中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合.docx

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1、中考数学高频考点突破反比例函数与四边形综合1. 如图，直线 l：y=12x+m 与 y=3x（x0）的图象交于点 A1,a，直线 l 与反比例函数 y=2x（x0 的图象交于点 C，且 AB=BC(1) 求点 C 的坐标和反比例函数 y2 的解析式；(2) 点 P 在 x 轴上，反比例函数 y2 图象上存在点 M，使得四边形 BPCM 为平行四边形，求平行四边形 BPCM 的面积3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y=kx 经过平行四边形 ABCD 的顶点 B，D点 D 的坐标为 2,1，点 A 在 y 轴上，且 ADx 轴，S平行四边形ABCD=6(1) 填空：点 A 的坐标为

2、 (2) 求双曲线和 AB 所在直线的解析式4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 与菱形 ADEF 在第一象限，点 F 在 AB 上，且边 OA，AD 在 x 轴上若反比例函数 y=kxx0,k0 的图象分别过边 OC，AF 的中点 M 和 N，已知菱形 OABC 的边长为 4，且 AOC=60(1) 求反比例函数的解析式(2) 求 AD 的长5. 如图，矩形 ABCD 的两边 AD，AB 的长分别为 3，8，且 B，C 在 x 轴的负半轴上，E 是 DC 的中点，反比例函数 y=mxx0 的图象交于点 Ba,4(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；(2) 设 M 是直线 AB 上

3、一点，过 M 作 MNx 轴，交反比例函数 y=kxx0 的图象于点 N，若以 A，O，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的横坐标7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A，C 在反比例函数 y=kx 图象上，直线 AC 交 OB 于点 D，交 x，y 正半轴于点 E，F，且 OE=OF=32(1) 求 OB 的长；(2) 若 AB=10，求 k 的值8. 这如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 O 为正方形 ABCD 对角线的交点，且正方形 ABCD 的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB=4(1) 如果反比例函数 y=kx 的图象经过点 A，求这个反比例函数的表达

4、式；(2) 如果反比例函数 y=kx 的图象与正方形 ABCD 有公共点，请直接写出 k 的取值范围9. 在平面直角坐标系中，已知点 A，B 的坐标分别为 2,0，0,1，把点 A 绕坐标原点 O 顺时针旋转 135 得点 C，若点 C 在反比例函数 y=kx 的图象上(1) 求反比例函数的表达式(2) 若点 D 在 y 轴上，点 E 在反比例函数 y=kx 的图象上，且以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是平行四边形，请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点 D，E 的坐标10. 如图，已知直线 y=12x 与双曲线 y=kxk0 交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4(

5、1) 求 k 的值；(2) 若双曲线 y=kxk0 上一点 C 的纵坐标为 8，求 AOC 的面积；(3) 过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y=kxk0 于 P，Q 两点（P 点在第一象限），若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标11. 如图，在矩形 ABCO 中，点 O 为坐标原点，点 A，C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA 比 OC 大 2，比 AC 小 2反比例函数 y=kxk0,x0 的图象经过矩形对角线 AC，BO 的交点 D(1) 求 OA 的长和此反比例函数的表达式；(2) 若反比例函数 y=mxm0,x0 的图象经过矩形 AB

6、CO 边 BC 的中点；求 m 的值；在双曲线 y=mxm0,x0 上任取一点 G，过点 G 作 GEx 轴于点 E，交双曲线 y=kxm0,x0 于 F 点，过点 G 作 GKy 轴于点 K，交双曲线 y=kxm0,x0 于 H 点求 GHF 的面积12. 解答下列问题(1) 下列关于反比例函数 y=6x 的性质，描述正确的有 （填所有描述正确的选项）Ay 随 x 的增大而减小B图象关于原点中心对称C图象关于直线 y=x 成轴对称D把双曲线 y=6x 绕原点逆时针旋转 90 可以得到双曲线 y=6x (2) 如图，直线 AB，CD 经过原点且与双曲线 y=6x 分别交于点 A，B，C，D，点

7、 A，C 的横坐标分别为 m，nmn0，连接 AC，CB，BD，DA判断四边形 ACBD 的形状，并说明理由；当 m，n 满足怎样的数量关系时，四边形 ACBD 是矩形？请直接写出结论；若点 A 的横坐标 m=3，四边形 ACBD 的面积为 S，求 S 与 n 之间的函数表达式13. 阅读理解：如图，在平面直角坐标系中，若已知点 AxA,yA 和点 CxC,yC，点 M 为线段 AC 的中点，利用三角形全等的知识，有 AMPCMQ，则有 PM=MQ，PA=QC，即 xMxA=xCxM，yAyM=yMyC，从而有 xM=xA+xC2,yM=yA+yC2, 即中点 M 的坐标为 xA+xC2,yA

8、+yC2(1) 基本知识：如图，若 A，C 点的坐标分别 A1,3，C3,1，求 AC 中点 M 的坐标；(2) 方法提炼：（1）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，C 的坐标分别为 1,5，2,2，3,3，求点 D 的坐标；（2）如图，点 A 是反比例函数 y=8xx0 上的动点，过点 A 作 ABx 轴，ACy 轴，分别交函数 y=2xx0 的图象于点 B，C，点 D 是直线 y=2x 上的动点，请探索在点 A 运动过程中，以 A，B，C，D 为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点 A 的坐标；若不能，请说明理由14. 回答下列问题：(1) 如图，已知

9、点 A，B 在双曲线 y=kxx0 上，ACx 轴与 C，BDy 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，点 B 的横坐标为 bA 与 B 的坐标分别为 、 （用 b 与 k 表示），由此可以猜想 DP 与 BP 的数量关系是 (2) 四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 y=mx 与 y=nxx0,0m0 相交于点 A，B，点 C 在 x 轴正半轴上，点 D1,2，连接 OA，OD，DC，AC，四边形 AODC 为菱形(1) 求 k 和 m 的值(2) 根据图象，直接写出反比例函数的值小于 2 时 x 的取值范围是 (3) 设点 P 是 y 轴上一动点，若 OA

10、P 面积记为 SOAP=S菱形OACD，求点 P 的坐标（其中 OAP 的面积记为 SOAP，菱形 OACD 的面积记为 S菱形OACD）16. 请回答下列问题(1) 如图，已知点 A，B 在双曲线 y=kxx0 上，ACx 轴于 C，BDy 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，点 B 的横坐标为 bA 与 B 的坐标分别为 ， （用 b 与 k 表示），由此可以猜想 AP 与 CP 的数量关系是 (2) 四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 y=mx 与 y=nxx0,0m1，x0）的图象经过点 Pm,1 和 Q1,m，直线 PQ 与 x 轴，y 轴分别交于

11、 C，D 两点(1) 求 OCD 的度数(2) 如图 2，连接 OQ，OP，当 DOQ=OCDPOC 时，求此时 m 的值(3) 如图 3，点 A，点 B 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上的动点，再以 OA，OB 为邻边作矩形 OAMB，若点 M 恰好在函数 y=mx（m 为常数，m1，x0）的图象上，且四边形 BAPQ 为平行四边形，求此时 OA，OB 的长度19. 如图，已知一次函数 y1=32x3 的图象与反比例函数 y2=kx 第一象限内的图象相交于点 A4,n，与 x 轴相交于点 B(1) 求 n 和 k 的值；(2) 观察反比例函数 y2=kx 的图象，当 x2 时，请直接写出 y

12、2 的取值范围；(3) 如图，以 AB 为边作菱形 ABCD，使点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在第一象限，双曲线交 CD 于点 E，连接 AE，BE，求 SABE20. 如图 1，一次函数 y=kx4k0 的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y=12xx0 的图象上， k=8， 反比例函数 y2 的解析式 y2=8x(2) 连接 MP 与 BC 交于 G， 四边形 BPCM 为平行四边形， G 为 BC，MP 的中点，由 BG=CG，则 G2,32，设 Mm,8m，Pn,0，由 MG=PG， 8m=3，m=83，n=43，即 P43,0， SBPC=SAPCSAPB=83， 平行四

13、边形 BPCM 的面积 =2SBPC=1633. 【答案】(1) 0,1 (2) 双曲线 y=kx 经过点 D2,1， k=21=2， 双曲线为 y=2x， D2,1，ADx 轴， AD=2， S平行四边形ABCD=6， AE=3， OE=2， B 点纵坐标为 2，把 y=2 代入 y=2x 得，2=2x，解得 x=1， B1,2，设直线 AB 的解析式为 y=ax+b，代入 A0,1，B1,2 得 b=1,a+b=2, 解得 a=3,b=1, AB 所在直线的解析式为 y=3x+1【解析】(1) 点 D 的坐标为 2,1，点 A 在 y 轴上，且 ADx 轴， A0,14. 【答案】(1)

14、过 M 点作 MHx 轴，交于 H 点，如图所示： 菱形 OABC 的边长为 4，M 为 OC 的中点 OM=2，在 RtMOH 中，MOH=60，sin60=MHOM， MH=3，OH=1 M1,3， k=3 反比例函数的解析式为：y=3x(2) 设 AD=2a，过 N 作 NGx 轴，交于 G 点，如图所示：由题意可知：NA=a，NG=32a，AG=12a N4+12a,32a， 4+12a32a=3，化简得 a2+8a4=0，解得：a=254 a0， a=254， AD=4585. 【答案】(1) AD，AB 的长分别为 3，8，E 是 DC 的中点， BC=3，CD=8，又 E 是 D

15、C 的中点，点 B 坐标为 6,0， CE=4，CO=63=3， E3,4，又 反比例函数 y=mxx0 的图象上， m2m+2=8 或 m+2m+2=8，解得：m1=23，m2=23（舍去），m3=222，m4=222（舍去）， 点 M 的横坐标为 23 或 2227. 【答案】(1) OE=OF=32， EF=OE2+OF2=6，OEF=OFE=45， 四边形 OABC 为菱形， OA=AB=BC=OC，OBAC，DO=DB， DOE 为等腰三角形， DO=DE=12EF=3， OB=2DO=6(2) 如图，过点 A 作 ANOE，垂足为 N，则 ANE 为等腰直角三角形， AN=NE，设

16、 AN=x，则 NE=x，ON=32x，在 RtAON 中，由勾股定理可得：32x2+x2=102，解得：x1=22，x2=2，当 x1=22 时，A 点坐标为：22,2，C 点坐标为：2,22；当 x2=2 时，C 点坐标为：22,2，A 点坐标为：2,22； k=222=48. 【答案】(1) 由题意，得 A2,2 反比例函数 y=kx 的图象经过点 A， k=4 反比例函数的表达式 y=4x(2) 0k4 或 4k0 的交点， k=42=8(2) 解法一：如图 点 C 在双曲线上，当 y=8 时，x=1， 点 C 的坐标为 1,8过点 A，C 分别做 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 M，N

17、，得矩形 DMON S矩形ONDM=32，SONC=4，SCDA=9，SOAM=4 SAOC=S矩形ONDMSONCSCDASOAM=32494=15(3) 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形， OP=OQ，OA=OB 四边形 APBQ 是平行四边形 SPOA=14S平行四边形APBQ=1424=6设点 P 横坐标为 m（m0 且 m4），得 Pm,8m过点 P，A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E，F， 点 P，A 在双曲线上， SPQE=SAOF=4若 0m4，如图 SAOF+S梯形AFEP=SAOP+SPOE， S梯形PEFA=SPOA=6 122+8mm4=6，解得 m=8，

18、m=2（舍去） P8,1 点 P 的坐标是 P2,4 或 P8,1【解析】(2) 解法二：如图，过点 C，A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E，F 点 C 在双曲线 y=8x 上，当 y=8 时，x=1， 点 C 的坐标为 1,8 点 C，A 都在双曲线 y=8x 上， SCOE=SAOF=4 SCOE+S梯形CEFA=SCOA+SAOF SCOA=S梯形CEFA S梯形CEFA=122+83=15， SCOA=1511. 【答案】(1) 设 OA=m，则 OC=m2，AC=m+2， AC2=OA2+OC2， m+22=m2+m22，解得 m1=8，m2=0（舍去）， OA=8，OC=6， A

19、8,0，C0,6， 矩形对角线 AC，BO 的交点 D， D4,3， 反比例函数 y=kxk0,x0 的图象经过点 D， k=43=12， 此反比例函数的表达式为 y=12x(2) OA=8，OC=6， B8,6， BC 的中点为 4,6，AB 的中点为 8,3， 反比例函数 y=mxm0,x0 的图象经过矩形 ABCO 边 BC 的中点， m=46=24；如图，设 Ga,24a，则 Fa,12a，H12a,24a， SGFH=12GHGF=1212a24a12a=3. 12. 【答案】(1) BCD(2) 四边形 ACBD 为平行四边形，理由如下： 直线 AB，CD 经过原点且与双曲线 y=

20、6x 分别交于点 A，B，C，D，双曲线 y=6x 的图象关于原点中心对称， 点 A，B 关于原点对称，点 C，D 关于原点对称， OA=OB，OC=OD， 四边形 ACBD 为平行四边形当 mn=6 时，四边形 ACBD 是矩形当 m=3 时，点 A 的坐标为 3,2过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴于点 F，过点 C 作 CMx 轴于点 M，如图所示 点 C 的坐标为 n,6n， OM=n，ME=3n，CM=6n， SOAC=S矩形OMCF+S梯形CMEASOCFSOAE=6+126n+23n126126=9nn. 四边形 ACBD 为平行四边形， S=4SOAC=

21、36n4n【解析】(1) 60， 在同一象限内，y 随 x 的增大而减小，A不符合题意； y=6x 为反比例函数， 函数 y=6x 的图象关于原点中心对称，函数 y=6x 的图象关于直线 y=x 成轴对称，B，C符合题意；设点 a,6a 为反比例函数 y=6x 上任意一点， 将该点绕原点逆时针旋转 90 得到的点的坐标为 6a,a，6aa=6， 把双曲线 y=6x 绕原点逆时针旋转 90 可以得到双曲线 y=6x，D符合题意(2) （方法一）当 ACB=90 时，四边形 ACBD 是矩形 点 A，C 的横坐标分别为 m，nmn0， 点 A 的坐标为 m,6m，点 C 的坐标为 n,6n， 点

22、B 的坐标为 m,6m，点 D 的坐标为 n,6n， AC2=nm2+6n6m2=m2+n2+2mn+36m2+36n272mn， BC2=nm2+6n6m2=m2+n2+2mn+36m2+36n2+72mn， AB2=mm2+6m6m2=4m2+144m2 ACB=90， AC2+BC2=AB2，即 m2+n2+2mn+36m2+36n272mn+m2+n2+2mn+36m2+36n2+72mn=4m2+144m2， m2+36m2=n2+36n2， m2n2=36m2n2m2n2又 mn0， m2n2=36， mn=6， 当 mn=6 时，四边形 ACBD 是矩形（方法二）当 OA=OC

23、时，四边形 ACBD 是矩形 点 A，C 的横坐标分别为 m，nmn0， 点 A 的坐标为 m,6m，点 C 的坐标为 n,6n， m2+36m2=n2+36n2， m2+36m2=n2+36n2， m2n2=36m2n2m2n2又 mn0， m2n2=36， mn=6， 当 mn=6 时，四边形 ACBD 是矩形13. 【答案】(1) 将 A，C 点的坐标代入中点坐标公式，得 xM=1+32=1，yM=3+12=1， AC 中点 M 的坐标 1,1(2) （1）连接 AC，BD 交于点 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， M 是 AC 与 BD 的中点，将 A1,5，C3,3 代入 xM

24、=xA+xC2,yM=yA+yC2, 解得 xM=1,yM=4, 即点 M 的坐标为 1,4，设点 D 的坐标为 xD,yD，由中点坐标公式，得 xM=xB+xD2,yM=yB+yD2, 解得 xD=4,yD=6, 即点 D 的坐标为 4,6；（2）设 Aa,8a，则 Ba4,8a，Ca,2a，当 AB 为对角线时，有 xA+xB=xC+xD,yA+yB=yC+yD, 即 a+a4=a+xD,8a+8a=2a+yD, 解得 xD=a4,yD=14a, 将 Da4,14a 代入 y=2x 解得 a=27， A27,477当 AC 为对角线时，有 xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD,

25、即 a+a=a4+xD,8a+2a=8a+yD, 解得 xD=74a,yD=2a, 将 D74a,2a 代入 y=2x 解得 a=277， A277,47；当 AD 为对角线时，有 xA+xD=xB+xC,yA+yD=yB+yC, 即 a+a4=a+xD,8a+2a=8a+yD, 解得 xD=a4,yD=2a, 将 Da4,2a 代入 y=2x 解得 a=2， A2,4，综上所述：点 A 的坐标为 27,477，277,47，2,414. 【答案】(1) A12b,2kb；Bb,kb；DP=BP (2) 当 x=4 时，y=4x=1， 点 B 的坐标为 4,1；当 x=4 时，y=20x=5，

26、 D4,5， 点 P 为线段 AC 的中点，设 Aa,4a，则 C5a,4a， PA=PC， a+5a2=4， a=43， A43,3，C203,3， 点 P 的坐标为 4,3， PB=PD=1， 四边形 ABCD 为平行四边形又 BDAC， 四边形 ABCD 为菱形 m+n=32【解析】(1) ACx 轴于 C，BDy 轴于点 D ACBD，由题意 Bb,kb，A12b,2kb， PD=12b，BD=b， BD=2PD， DP=BP(2) 四边形 ABCD 能成为正方形当四边形 ABCD 为正方形时，设 PA=PB=PC=PD=tt0当 x=4 时，y=mx=m4， 点 B 的坐标为 4,m

27、4， 点 A 的坐标为 4t,m4+t 点 A 在反比例函数 y=mx 的图象上， 4tm4+t=m，化简得：t=4m4， 点 D 的纵坐标为 m4+2t=m4+24m4=8m4， 点 D 的坐标为 4,8m4， 48m4=n，整理，得：m+n=32即四边形 ABCD 能成为正方形，此时 m+n=3215. 【答案】(1) 如图，连接 AD，交 x 轴于点 E， 四边形 AODC 是菱形，D1,2， OE=1，ED=2， AE=DE=2，EC=OE=1， A1,2将 A1,2 代入直线 y=mx+1 可得 m+1=2，解得 m=1，将 A1,2 代入反比例函数 y=kx，可得 2=k1，解得

28、k=2(2) x1 (3) OC=2，AE=2， S菱形OACD=212OCAE=4， SOAP=S菱形OACD=4设 P 点坐标为 0,y，则 OP=y， 12y1=4，解得 y=8， P 点坐标为 0,8 或 0,8【解析】(2) 当 y=2 时，2=2x，x=1，如图所示观察图象可得，当函数值小于 2，即 y2 时， x 的取值范围是 x116. 【答案】(1) b2,2kb；b,kb；相等(2) 点 B 的横坐标为 4，m=4，n=20， yB=44=1，yD=204=5， B4,1，D4,5， P 是 BD 中点， P4,3， 点 A，C 的纵坐标为 3， 3=4xA，3=20xC，

29、解得：xA=43，xC=203， A43,3，C203,3， PA=443=83，PC=2034=83， PA=PC， PB=PD，BDAC， 四边形 ABCD 为菱形能，m+n=32【解析】(1) 点 B 在反比例函数 y=kx 图象上，点 B 横坐标为 b， y=kx，即 Bb,kb， ACx 轴，BDy 轴，AC，BD 交于点 P， P 点纵坐标为 kb， 点 P 为 AC 中点， AP=PC，点 A 的纵坐标为 2kb， 点 A 在 y=kx 图象上， 2kb=kb，解得：x=b2， Ab2,2kb(2) 点 B 的横坐标为 4， B4,m4，D4,n4， 点 P 为 BD 中点， P

30、4,m+n8， A8mm+n,m+n8，C8nm+n,m+n8， ABCD 是正方形， AC=BD，即 8nm+n8mm+n=n4m4， m+n=3217. 【答案】(1) BCD(2) 四边形 ACBD 为平行四边形，理由如下： 直线 AB，CD 经过原点且与双曲线 y=6x 分别交于点 A，B，C，D，双曲线 y=6x 的图象关于原点中心对称， 点 A，B 关于原点对称，点 C，D 关于原点对称， OA=OB，OC=OD， 四边形 ACBD 为平行四边形当 mn=6 时，四边形 ACBD 是矩形当 m=3 时，点 A 的坐标为 3,2过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy

31、轴于点 F，过点 C 作 CMx 轴于点 M，如图所示： 点 C 的坐标为 n,6n， OM=n，ME=3n，CM=6n， SOAC=S矩形OMCF+S梯形CMEASOCFSOAE=6+126n+23n126126=9nn. 四边形 ACBD 为平行四边形， S=4SOAC=36n4n【解析】(1) 60， 在同一象限内，y 随 x 的增大而减小，A不符合题意； y=6x 为反比例函数， 函数 y=6x 的图象关于原点中心对称，函数 y=6x 的图象关于直线 y=x 成轴对称，B，C符合题意；设点 a,6a 为反比例函数 y=6x 上任意一点， 将该点绕原点逆时针旋转 90 得到的点的坐标为

32、6a,a，6aa=6， 把双曲线 y=6x 绕原点逆时针旋转 90 可以得到双曲线 y=6x，D符合题意(2) 当 ACB=90 时，四边形 ACBD 是矩形 点 A，C 的横坐标分别为 m，nmn0， 点 A 的坐标为 m,6m，点 C 的坐标为 n,6n， 点 B 的坐标为 m,6m，点 D 的坐标为 n,6n， AC2=nm2+6n6m2=m2+n2+2mn+36m2+36n272mn. BC2=nm2+6n6m2=m2+n2+2mn+36m2+36n2+72mn, AB2=mm2+6m6m2=4m2+144m2 ACB=90， AC2+BC2=AB2，即 m2+n2+2mn+36m2+36n272mn+m2+n2+2mn+36m2+