2019年高中数学第二章平面向量章末检测新人教A版必修4.doc

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1、1第二章第二章 平面向量平面向量章末检测 时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是( )A方向相同或相反的向量是平行向量B零向量是 0C长度相等的向量叫作相等向量D共线向量是在一条直线上的向量解析：对 A，方向相同或相反的非零向量是平行向量，错误；对 B，零向量是 0，正确；对C，方向相同且长度相等的向量叫作相等向量，错误；对 D，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误故选 B.答案：B2在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点

2、所构成的图形是( )A一条线段 B一条直线C圆上一群孤立的点 D一个半径为 1 的圆解析：由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线答案：B3已知A、B、D三点共线，存在点C，满足，则( )CD4 3CACBA . B. 2 31 3C D1 32 3解析：A，B，D三点共线，存在实数t，使t，则t()，即ADABCDCACBCAt()(1t)t，Error!，即 .CDCACBCACACB1 3答案：C4已知向量a a(1,2)，b b(1,0)，c c(3,4)若为实数，( a ab b)c c则( )A. B.1 41 2C 1 D22解析：可得

3、a ab b(1，2)，由(a ab b)c c得(1)4320， .1 2答案：B5已知点O，N在ABC所在平面内，且|，0，则点O，NOAOBOCNANBNC依次是ABC的( )A重心 外心 B重心 内心C外心 重心 D外心 内心解析：由|知，O为ABC的外心；由0，得，取OAOBOCNANBNCANNBNCBC边的中的点D，则2，知A、N、D三点共线，且AN2ND，故点N是ANNBNCNDABC的重心答案：C6已知向量a a(cos ，sin )，其中(，)，b b(0，1)，则a a与b b的夹角 2等于( )A B. 2 2C. D3 2解析：设a a与b b的夹角为，ababcos

4、 0sin (1)sin ，|a a|1，|b b|1，cos sin cos a ab b |a a|b b|，(3 2)( 2，) 2ycos x在0，上单调递减，故选 C.3 2答案：C7等边三角形ABC的边长为 1，a a，b b，c c，那么ababbcbccaca等于( )BCCAABA3 B3C. D3 23 2解析：由平面向量的数量积的定义知，ababbcbccaca|a a|b b|cos(C)|b b|c c|cos(A)|c c|a a|cos(B)cos(C)cos(A)cos(B)3cos Ccos Acos B3cos 60 .3 2故应选 D.答案：D8已知平面向

5、量a a，b b，|a a|1，|b b|，且|2a ab b|，则向量a a与向量a ab b的夹角37为( )A. B. 2 3C. D 6解析：|2a ab b|24|a a|24abab|b b|27，|a a|1，|b b|，434abab37，abab0，a ab.b.如图所示，a a与a ab b的夹角为COA，tan COA，COA，即a a与a ab b的|CA| |OA|3 3夹角为. 3答案：B9在ABC中，若()()0，则ABC为( )CACBCACBA正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D形状无法确定解析：()()0，0，CACB，ABC为等腰CACBCACBCA2C

6、B2CA2CB2三角形答案：C10在ABC中，BAC60，AB2，AC1，E，F为边BC的三等分点，则( )AEAFA. B.5 35 4C. D.10 915 8解析：依题意，不妨设，2，则有 ()，BE1 2ECBFFCAEAB1 2ACAE即；2()，AE2 3AB1 3ACAFABACAF即.AF1 3AB2 3AC4所以 (2)(2)AEAF(2 3AB13AC) (1 3AB23AC)1 9ABACABAC (22225) (222212521cos 60) ，选 A.1 9ABACABAC1 95 3答案：A11已知非零向量a a，b b，c c满足a ab bc c0，向量a

7、a，b b的夹角为 60，且|b b|a a|1，则向量a a与c c的夹角为( )A60 B30C120 D150解析：a ab bc c0，c c(a ab b)，|c c|2(a ab b)2a a2b b22abab22cos 603，|c c|.3又caca(a ab b)a aa a2abab1cos 60 ，3 2设向量c c与a a的夹角为，则 cos ，0180，a ac c |a a|c c|323 132150.答案：D12在ABC中，AC6，BC7，cos A ，O是ABC的内心，若xy，其中1 5OPOAOB0x1,0y1，动点P的轨迹所覆盖的面积为( )A. B.1

8、0 3 653 6C. D.10 320 3解析：如图，xy，其中 0x1,0y1，OPOAOB动点P的轨迹所覆盖的区域是以OA，OB为邻边的平行四边形OAMP，则动点P的轨迹所覆盖的面积SABr，r为ABC的内切圆的半径在ABC中，由向量的减法法则得，()2，BCACABBC2ACAB即|2|2|22|cos A，BCACABACAB由已知得 7262|226| ，ABAB1 55|212|650，|5.ABABAB5SABC 65sin A6，又O为ABC的内心，故O到ABC各边的距离均为r，1 26此时ABC的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，SABC (657)r，即 (657)r

9、6，1 21 26r，所求的面积SABr5.2 6323 610 3 6 答案：A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上)13已知向量a a(2,3)，b b(1,2)，若ma a4b b与a a2b b共线，则m的值为_解析：ma a4b b(2m4,3m8)，a a2b b(4，1)，因为ma a4b b与a a2b b共线，1(2m4)4(3m8)，解得m2.答案：214.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a a，b b，若2，则_ADABABDCAO(用向量a a和b b表示)解析：()a ab bAOACADDC(a a1

10、 2b b) 21，解得 .a ab.b. 22 3AO2 31 3答案：a ab b2 31 315已知两点A(1,0)，B(1，)O为坐标原点，点C在第一象限，且AOC120，3设3(R R)，则_.OCOAOB解析：由题意，得3(1,0)(1，)(3，)，AOC120，OC33 ， 即 ，解得 .OAOC|OA|OC|1 2332321 23 2答案：3 216. 若将向量a a(1,2)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b b，则b b的坐标是_ 4解析：如图，设b b(x，y)，则|b b|a a|，5abab|a a|b b|cos ， 455225 226即x2y25，又ababx2

11、y，得x2y，5 22解得x，y(舍去x，y)223 223 2222故b b.(22，3 22)答案：(22，3 22)三、解答题(本大题共有 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12 分)如图所示，D，E分别是ABC中边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a a，b b，试用a a，b b分别表示BCBD， ，.DECEMN解析：由三角形中位线定理，知DE綊BC，1 2故，即a a.DE1 2BCDE1 2a ab ba aa ab.b.CECBBDDE1 21 2a ab ba aa ab.b.MNMDDBBN1 2EDDB1 2BC1

12、 41 21 418(12 分)已知A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且，AE1 3AC，求证：.BF1 3BCEFAB证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，依题意有(2,2)，(2,3)，(4，1)ACBCAB因为，所以(x11，y1) (2,2)，AE1 3AC1 3所以点E的坐标为，(1 3，2 3)同理点F的坐标为，所以，(7 3，0)EF(8 3，2 3)又因为 (1)40，所以.8 3(2 3)EFAB19(12 分)已知a a，b b，c c是同一平面内的三个向量，其中a a(1,2)(1)若|c c|2，且c ca a，求c c

13、的坐标；57(2)若|b b|，且a a2b b与 2a ab b垂直，求a a与b b的夹角.52解析：(1)由a a(1,2)，得|a a|，12225又|c c|2，所以|c c|2|a a|.5又因为c ca a，所以c c2a a，所以c c(2,4)或c c(2，4)(2)因为a a2b b与 2a ab b垂直，所以(a a2b b)(2a ab b)0，即 2|a a|23abab2|b b|20，将|a a|，|b b|代入，得abab .5525 2所以 cos 1.又由0，得，即a a与b b的夹角为 .a ab b |a a|b b|20(12 分)已知向量、满足条件0

14、，|1.OP1OP2OP3OP1OP2OP3OP1OP2OP3求证：P1P2P3是正三角形证明：0，OP1OP2OP3OP1OP2OP3 ()2()2，|2|22|2.OP1OP2OP3OP1OP2OP1OP2OP3 ，cos P1OP2 ，P1OP2120.OP1OP21 2OP1OP2|OP1|OP2|1 2| .P1P2OP2OP1OP2OP12OP12OP222OP1OP23同理可得|.P2P3P3P13故P1P2P3是正三角形21(13 分)已知向量a a(cos ，sin )，b b(cos ，sin )，0.(1)若|a ab b|，求证：a ab b；2(2)设c c(0,1)

15、，若a ab bc c，求，的值解析：(1)证明：由|a ab b|，即(cos cos )2(sin sin )22，2整理得 cos cos sin sin 0，即abab0，因此a ab.b.(2)由已知条件Error!又 0，由，有 cos cos cos()，则，代入，得 sin sin()1，所以 sin ，得，或.1 2 65 6当时，(舍去)，当时，. 65 65 6 6综上，为所求5 6 6822.(13 分)(1)如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a a，b b，试用a a，b b表示，并判断OAOBOPOQ与的关系；OPOQOAOB(2)受(1)的启示，如果点A1，A2，A3，An1是AB的n(n3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论解析：(1)OPOAAPOA1 3AB ()a ab.b.OA1 3OBOA2 3OA1 3OB2 31 3同理a ab.b.OQ1 32 3a ab b.OPOQOAOB(2)结论：OAn1OAn2.OA1OA2OAOB证明如下：由(1)可推出 ()，OA1OAAA1OA1 nABOA1 nOBOAn1 nOA1 nOBa ab b，OA1n1 n1 n同理OAn1a ab b，1 nn1 na ab b，OAn2a ab b，OA2n2 n2 n2 nn2 n因此有OAn1OAn2.OA1OA2OAOB