中考数学高频考点突破 —— 圆的计算和证明.docx

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1、中考数学高频考点突破圆的计算和证明1. 如图，点 D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=CBD(1) 判断直线 CD 和 O 的位置关系，并说明理由(2) 过点 B 作 O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC=2，O 的半径是 3，求 BE 的长2. 如图，已知 AB 为 O 的直径，AC 为 O 的切线，连接 CO，过 B 作 BDOC 交 O 于 D，连接 AD 交 OC 于 G，延长 AB，CD 交于点 E(1) 求证：CD 是 O 的切线(2) 若 BE=4，DE=8，求 CD 的长3. 如图，AB 是 O 的直径，AF 是 O 的切线，CD 是

2、垂直于 AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F，CD=43，BE=2求证：(1) 四边形 FADC 是菱形；(2) FC 是 O 的切线4. 如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上的一点，以 OA 为半径的 O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD(1) 求证：AD 平分 BAC；(2) 若 BAC=60，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留 ）5. 在 ABC 中，C=90，以边 AB 上一点 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 D，分别交 AB，AC 于点 E，F(1) 如图，连接 AD，若 CAD=25，求 B 的大

3、小；(2) 如图，若点 F 为 AD 的中点，O 的半径为 2，求 AB 的长6. 如图，AB 为 O 的直径，点 C 在 O 上，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D连接 BC 并延长，交 AD 的延长线于点 E(1) 求证：AE=AB；(2) 若 AB=10，BC=6，求 CD 的长7. 如图，PA，PB 是 O 的切线，A，B 为切点，P=44(1) 如图 1，若点 C 为优弧 AB 上一点，求 ACB 的度数(2) 如图 2，在（1）的条件下，若点 D 为劣弧 AC 上一点，求 PAD+C 的度数8. 如图，AB 是 O 的直径，C 为 O 上一点，DCA=B(1) 求证：CD

4、 是 O 的切线(2) 若 DEAB，垂足为 E，DE 交 AC 于点 F，求证：DCF 是等腰三角形9. 如图，PA，PB 分别与 O 相切于点 A，B，点 M 在 PB 上，且 OMAP，MNAP，垂足为 N(1) 求证：OM=AN；(2) 若 O 的半径 R=3，PA=9，求 OM 的长10. 在 ABD 中，C=90，以边 AB 上一点 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 D，分别交 AB，AC 于点 E，F(1) 如图 1，连接 AD，若 CAD=25，求 B 的大小；(2) 如图 2，若点 F 为 AD 的中点，O 的半径为 2，求 AB 的长11. 如图，在平行四边形

5、 OABC 中，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 B，与 OC 相交于点 D(1) 求 OAB 的度数；(2) 如图，点 E 在 O 上，连接 CE 与 O 交于点 F，若 EF=AB，求 COE 的度数12. 如图，在 ABC 中，ABC=90，AB=8，BC=6以 BC 为直径的 O 交 AC 于 D，E 是 AB 的中点，连接 ED 并延长交 BC 的延长线于点 F(1) 求证：DE 是 O 的切线；(2) 求 DB 的长13. 已知 AB 是 O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，连接 AD，BC，已知 AE=AD，BAD=34(1) 如图，连接 CO，求 A

6、DC 和 OCD 的大小；(2) 如图，过点 D 作 O 的切线与 CB 的延长线交于点 F，连接 BD，求 BDF 的大小14. 如图，AB 是 O 的直径，C 为 AB 延长线上一点，过点 C 作 O 的切线 CD，D 为切点，点 F 是 AD 的中点，连接 OF 并延长交直线 CD 于点 E，连接 BD，BF(1) 求证：BDOE；(2) 若 OE=310，tanC=34，求 O 的半径15. 如图，BC 是 O 的直径，CE 是 O 的弦，过点 E 作 O 的切线，交 CB 的延长线于点 G，过点 B 作 BFGE 于点 F，交 CE 的延长线于点 A(1) 求证：ABG=2C；(2)

7、 若 GF=33，GB=6，求 O 的半径16. 如图，AB 是 O 的直径，ABC 内接于 O点 D 在 O 上，BD 平分 ABC 交 AC 于点 E，DFBC 交 BC 的延长线于点 F(1) 求证：FD 是 O 的切线；(2) 若 BD=8，sinDBF=35，求 DE 的长17. 如图，AB 是 O 的直径，BC 交 O 于点 D，E 是 BD 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，ACB=2EAB(1) 求证：AC 是 O 的切线；(2) 若 cosC=34，AC=8，求 BF 的长18. 如图，AB 为 O 的直径，DE 为 O 的切线，点 D 是 AC 中点(1) 求证：DE

8、BC；(2) 如果 DE=2，tanC=12，求 O 的半径19. 如图，AD 是 O 的直径，P 是 O 外一点，连接 PO 交 O 于点 C，PB，PD 分别切 O 于点 B，D，连接 AB，AC(1) 求证：ABOP；(2) 连接 PA，若 PA=22，tanBAD=2，求 PC 长20. 已知，如图，在 ABC 中，D 是 AB 边上一点，O 过 D，B，C 三点，直线 AC 是 O 的切线，ODAC(1) 求 ACD 的度数；(2) 如果 ACB=75，O 的半径为 2，求 BD 的长答案1. 【答案】(1) 如图，连接 OD， AB 为 O 的直径， ADB=90， ADO+ODB

9、=90， OD=OB， ODB=CBD，又 CDA=CBD， ADO+CDA=90，即 ODC=90， ODCD， CD 与 O 相切(2) BE 是 O 的切线， ODC=EBC=90，又 C=C， ODCEBC， ODEB=CDCB， AC=2，O 的半径为 3， CB=AC+AB=2+32=8， OD=3，OC=OA+AC=3+2=5， CD=OC2OD2=5232=4， 3EB=48解得 BE=62. 【答案】(1) 如图，连接 OD， AB 为 O 的直径，AC 为 O 的切线， CAB=90=ADB， OD=OB， DBO=BDO， COBD， AOC=COD， AO=OD，CO=

10、CO， AOCDOCSAS， CAO=CDO=90， ODCD，且 OD 是半径， CD 是 O 的切线(2) 设 O 的半径为 r，则 OD=OB=r，在 RtODE 中， OD2+DE2=OE2， r2+82=r+42，解得 r=6， OB=6， COBD， DECD=BEOB， CD=123. 【答案】(1) 如图 1，连接 OC， AB 是 O 的直径，CDAB， CE=DE=12CD=1243=23，设 OC=x， BE=2， OE=x2，在 RtOCE 中，OC2=OE2+CE2， x2=x22+232，解得：x=4， OA=OC=4，OE=2， AE=6，在 RtAED 中，AD

11、=AE2+DE2=43， AD=CD， AF 是 O 切线， AFAB， CDAB， AFCD， CFAD， 四边形 FADC 是平行四边形， AD=CD， 平行四边形 FADC 是菱形(2) 如图 2，连接 OF，AC， 四边形 FADC 是菱形， FA=FC， FAC=FCA， AO=CO， OAC=OCA， FAC+OAC=FCA+OCA，即 OCF=OAF=90， OCFC， 点 C 在 O 上， FC 是 O 的切线4. 【答案】(1) 如图，连接 OD BC 是 O 的切线，D 为切点， ODBC又 ACBC， ODAC， ADO=CAD又 OD=OA， ADO=OAD， CAD=

12、OAD，即 AD 平分 BAC(2) 如图，连接 OE，ED BAC=60，OE=OA， OAE 为等边三角形， AOE=60， ADE=30又 OAD=12BAC=30， ADE=OAD， EDAO， SAED=SOED， 阴影部分的面积为 S扇形ODE=604360=235. 【答案】(1) 连接 OD， OA 为半径的圆与 BC 相切于点 D， ODBC， ODB=90， 在 ABC 中，C=90， ODB=C， ODAC， CAD=ADO=25， OA=OD， OAD=ODA=25， BOD=2OAD=50， B=90BOD=40(2) 连接 OF，OD，由（1）得：ODAC， AFO

13、=FOD， OA=OF，点 F 为 AD 的中点， A=AFO，AOF=FOD， A=AFO=AOF=60， B=90A=30， OA=OD=2， OB=2OD=4， AB=OA+OB=66. 【答案】(1) 连 AC，OC， CDAE， CDE=90，又 CD 为 O 的切线， OCD=90=CDE， COAE， O 为 AB 中点， CO 为 BAE 中位线，CO=12AE，在 RtABC 中，CO 为斜边中线， CO=12AB， AE=AB(2) AB=10，BC=6， CE=CB=6，AE=AB=10，在 RtABC 中，AC=8， SACE=12ACCE=1286=24，又 SACE

14、=12CDAE=12CD10， CD=2457. 【答案】(1) 连接 OA，OB， PA，PB 是 O 的切线， OAP=90，OBP=90， AOB=360OAPOBPP=360909044=136, ACB=12AOB=68(2) 连接 AB， PA，PB 是 O 的切线， PA=PB， P=44， PAB=PBA=1218044=68， DAB+C=190， PAD+C=PAB+DAB+C=180+68=2488. 【答案】(1) 连接 OC AB 是 O 的直径， BCA=90， OC=OB， B=BCO， DCA=B， BCO=DCA， BCO+ACO=DCA+ACO， ACB=D

15、CO=90，即 OCCD， OC 过 O， CD 是 O 的切线(2) DEAB， FEA=90， A+EFA=90，同理 A+B=90， B=EFA， DCA=B，DFC=EFA， DCF=DFC， DC=DF，即 DCF 是等腰三角形9. 【答案】(1) 如图连接 OA，则 OAAP， MNAP， MNOA， OMAP， 四边形 ANMO 是矩形， OM=AN(2) 连接 OB，则 OBBP， OBM=MNP=90， OA=MN，OA=OB，OMAP， OB=MN，OMB=NPM， OBMMNP， OM=MP，设 OM=x，则 NP=9x，在 RtMNP 中，有 x2=32+9x2， x=

16、5，即 OM=510. 【答案】(1) 如图，连接 OD BC 与 O 相切， ODC=90 C=90， ODAC， ADO=CAD OA=OD， OAD=ADO， CAD=OAD CAD=25， CAB=CAD+OAD=50， B=90CAB=40(2) 连接 OD，OF F 为 AD 的中点， AOF=FOD ODAC， AFO=FOD， AFO=AOF OA=OF， AFO=OAF， AFO 为等边三角形， CAB=60， B=30 OD=2， OB=2OD=4， AB=OA+OB=611. 【答案】(1) 如图，连接 OB BC 是圆的切线， OBBC 四边形 OABC 是平行四边形，

17、 OABC OBOA AOB 是等腰直角三角形 OAB=45(2) 如图，过点 O 作 OHEC 于点 H，设 EH=t OHEC， EF=2HE=2t， 四边形 OABC 是平行四边形， AB=CO=EF=2t， AOB 是等腰直角三角形， OA=2t，则 HO=OE2EH2=2t2t2=t， OC=2OH， OCE=30， COE=1804530=10512. 【答案】(1) 连接 BD，DO BC 是 O 的直径， ADB=90 CDB=90，又 E 为 AB 的中点， DE=EB=EA， EDB=EBD OD=OB， ODB=OBD ABC=90， EDB+OBD=90即 ODDE D

18、E 是 O 的切线(2) 在 RtABC 中，AB=8，BC=6， AC=AB2+BC2=82+62=10， SABC=12ABBC=12ACBD， BD=ABBCAC=24513. 【答案】(1) 连接 OD AE=AD，BAD=34， ADC=AED=1218034=73， OA=OD=OC， ADO=A=34， OCD=ODC=ADCADO=7334=39(2) 连接 OD DF 是 O 的切线， ODF=90， AB 是 O 的直径， ADB=90， ADO=BDF， OA=OD， A=ADO， BDF=BAD=3414. 【答案】(1) 在 O 中， OB=OF， 1=3 点 F 是

19、 AD 的中点， 1=2 2=3 BDOE(2) 连接 OD 直线 CD 是 O 的切线， ODCD tanC=ODCD=34， 可设 OD=3k，CD=4k，k0 OC=5k，BO=3k， BC=2k BDOE， BCBO=CDDE，即 2k3k=4kDE， DE=6k OE2=OD2+DE2， 3102=3k2+6k2， k=2 O 的半径为 3215. 【答案】(1) 连接 OE， EG 是 O 的切线， OEEG， BFGE， OEAB， A=OEC， OE=OC， OEC=C， A=C， ABG=A+C， ABG=2C(2) BFGE， BFG=90， GF=33，GB=6， BF=

20、BG2GF2=3， BFOE， BGFOGE， BFOE=BGOG， 3OE=66+OE， OE=6， O 的半径为 616. 【答案】(1) 连接 OD，如图 1 OB=OD， 1=2 BD 平分 ABC， 1=3 2=3 DFBF， F=90 3BDF=90 2BDF=90，即 ODF=90 ODDF FD 是 O 的切线(2) 连接 AD，如图 2 AB 是 O 的直径， ADB=90 1=3，sin3=sinDBF=35， sin1=35 在 RtABD 中，sin1=ADAB=35设 AD=3x，则 AB=5x，BD=AB2AD2=5x23x2=4x tan1=ADBD=34 BD=

21、8， AD=834=6 3=4， 4=1 在 RtAED 中，tan4=DEAD， DE=ADtan4=ADtan1=634=9217. 【答案】(1) 连接 AD，如图， E 是 BD 的中点， DE=BE， EAB=EAD， ACB=2EAB， ACB=DAB， AB 是 O 的直径， ADB=90， DAC+ACB=90， DAC+DAB=90，即 BAC=90， ACAB， OA 为 O 的半径， AC 是 O 的切线(2) 如图，过点 F 作 FHAB 于 H， cosC=ACBC=CDAC=34，AC=8， BC=323，CD=6， BD=BCCD=143， EAB=EAD，FDA

22、D，FHAB， FD=FH，设 FB=x，则 DF=FH=143x， FHAC， HFB=C，在 RtBFH 中， cosBFH=cosC=34=FHBF， 143xx=34，解得 x=83，即 BF 的长为 8318. 【答案】(1) 连接 OD，因为 DE 为 O 的切线，所以 DEOD，因为 AO=OB，D 是 AC 的中点，所以 ODBC，所以 DEBC(2) 连接 DB，因为 AB 为 O 的直径，所以 ADB=90，所以 DBAC，所以 CDB=90，因为 D 为 AC 中点，所以 AB=BC，在 RtDEC 中，DEC=90，DE=2，tanC=12，所以 EC=DEtanC=4

23、，所以 DC=DE2+EC2=25在 RtDCB 中，BDC=90，所以 BD=DCtanC=5，所以 BC=BD2+DC2=20+5=5，所以 AB=BC=5，所以 O 的半径为 2.519. 【答案】(1) PB，PD 分别切 O 于点 B，D， PB=PD可得，点 C 为弧 BD 中点， BAC=COD ABOP(2) 由（1）BAD=POD， PD 切 O 于点 D， PDOD tanPOD=PDOD=2 AD=2OD， AD=PD在 RtPDA 中，PDA=90，PA=22， AD=PD=2， OC=OD=1在 RtPDO 中，PDO=90，PD=2，OD=1， PO=5 PC=POCO=5120. 【答案】(1) 直线 AC 是 O 的切线， OCA=90 ODAC， DOC+OCA=180， DOC=90 OD=OC， ODC=OCD=45， ACD=ACOOCD=45(2) OD=OC=2，DOC=90，可求 CD=22 ACB=75，ACD=45， BCD=30，作 DEBC 于点 E DEC=90 DE=DCsin30=2， B=45， DB=2学科网（北京）股份有限公司