2019年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2.doc

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1、11.41.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例课时作业A 组 基础巩固1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值1 3是( )A8 B.20 3C1 D8解析：原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.答案：C2以长为 10 的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )A10 B15C25 D50解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点，连接OC，设COF，则CF5sin

2、 ，OF5cos ，S矩形CDEF25cos 5sin 25sin 2(00；当 3000)，贷款的利率为 0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )A0.032 B0.024C0.04 D0.036解析：设存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是 0.048kx2，x(0，0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(00；当 0.0320)，y ，令y0，得x5，或20 x4x 520 x24 5x5(舍去)当 05 时，y0.因此，当x5 时，y取得极小值，也是

3、最小值故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积，S2Rh2R2由VR2h，得h，则V R2S(R)2R2R22R2，V R22V R令S(R)4R0，2V R2解得，R，3V 24从而hV R2V 3V 222.34V 3V 2即h2R.因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省10用长为 90 cm，宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成

4、(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(00，V(x)是增函数；当 100；当d0，则另一个在抛物线上的顶点为(x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(x,0)，(x,0)设矩形的面积为S，则S2x(4x2)(00；当0)，x2 75yx2，250x2 25由y0，得x25，当x(0,25)时，y0，当x(25，)时，y0；当 20 表示 12 点以后，t0 表示 12 点以前若测得该物体在 8 点的温度为 8 ，12 点的温度为 60 ，13 点的

5、温度为 58 ，并且该物体的温度在 8 点和 16 点有相同的变化率(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；(2)该物体在 10 点到 14 点这段时间内(包括 10 点和 14 点)，在何时温度最高？最高值是多少？解析：(1)根据题意，得Error!即Error!又该物体的温度在 8 点和 16 点有相同的变化率，且T3at22btc，T(4)T(4)，即48a8bc48a8bc.b0.将b0 代入上述方程组中，并进行化简得Error!Error!该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为Tt33t60.(2)由(1)，T(t)3t233(t1)(t1)(2t2)，令T(t)0，得t1.当t变化时，T(t)和T(t)的变化情况如下表：t2(2，1)1(1，1)1(1,2)2T(t)00T(t)58极大值 62极小值 5862可知t1 是函数的极大值点，且极大值为T(1)62；t1 是函数的极小值点，且极小值为T(1)58.又函数在区间2,2的端点函数值为T(2)58，T(2)62，比较以上数值可以得出，当 t2 或1 时，T(t)取最大值，即在 11 点、14 点时物体的温度 最高，最高温度为 62 .1