专题五 一元二次方程 学案-九年级中考数学一轮复习.docx
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1、专题五 一元二次方程知识梳理讲解一:一元二次方程及其解法一、一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.一般形式一般形式项及项的系数二次项为;二次项系数为一次项为;一次项系数为常数项为特点方程左边是关于未知数的二次整式,方程右边为01.是一元二次方程的前提为2.判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断,如不是一元二次方程二、一元二次方程的解法使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解法有以下四种:类别适用情况步骤直接开平方法形如的方程两边开方;移
2、项、系数化为1,求方程的解因式分解法方程化为一般形式后,左边能够分解因式移:将方程右边化为0;分:将方程左边分解成两个一次因式积的形式;解:令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程并求解配方法所有一元二次方程化:将二次项系数化为1;移:将常数项移到等号右边;配:方程两边同时加上一次项系数一半的平方解:开平方求解公式法所有一元二次方程化:将方程化为一般形式,并确定的值;代:代入求根公式()1.将方程化为一般形式后,若,则方程无解.2.用配方法时,将二次项系数化为1后,若一次项系数为偶数,则优先考虑运用配方法.(求解方法掌握不牢的,可以看下面的详细讲解)直接开平方法解一元二次方程1.直接开平方法:
3、利用平方根的意义直接开平方,求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.2.方程的根(1)当时,根据平方根的意义,方程有两个不相等的实数根(2)当时,方程有两个相等的实数根(3)当时,因为对任意实数x,都有,所以方程无实数根.【注意】(1)直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程.(2)若,则x为p的平方根,即,切记不要漏掉负的平方根.(3)因为负数没有平方根,所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数,即.因式分解法解一元二次方程1.因式分解法:先对方程的左边因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解
4、法.2.用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)移项:将方程化为一般式;(2)分解:将方程的左边分解为两个一次式的乘积;(3)转化:令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;(4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是医院二次方程的解.【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如,若约去x,则会导致丢掉这个根.3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型常见类型因式分解为方程的解(a,b为常数)配方法解一元二次方程1.配方法:把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式,进而用直接开平方法求解,这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.2.可化为的形式
5、的一元二次方程的根(1)当时,方程有两个不相等的实数根;(2)当时,方程有两个相等的实数根;(3)当时,因为对任意实数x,都有,所以方程无实数根.3.用配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤方法示例一移移项将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边.二化二次项系数化为1左右两边同时除以二次项系数三配配方左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即四开开平方求根利用平方根的意义直接开平方【注意】配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法,其实质是对一元二次方程进行变形,使其转化为能够直接开平方的方程形式,从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根
6、公式:当时,方程的实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.2.公式法:解一个具体的一元二次方程时,把各项系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.3.用公式法解一元二次方程的步骤(1)整理方程:将方程整理为的形式,找到公式中的,要注意的符号.(2)计算根的判别式:将的值代入计算,并判断的符号.(3)求根:当时,方程有两个不相等的实数根,即;当时,方程有两个相等的实数根,即;当时,方程无实数根.【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法,它适用于所有一元二次方程,但不一定是最高效的解法.典型例题1.(2022.山东枣庄)已知和均是以x为
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