAB 一边的中点时，求 m 的值7. 如图的反比例函数图象经过点 A2,5(1) 求该反比例函数的解析式(2) 过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，在直线 AB 右侧的反比例函数图象上取一点 C，若 ABC 的面积为 20，求点 C 的坐标8. 如图，一次函数 y=x+32 的图象与反比例函数 y=kx 的图象在第一象限的一个交点为 A1,m，与 y 轴交于 B 点(1) 求反比例函数 y=kx 的表达式；(2) 若点 P 在 x 轴上，且满足 SPOB=SAOB，求此时点 P 的坐标9. 正比例函数 y

5、=k1x 和反比例函数 y=k2x，（k1k20）的图象交于点 A0.5,2 和点 B(1) 求图象的另一交点 B 的坐标；(2) 在 x 轴上找一点 P，使 APB 的面积等于 4，写出点 P 的坐标10. 如图，直线 y=axa0 与双曲线 y=kxk0x0 相交于点 A3,4，P 是 x 轴上的一个动点，点 P 的坐标为 5t,0t0，过点 P 作 PQOA，垂足为 Q(1) 求 a 和 k 的值(2) 用含 t 代数式表示点 Q 的坐标(3) 如果将 OPQ 绕点 P 顺时针旋转 90，使得旋转后 OPQ 的顶点 O 或 Q 落在双曲线上，求 t 的值11. 如图，已知直线 y=kx+

6、b 与反比例函数 y=mxx0 的图象交于 A1,4，B4,1 两点，与 x 轴交于 C 点(1) 求一次函数与反比例函数的解析式(2) 根据图象直接回答：在第一象限内，当 x 取何值时，一次函数值大于反比例函数值？(3) 点 P 是 y=mxx0 图象上的一个动点，作 PQx 轴于 Q 点，连接 PC，当 SCPQ=12SCAO 时，求点 P 的坐标12. 已知平面直角坐标系中，O 是坐标原点，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=4x 的图象交于点 Am,2，B1,n(1) 求 m，n 的值；(2) 求一次函数的表达式；当 kx+b4x，直接写出 x 的取值范围；(3) 点 P

7、是 x 轴上一点，当 OAP 和 OAB 的面积相等时，求 P 点的坐标13. 如图，直线 y=ax+b 与 x 轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B0,2，与反比例函数 y=kxx0 的图象交于点 Cm,1(1) 求直线和反比例函数的表达式(2) 结合图象，请直接写出不等式 kxax+b 的解集(3) 连接 OC，在 x 轴上找一点 P，使 OPC 是以 C 为腰的等腰三角形，请求出点 P 的坐标14. 如图，直线 y=kx+b 与 x 轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B0,2，与反比例函数 y=kxx0 的图象交于点 Cm,1(1) 求直线和反比例函数的表达式(2) 结合图象，请

8、直接写出不等式 kxax+b 的解集(3) 连接 OC，在 x 轴上找一点 P，使 OPC 是以 OC 为腰的等腰三角形，请求出点 P 的坐标15. 如图在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y1=4xx0 的图象与一次函数 y2=kxk 的图象的交点为 Am,2(1) 求一次函数的解析式；(2) 观察图象，直接写出使 y1y2 的 x 的取值范围；(3) 设一次函数 y2=kxk 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足 PAB 的面积是 4，请写出点 P 的坐标16. 如图，直线 l 的解析式为 y=13x+73，与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，双曲线

9、y=kxx0 与直线 l 交于 EF 两点，点 E 的横坐标为 1(1) 求 k 的值及 F 点的坐标；(2) 连接 OE，OF，求 EOF 的面积；(3) 若点 P 是 EF 下方双曲线上的动点（不与 E，F 重合），过点 P 作 x 轴，y 轴的垂线，分别交直线 l 于点 M，N，求 BMAN 的值17. 如图，反比例函数 y1=kx 的图象与一次函数 y2=14x 的图象交于点 A，B，点 B 的横坐标实数 4，点 P1,m 在反比例函数 y1=kx 的图象上(1) 求反比例函数的表达式；(2) 观察图象回答：当为何范围时，y1y2；(3) 求 PAB 的面积18. 如图，一次函数 y=

10、kx+bk0 的图象与反比例函数 y=mxm0 的图象交于二、四象限内的 A，B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为 3,4，点 B 的坐标为 6,n(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式；(2) 连接 OB，求 AOB 的面积；(3) 在 x 轴上是否存在点 P，使是 APC 直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y=mx 的 图象经过点 A2,2(1) 分别求这两个函数的表达式；(2) 将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于 B，与反比例函数图象在第一象限内的交点

11、为 C，连接 AB，AC，求点 C 的坐标及 ABC 的面积；(3) 反比例函数图象上是否存在点 D，使 DCBC？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由20. 已知反比例函数 y=2x 的图象和一次函数的图象交于 A，B 两点，点 A 的横坐标为 1，点 B 的纵坐标为 1(1) 求这个一次函数的表达式(2) 若点 Pm,n 在反比例函数的图象上，且 P 点关于 x 轴的对称点 Q 恰好落在一次函数的图象上，求 m2+n2 的的值(3) 若 Mx1,y1，Nx2,y2 是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足 x2x1=2，y1+y2=3，求三角形 MON 的面积答案1. 【答案

12、】(1) 因为 ACx 轴，A1,m，SOAC=2，所以 121m=2，所以 m=4，所以 A1,4又因为点 A 在反比例函数 y=kx 上，所以 k=14=4，所以反比例函数的表达式为 y=4x又因为点 B 在反比例函数 y=4x 上，所以 4n=4，n=1，所以 B4,1，把 A，B 两点坐标代入 y=ax+b，得 a+b=4,4a+b=1, 所以 a=1,b=5, 所以一次函数的表达式为 y=x+5(2) 0x42. 【答案】(1) x2 或 x0(2) CDy 轴于点 D，CD=2， C 点的横坐标为 2把 x=2 代入反比例函数 y=10x，得 y=102=5， C2,5设直线 AC

13、 的解析式为 y=kx+b，把 B0,52，C2,5 代入，得 b=52,2k+b=5, 解得 k=54,b=52. 直线 AC 的解析式为 y=54x+52，令 y=54x+52=0，解得 x=2 A2,0， PQx 轴，点 Q 在反比例函数 y=10x 的图象上， SPOQ=1210=5 SPAC:SPOQ=2， SPAC=10，则 12PAyc=10， PA=2105=4， 6,0 或 2,0【解析】(1) 当 y=5 时，x=10y=2，观察图形可知：y5 时，x2 或 x0 的函数表达式为 y=209x6. 【答案】(1) 过点 A 作 ADx 轴于点 D，如图 1 OAB=90，A

14、O=AB=4， SAOB=1244=8， OD=DB， SAOD=12SAOB=4， k=2SAOD=8， y=8x答：反比例函数的表达式为 y=8x(2) 当边 AB 的中点 C 在 y=8x 的图象上，如图 2， OAB=90，AO=AB=4， A22+m,22，B42+m,0，C32+m,2， 32+m2=8， m=2；当边 AO 的中点 E 在 y=8x 的图象上，过点 A 作 ADx 轴于点 D，如备用图， Om,0，Am+22,22， 中点 Em+2,2， m+22=8， m=32综上所述：符合条件的 m 的值有 2 或 327. 【答案】(1) 设反比例函数的解析式为 y=kx，

15、且过 A2,5， k=25=10 反比例函数的解析式为 y=10x(2) 设点 Cm,10m， ABC 的面积为 20， 20=125m2， m=10， 点 C10,18. 【答案】(1) 一次函数 y=x+32 的图象经过点 A1,m，得 m=1+32=52，将 1,52 代入 y=kx，得 k=52， 反比例函数的表达式为 y=52x(2) 由条件得 OB=32， SAOB=12132=34设点 Px,0，则 OP=x，由 SPOB=SAOB，得 12x32=34，解得 x=1， 点 P 的坐标为 1,0 或 1,09. 【答案】(1) 点 B 的坐标为 0.5,2(2) P2,010.

16、【答案】(1) 因为直线 y=axa0 与双曲线 y=kxk0x0 相交于点 A3,4，所以 3a=4，4=k3，所以 a=43，k=12(2) 过点 A 作 AB 轴于点 B，过点 Q 作 QC 轴于点 C，因为 PQOA，所以 ABO=PQO=90，又 AOB=POQ，所以 AOBPOQ，所以 ABPQ=OBOQ=OAOP，因为 A3,4，P5t,0，所以 OB=3，AB=4，OP=5t，所以 OA=OB2+AB2=5，所以 4PQ=3OQ=55t，所以 PQ=4t，OQ=3t，因为 SOPQ=12OQPQ=12OPCQ，所以 CQ=3t4t5t=125t，所以 OC=OQ2CQ2=95t

17、，所以点 Q 的坐标为 95t,125t(3) 设 OPQ 旋转后点 O 的对应点为 O，点 Q 的对应点为 Q，因为 OPO=90，OP=OP=5t，所以 O5t,5t，过点 Q 作 Q Dx 轴于点 D，则 QDP=PCQ=90， QPD+PQD=90，因为 QPQ=90，所以 QPD+QPC=90，所以 PQD=QPC又 QP=PQ，所以 QDPPCQ，所以 QD=PC=OPOC=5t95t=165t，DP=CQ=125t，所以 OD=OP+DP=5t+125t=375t，所以 Q375t,165t，当点 O 落在双曲线 y=12xx0 上时，5t=125t，解得 t=235（负值舍去）

18、，当点 O 落在双曲线 y=12xx0 上时，165t=12375t，解得 t=511174（负值舍去），综上所述，t 的值为 235 或 51117411. 【答案】(1) 把 A1,4 代入 y=mxx0，得 m=14=4， 反比例函数为 y=4x；把 A1,4 和 B4,1 代入 y=kx+b 得 k+b=4,4k+b=1, 解得：k=1,b=5, 一次函数为 y=x+5(2) 1x4 (3) 设 Pm,4m，由一次函数 y=x+5 可知 C5,0， SCAO=1254=10， SCPQ=12SCAO， SCPQ=5， 125m4m=5，解得 m=107 或 m=103（舍去）， P10

19、7,14512. 【答案】(1) 点 Am,2，B1,n 在反比例函数 y=4x， 2m=n=4， m=2，n=4(2) 一次函数 y=kx+b 的图象过点 Am,2，B1,n， 2k+b=2,k+b=6, k=2,b=2, 一次函数的表达式为：y=6x2；当 kx+b4x 时，x4 或 1x0(3) 由直线 y=2x2 可知，D0,2， SAOB=3227+1231=3设 Pm,2， OAP 和 OAB 的面积相等，则 SOAP=12m7=3，解得 m=67， P67,0 或 67,013. 【答案】(1) 将 A4,0，B0,2 代入 y=ax+b，得：4a+b=0,b=2, 解得：a=1

20、2,b=2, 直线 AB 的函数表达式为 y=12x2，当 y=1 时，12m2=1， 点 C 的坐标为 6,1，将 C6,1 代入 y=kx，得：1=k6，解得：k=6， 反比例函数的表达式为 y=6x(2) 0x6(3) 过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D 点，则 OD=6，CD=1， OC=OD2+CD2=37， OC 为腰， 分两种情况考虑，如图所示：当 OP=OC 时， OC=37， OP=37， 点 P1 的坐标为 37,0，点 P2 的坐标为 37,0；当 CO=CP 时，DP=DO=6， OP=2OD=12， 点 P3 的坐标为 12,0【解析】(2) 观察函数图象，可知：当

21、 0x6 时，反比例函数 y=6x 的图象在直线 y=12x2 的上方， 不等式 kxax+b 的解集为 0x614. 【答案】(1) 将 A4,0，B0,2 代入 y=ax+b，得： 4a+b=0,b=2, 解得：a=12,b=2, 直线 AB 的函数表达式为 y=12x2把 Cm,1，代入 y=12x2 中，得 12m2=1， m=6， C6,1，把 C6,1 代入 y=kx 中，得 k=61=6， 反比例函数解析式 y=6x(2) 观察图象可知 kxax+b 的解集为 00 得，m=2，则 A 点坐标为 A2,2，将 A2,2 代入 y2=kxk 得，2kk=2，解得 k=2，则一次函数

22、解析式为 y=2x2(2) 0x2(3) 一次函数 y2=2x2 与 x 轴的交点为 C1,0，与 y 轴的交点为 B0,2， SABP=SACP+SBPC， 122CP+122CP=4，解得 CP=2，则 P 点坐标为 3,0，1,0【解析】(2) A2,2， 当 00 中，得 k=12=2， 双曲线的解析式为 y=2xx0. 联立解得 x=1,y=2（点 E 的纵横坐标）或 x=6,y=13. F6,13(2) 针对于直线 y=13x+73，令 x=0，则 y=73， B0,73， OB=73，令 y=0，则 0=13x+73， x=7， A7,0， OA=7，如图，连接 OE，OF，由（

23、1）知，E1,2，F6,13， SEOF=SAOBSBOESAOF=127371273112713=356. (3) 如备用图由（2）知，OA=7，OB=73， AB=OA2+OB2=7103， 点 P 在双曲线 y=2x1x7 上， 设 Pm,2m1my2，所以反比例函数图象位于正比例函数图象上方，所以 x4 或 0x4(3) 过点 A 作 ARy 轴于 R，过点 P 作 PSy 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图，因为点 A 与点 B 关于原点对称，所以 OA=OB，所以 SMOP=SBOP，所以 SPAB=2SAOP y1=4x 中，当 x=1 时，y=4，所以

24、P1,4设直线 AP 的函数关系式为 y=mx+n，把点 A4,1，P1,4 代入 y=mx+n，则 4m+n=1,m+n=4, 解得 m=1，n=3故直线 AP 的函数关系式为 y=x+3，则点 C 的坐标 0,3，OC=3，所以 SAOP=SAOC+SPOC=12OCAR+12OCPS=1234+1231=152，所以 SPAB=2SAOP=1518. 【答案】(1) 将 A3,4 代入 y=mx，得 m=34=12， 反比例函数的解析式为 y=12x；将 B6,n 代入 y=12x，得 6n=12，解得 n=2， B6,2，将 A3,4 和 B6,2 分别代入 y=kx+bk0，得 3k

25、+b=46k+b=2, 解得 k=23b=2, 所求的一次函数的解析式为 y=23x+2；(2) 当 y=0 时，23x+2=0，解得：x=3， C3,0， SAOC=1234=6，SBOC=1232=3， SAOB=6+3=9；(3) 存在过点 A 作 AP1x 轴于 P1，AP2AC 交 x 轴于 P2，如图， AP1C=90， A 点坐标为 3,4， P1 点的坐标为 3,0， P2AC=90， P2AP1+P1AC=90，而 AP2P1+P2AP1=90， AP2P1=P1AC， RtAP2P1RtCAP1， AP1CP1=P1P2AP1，即 46=P1P24， P1P2=83， OP

26、2=3+83=173， P2 点的坐标为 173,0， 满足条件的 P 点坐标为 3,0 、 173,019. 【答案】(1) 若将 A2,2 代入 y=kx，所以 2k=2，所以 k=1，所以正比例函数的解析式为：y=x将 A2,2 代入 y=mx，所以 m=22=4，所以反比例函数的解析式为：y=4x；(2) 因为直线 BC 由直线 OA 向上平移 3 个单位所得，所以 B0,3，所以直线 BC 的解析式为：y=x+3，联立 y=x+3,y=4x, 解得：x=1,y=4, 或 x=4,y=1, 因为点 C 在第一象限，所以点 C 的坐标为 1,4，因为 OABC，所以 SABC=SBOC=

27、1231=32(3) 设 Dm,4m，因为 DCBC，所以 kDCkBC=1，因为 kDC=4m4m1=4m，所以 4m1=1所以 m=4，所以 D4,120. 【答案】(1) 反比例函数 y=2x 的图象和一次函数的图象交于 A，B 两点，点 A 的横坐标是 1，点 B 的纵坐标是 1， A1,2，B2,1，设一次函数的表达式为 y=kx+b，把 A1,2，B2,1 代入，得：k+b=2,2k+b=1, 解得 k=1,b=3, 这个一次函数的表达式为 y=x3(2) 点 Pm,n 与点 Q 关于 x 轴对称， Qm,n， 点 Pm,n 在反比例函数图象上， mn=2， 点 Q 恰好落在一次函数的图象上， n=m3，即 n=m+3， mm+3=2， m2+3m=2， m2+n2=m2+m+32=2m2+6m+9=2m2+3m+9=22+9=13. (3) 如图，过 M 作 MGx 轴于 G，过 N 作 NHx 轴于 H， Mx1,y1，Nx2,y2 是反比例函数 y=2x 在第一象限图象上的两点， SMOG=SNOH=12k=1 x2x1=2，y1+y2=3， SMON=SMOG+SMNHGSNOH=SMNHG=12y1+y2x2x1=3. 学科网（北京）股份有限公司