中考数学高频考点突破——一次函数与四边形综合.docx

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1、中考数学高频考点突破一次函数与四边形综合1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，点 C 在 x 轴的正半轴上，线段 OA，OC 的长分别是 m，n 且满足 m62+n8=0点 D 是线段 OC 上一点，将 AOD 沿直线 AD 翻折，点 O 落在矩形对角线 AC 上的点 E 处(1) 求 OA，OC 的长(2) 求直线 AD 的解析式(3) 点 M 在直线 DE 上，在 x 轴的正半轴上是否存在点 N，使以 M，A，N，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=1

2、2x+3 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 C 在线段 OA 上，将线段 CB 绕着点 C 顺时针旋转 90 得到 CD，此时点 D 恰好落在直线 AB 上，过点 D 作 DEx 轴于点 E(1) 求证：BOCCED ;(2) 如图 2，将 BCD 沿 x 轴正方向平移得 BCD ,当 BC 经过点 D 时，求 BCD 平移的距离及点 D 的坐标；(3) 若点 P 在 y 轴上，点 Q 在直线 AB 上，是否存在以 C，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由3. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M 和点 P（点

3、 P 在 M 内部或 M 上），给出如下定义：如果图形 M 上存在点 Q，使得 0PQ2，那么称点 P 为图形 M 的和谐点已知点 A4,3，B4,3，C4,3，D4,3(1) 在点 P12,1，P21,0，P33,3 中，矩形 ABCD 的和谐点是 ；(2) 如果直线 y=12x+32 上存在矩形 ABCD 的和谐点 P，直接写出点 P 的横坐标 t 的取值范围；(3) 如果直线 y=12x+b 上存在矩形 ABCD 的和谐点 E，F，使得线段 EF 上的所有点（含端点）都是矩形 ABCD 的和谐点，且 EF25，直接写出 b 的取值范围4. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线 y=12x

4、+2 交坐标轴于 A，B 两点以 AB 为斜边在第一象限作等腰直角三角形 ABC，C 为直角顶点，连接 OC(1) 求线段 AB 的长度(2) 求直线 BC 的解析式(3) 如图（2），将线段 AB 绕 B 点沿顺时针方向旋转至 BD，且 ODAD，直线 DO 交直线 y=x+3 于 P 点，求 P 点坐标5. 已知：如图，在平面中直角坐标系 xOy 中，直线 y=34x+6 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A，B 两点，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C(1) 求点 A，B，C 的坐标(2) 点 D6,2 在第四象限，在直线 BC 上是否存

5、在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由(3) 在直线 BC 上存在点 Q，使 QAQO 最大，请直接写出点 Q 的坐标6. 如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在 x 轴上，A 点在 y 轴上，D0,0，B3,4，矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 B 落在 AD 边上的 G 处，E，F 分别在 BC，AB 边上且 F1,4(1) 求 G 点坐标(2) 求直线 EF 解析式(3) 点 N 在坐标轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M，N，F，G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 M 点坐标；若不存在，说明理由7. 在平面

6、直角坐标系中，一次函数 y=3x+6 的图象与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 C，点 D 为直线 AC 上一点，CD=AC，点 B 为 x 轴正半轴上一点，连接 BD，ABD 的面积为 48(1) 如图 1，求点 B 的坐标；(2) 如图 2，点 M，N 分别在线段 BD，BC 上，连接 MN，MB=MN，点 N 的横坐标为 t，点 M 的横坐标为 d，求 d 与 t 的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；(3) 在（2）的条件下，如图 3，连接 AN，BAN=ACO，点 F 为 x 轴正半轴上点 B 右侧一点，点 H 为第一象限内一点，FHNH，NFH=2NFB

7、，FH=8510，延长 FN 交 AC 于点 G，点 R 为 OB 上一点，直线 y=mx+3m0，边 AB=a，BC=b，且 a，b 满足 b216b+64=a10+202a，将矩形折叠，使 B 落在边 CD（含端点）上，落点记为 E，这时折痕与边 AD 或边 AB（含端点）交于点 F(1) 求矩形 ABCD 的边 AB，BC 的长(2) 如图 1，当点 F 与点 A 重合时，连接 OA，若 OAE 是等腰三角形，求 m 的值(3) 若点 B，D 在函数 y=kx85 的图象上，请你在图 2 中画出分析，BEF 是否存在面积最大值？若存在，说明理由，并求出此时点 E 的坐标；若不存在，说明理

8、由14. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形 OABC 的顶点 A12,0，C0,9，将矩形 OABC 的一个角沿直线 BD 折叠，使得点 A 落在对角线 OB 上的点 E 处，折痕与 x 轴交于点 D(1) 线段 OB 的长度为 ；(2) 求直线 BD 所对应的函数表达式；(3) 若点 Q 在线段 BD 上，在线段 BC 上是否存在点 P，使以 D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由15. 如图 1，矩形 OABC 摆放在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OA=3，OC=2，过点 A 的直线交矩形

9、 OABC 的边 BC 于点 P，且点 P 不与点 B，C 重合，过点 P 作 CPD=APB，PD 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 E(1) 若 APD 为等腰直角三角形求直线 AP 的函数解析式在 x 轴上另有一点 G 的坐标为 2,0，请在直线 AP 和 y 轴上分别找一点 M，N，使 GMN 的周长最小，并求出此时点 N 的坐标和 GMN 周长的最小值(2) 如图 2，过点 E 作 EFAP 交 x 轴于点 F，若以 A，P，E，F 为顶点的四边形时平行四边形，求直线 PE 的解析式16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形，B，D 分别在 y 轴负

10、半轴、 x 轴正半轴上，点 E 是 x 轴的一个动点，连接 CE，以 CE 为边，在直线 CE 的右侧作正方形 CEFG(1) 如图 1，当点 E 与点 O 重合时，请直接写出点 F 的坐标为 ，点 G 的坐标为 (2) 如图 2，若点 E 在线段 OD 上，且 OE=1，求正方形 CEFG 的面积(3) 当点 E 在 x 轴上移动时，点 F 是否在某条直线上运动？如果是，请求出相应直线的表达式；如果不是，请说明理由17. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=34x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PCAB

11、于点 C(1) 当点 P 是 OA 中点时，APC 的面积是 (2) 连接 BP，若 BP 平分 ABO，求此时点 P 的坐标(3) 设点 D 是 x 轴上方的坐标平面内一点，若以点 O，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求点 D 的坐标及此时 OP 的长18. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=34x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PCAB 于点 C(1) 当点 P 是 OA 中点时，求 APC 的面积；(2) 连接 BP，若 BP 平分 ABO，求此时点 P 的坐标；(3) 设点 D 是 x 轴上方的

12、坐标平面内一点，若以点 O，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求点 D 的坐标及此时 OP 的长19. 在平面直角坐标系中，点 A3,0，B0,4(1) 直接写出直线 AB 的解析式(2) 如图 1，过点 B 的直线 y=kx+b 交 x 轴于点 C，若 ABC=45，求 k 的值(3) 如图 2，点 M 从 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 方向运动，同时点 N 从 O 出发以每秒 0.6 个单位的速度沿 OA 方向运动，运动时间为 t 秒（0t5），过点 N 作 NDAB 交 y 轴于点 D，连接 MD，是否存在满足条件的 t，使四边形 AMDN 为菱形，判断并说明理由20. 在平

13、面直角坐标系 xOy 中，点 和图形 W 的“中点形”的定义如下：对于图形 W 上的任意一点 Q，连接 PQ，取 PQ 的中点，由所以这些中点所组成的图形，叫做点 和图形 W 的“中点形”已知 C2,2，D1,2，E1,0，F2,0(1) 若点 和线段 CD 的“中点形”为图形 G，则在点 H11,1，H20,1，H32,1 中，在图形 G 上的点是 ；(2) 己知点 A2,0，请通过画图说明点 A 和四边形 CDEF 的“中点形”是否为四边形？若是，写出四边形各顶点的坐标，若不是，说明理由；(3) 点 B 为直线 y=2x 上一点，记点 B 和四边形 CDEF 的中点形为图形 M，若图形 M

14、 与四边形 CDEF 有公共点，直接写出点 B 的横坐标 b 的取值范围答案1. 【答案】(1) m62+n8=0， m=6，n=8， OA=6，OC=8(2) 翻折， AO=AE=6，OD=DE，设 OD=x，则 DE=x，CD=8x，在 RtAOC 中，AO=6，CO=8， AC=AO2+OC2， AC=10， CE=4，在 RtCDE 中，CD2=DE2+CE2， 8x2=x2+16，即 6416x+x2=x2+16，即 6416x+x2=x2+16，解得 x=3， D3,0，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，把 A0,6，D3,0 代入解 b=6,3k+b=0, 解得 b=6,k

15、=2, y=2x+6(3) N12,0或312,0【解析】(3) 假设存在这样的 N 点，设 N 为 a,0， DEAC， kDEkAC=1， kDE=43， DE 的直线解析式为 y=43x4，设 Mc,43c4，若 AC 为对角线时，有 xA+xC=xM+xN,yA+yC=yM+yN, 即 0+8=c+a,6+0=43c+0, 解得 c=152,a=12, N12,0若 AM 为对角线时，有 xM+xA=xC+xN,yM+yA=yC+yN, 即 c+0=8+a,43c4+6=0+0, 解得 c=32,a=192, N192,0若 AN 为对角线时，有 xA+xN=xM+xC,yA+yN=y

16、M+yC, 即 0+a=c+8,6+0=43c4+0, 解得 c=152,a=312, N312,0， N 在 x 轴正半轴上， N12,0或312,02. 【答案】(1) BOC=BCD=CED=90， OCB+OBC=90，OCB+ECD=90， OBC=ECD . 将线段 CB 绕着点 C 顺时针旋转 90 得到 CD， BC=CD在 BOC 和 CED 中，BOC=CED=90,OBC=ECD,BC=CD. BOCCEDAAS(2) 直线 y=12x+3 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点， 点 B 的坐标为 0,3，点 A 的坐标为 6,0设 OC=m， BOCCED， OC=E

17、D=m，BO=CE=3， 点 D 的坐标为 m+3,m 点 D 在直线 y=12x+3 上， m=12m+3+3，解得：m=1， 点 D 的坐标为 4,1，点 C 的坐标为 1,0 点 B 的坐标为 0,3，点 C 的坐标为 1,0， 直线 BC 的解析式为 y=3x+3设直线 BC 的解析式为 y=3x+b，将 D4,1 代入 y=3x+b，得：1=34+b，解得：b=13 直线 BC 的解析式为 y=3x+13， 点 C 的坐标为 133,0， CC=1331=103， BCD 平移的距离为 103(3) 0,12 或 0,112【解析】(3) 设点 P 的坐标为 0,m，点 Q 的坐标为

18、 n,12n+3分两种情况考虑，如图 3 所示：若 CD 为边，当四边形 CDQP 为平行四边形时， C1,0，D4,1，P0,m，Qn,12n+3， 1+n=0+4,012n+3=m+1. 解得：m=12,n=3. 点 P1 的坐标为 0,12；当四边形 CDPQ 为平行四边形时， C1,0，D4,1，P0,m，Qn,12n+3， 1+0=n+4,0+m=12n+3+1. 解得：m=112,n=3. 点 P2 的坐标为 0,112；若 CD 为对角线， C1,0，D4,1，P0,m，Qn,12n+3， 1+4=0+n,0+1=m12n+3. 解得：m=12,n=5. 点 P 的坐标为 0,1

19、2综上所述：存在，点 P 的坐标为 0,12 或 0,1123. 【答案】(1) P1，P3 (2) 4t2 或 1t3(3) 2b3 或 325观察图象可知：满足条件的 b 的值为 2b3根据对称性，同法可证，当 3b2 时，也满足条件综上所述，满足条件的 b 的值为：2b3 或 3b24. 【答案】(1) 对于直线 y=12x+2，令 x=0，得到 y=2，可得 B0,2，令 y=0，得到 x=4，可得 A4,0， OA=4，OB=2， AB=OA2+OB2=25(2) 如图 1 中，作 CEx 轴于 E，作 CFy 轴于 F， BFC=AEC=90， EOF=90， 四边形 OECF 是

20、矩形， CF=OE，CE=OF，ECF=90， ACB=90， BCF=ACE， BC=AC， CFBCEA， CF=CE，AE=BF， 四边形 OECF 是正方形， OE=OF=CE=CF， OE=OAAE=OABF=OAOF+OB=4OE+2， OE=3， OF=3， C3,3，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则有 3k+b=3,b=2, 解得 k=13,b=2, 直线 BC 的解析式为 y=13x+2(3) 如图 2 中，延长 AB，DP 相交于 Q，由旋转知，BD=AB， BAD=BDA， ADDP， ADP=90， BDA+BDQ=90，BAD+AQD=90， AQD=BDQ

21、， BD=BQ， BQ=AB， 点 B 是 AQ 的中点， A4,0，B0,2， Q4,4， 直线 DP 的解析式为 y=x, 直线 DO 交直线 y=x+3, 于 P 点，联立解得，x=32，y=32， P32,325. 【答案】(1) 把 x=0 代入 y=34x+6 得 y=6，把 y=0 代入 y=34x+6 得 x=8， A8,0，B0,6， OA=8，OB=6，根据勾股定理，AB2=OA2+OB2， AB=OA2+OB2=82+62=10，连接 CH，根据折叠性质，DBCHBC， BO=BH=6，BHC=BOC=90，CO=CH， AH=ABBH=106=4，AHC=90，设 OC

22、=x，则 CH=x，AC=OAOC=8x，在 RtACH 中，AC2=CH2+AH2， 8x2=x2+42，解得 x=3， OC=3， C3,0(2) 设直线 BC 解析式 y=kx+b，把 B0,6，C3,0 代入 b=6,3k+b=0, 解得 k=2,b=6, 直线 BC 解析式为 y=2x+6，设 P 坐标 x,2x+6，作 OPAD，连接 AP，AD，OD，作 PMx 轴于 M，DNx 轴于 N， OPAD， POM=DAN， tanPOM=tanDAN， PMOM=DNAN， Px,2x+6，D6,2， PM=2x+6，OM=x，DN=2，AN=86=2， 2x+6x=32， x=2

23、，此时 P2,2， OP=22，AD=22， OP=AD， 四边形 OPAD 是平行四边形(3) Q0,6【解析】(3) 根据折叠性质得，O，H 关于 BC 对称， QO=QH， QAQO 最大，即 QAQH 最大， A，H，Q 共线时，QAQH=AH， A，H，Q 不共线时，QAQHAH， A，H，Q 共线时，QAQH 最大，此时点 B 即 Q 点， Q0,66. 【答案】(1) 由题意得：AB=3，AF=1，则 FB=ABAF=2=GF，则 AG=GF2AF2=2212=3 G0,43(2) 由对称性：EFBG，则 KEFKGB=1，又 KBG=44330=33， KEF=3，又 F1,4

24、，则直线 EF 解析式：y=3x+3+4(3) 设 Mm,3m+3+4，G0,43，F1,4，当 N 在 x 轴上时，设 Nn,0，当 FG 为对角线时，则 1+0=m+n,4+43=3m+3+4+0, 则 m=2433,n=4331, M2433,83当 FM 为对角线时，则 1+m=0+n,43+0=3m+3+4, 则 m=2+433,n=3+433, M2+433,3当 FN 为对角线时，则 1+n=0+m,4+0=3m+3+4+4, 则 m=433,n=4331, M433,3当 N 在 y 轴上时，设 N0,n，当 FG 为对角线时，则 1+0=m+0,4+43=3m+3+4+n,

25、则 m=1,n=43, M1,4（舍去）当 FM 为对角线时，则 1+m=0+0,43+m=3m+3+4+4, 则 m=1,n=4+33, M1,4+23，当 FN 为对角线时，则 1+0=0+m,4+n=3m+3+4+43, 则 m=1,n=43, M1,4（舍去）综上所述：M12433,83，M22+433,3，M3433,3 或 M41,4+237. 【答案】(1) 令 x=0，y=6，令 y=0，x=2， A2,0，B0,6， AO=2，CO=6，作 DLy 轴垂足为 L 点，DIAB 垂足为 I， DLO=COA=90，DCL=ACO，DC=AC， DLCAOCAAS， DL=AO=

26、2， D 的横坐标为 2，把 x=2 代入 y=3x+6 得 y=12， D2,12， DI=12， SABD=12ABDI=48， AB=8； OB=ABAO=82=6， B6,0(2) OC=OB=6， OCB=CBO=45， MN=MB， 设 MNB=MBN=，作 NKx 轴垂足为 K，MQAB 垂足为 Q，MPNK，垂足为 P； NKB=MQK=MPK=90， 四边形 MPKQ 为矩形， NKCO，MQ=PK； KNB=9045=45， MNK=45+，MBQ=45+， MNK=MBQ， MN=MB，NPM=MQB=90， MNPMQBAAS， MP=MQ； B6,0，D2,12， 设

27、 BD 解析式为 y=kx+bk0， 6k+b=0,2k+b=12, 解得：k=3，b=18， BD 的解析式为 y=3x+18， 点 M 的纵坐标为 d， MQ=MP=d，把 y=d 代入 y=3x+18 得 d=3x+18，解得 x=18d3， OQ=18d3； N 的横坐标为 t， OK=t， OQ=OK+KQ=t+d， 18d3=t+d， d=34t+92(3) 作 NWAB 垂足为 W， NWO=90， ACN=45+ACO，ANC=45+NAO， ACO=NAO， ACN=ANC， AC=AN，又 ACO=NAO，AOC=NOW=90， ANWCAOAAS， AO=NW=2， WB

28、=NW=2， OW=OBWB=62=4， N4,2；延长 NW 到 Y，使 NW=WY， NFWYFWSAS， NF=YF，NFW=YFW，又 HFN=2NFO， HFN=YFN，作 NSYF， FHNH， H=NSF=90， FN=FN， FHNFSNAAS， SF=FH=8510，NY=2+2=4，设 YS=a，FY=FN=a+8510，在 RtNYS 和 RtFNS 中：NS2=NY2YS2；NS2=FN2FS2；NY2YS2=FN2FS2， 42a2=a+8510285102，解得 a=2510， FN=2510+8510=210；在 RtNWF 中，WF=FN2NR2=210222=

29、6， FO=OW+WF=4+6=10， F10,0， AW=AO+OW=2+4=6， AW=FW， NWAF， NA=NF， NFA=NAF， ACO=NAO， NFA=ACO，设 GF 交 y 轴于点 T，CTF=ACO+CGF=COF+GFO， CGF=COF=90，设 FN 的解析式为 y=px+qp0，把 F10,0，N4,2 代入 y=px+q，得 12p+q=0,4p+q=2, 解得 p=13,q=103, y=13x+103， 联立 y=13x+103,y=3x+6, 解得：x=45,y=185, G45,185，把 G 点代入 y=mx+3，得 45m+3=185，得 m=34

30、， y=34x+3，令 y=0，得 0=34x+3，x=4， R4,0， AR=AO+OR=2+4=6，RF=OFOR=104=6， AR=RF， FEAC， FEG=AGE，GAF=EFA， GRAEFRAAS， EF=AG， 四边形 AGFE 为平行四边形， AGF=180CGF=18090=90， 平行四边形 AGFE 为矩形8. 【答案】(1) 直线 L 将 ABO 分成面积相等的两部分， 直线 L 必过相等 AB 的中点，设线段 AB 的中点为 E， A0,3，B4,0， E4+02,3+02， E2,32， 直线 L 过原点， 设直线 L 的解析式为 y=kx， 2k=32， k=

31、34， 直线 L 的解析式为 y=34x(2) 如图 2，过点 A 作 AFBD 于 F，过点 C 作 CGBD 于 G， SABD=12BDAF，SCBD=12BDCG， SABD=SBCD， 12BDAF=12BDCG， AF=CG，在 AOF 和 COG 中， AOF=COG,AFO=CGO=90,AF=CG. AOFCOGAAS， OA=OC如图 3， 由【探究升级】知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点， OC 恰好平分四边形 OACB 的面积， OC 过四边形 OACB 的对角线 OA 的中点，连接 AB，设线段 AB 的中点为 H， A1,4

32、，B3,2， H2,1，设直线 OC 的解析式为 y=kx， 2k=1， k=12， 直线 OC 的解析式为 y=12x， 点 C2m,m+5 在直线 OC 上， m+5=122m， m=52， C5,529. 【答案】(1) 0,4；6,0 由题意知，C 点为 B 点关于直线 l2:y=2x92 的对称点，连接 BC，则可知直线 BC 与直线 l2 垂直，且与直线 l2 交点为 BC 中点 设直线 BC 解析式为 y=kx+b，则解析式满足： k2=1,0=k6+b, 解之得：k=12,b=3. 故 BC 解析式为 y=12x+3 可知直线 BC 与直线 l2 交点满足： y=12x+3,y

33、=2x92, 解之得：x=3,y=32. 故交点为 3,32 设点 C 的坐标为 x1,y1，则由 BC 中点为交点有： x1+6=32,y1+0=322, 解之得：x1=0,y1=3, 故 C 点坐标为 0,3(2) 点 D 在线段 BA 上，故可设点 D 坐标为 a,23a+4，且 0a6， CDO 可看为以 OC 为底，D 到 y 轴距离为高的三角形，故 SCDO=3a12=32a又 SCDB=SABOSBCOSADC=6412631243a12=312a. CDB 与 CDO 面积相等，故 32a=312a，解之得 a=32 可知 D 坐标为 32,3 .设直线 OD 解析式为 y=k

34、1x+b，将 O，D 两点代入有：3=32k1+b1,0=k10+b1, 解之得：b1=0,k1=2, 故 OD 解析式为 y=2x 32,92(3) 由 2 中问情况为 D 在线段 BA 上，即 D 为 BA 在第一象限点， 若射线 BA 上存在其它点 D，使得 CDB 与 CDO 面积相等，则此 D 应该在第二象限， 可设 D 坐标为 c,23c+4，c0，b3=152 QP 解析式为 y=2x+152此时又有直线 DQ 垂直于 QP， 设直线 DQ 解析式为 y=k4x+b4，故有： k42=1,3=k432+b4, 解之得：k4=12,b4=154, 故 DQ 解析式为 y=12x+154， Q 为 DQ 与 QP 交点，