数学选修2-3排列组合(共17页).doc

《数学选修2-3排列组合(共17页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学选修2-3排列组合(共17页).doc（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷一选择题（共21小题）1某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A42B96C48D1242某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（）A1860B1320C1140D10203某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻那么不同的发言顺序种

2、数为（）A360B520C600D7204一个五位自然，ai0，1，2，3，4，5，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1a2a3，a3a4a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（）A110B137C145D1465七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A240种B192种C120种D96种6由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有（）A600B464C300D2107当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C

3、两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是（）A50B1440C720D21608为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为（）A432B456C534D7209某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共1

4、0道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（）A512B511C1024D102310某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A种B种C种D种

5、11如图所示22方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（） ABCDA192种B128种C96种D12种124个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为（）ABCD13对于任意正整数n，定义“n!”如下：当n是偶数时，n!=n（n2）（n4）642，当n是奇数时，n!=n（n2）（n4）531现在有如下四个命题：（2003！）（2002！）=20032002321；2002!=210011001100032；2002!的个位数是0；2003!的个位数是5其中正确的命题有（）

6、A1个B2个C3个D4个14数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（）种AABCCC34C43DCCC4315高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（）A36B24C18D1216用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，29的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A18B36C72D

7、10817某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A504种B960种C1008种D1108种18将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，6），若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法种数为（）A18B30C36D4819高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A1800B3600C4320D504020由数字1，2，3，4，5组成没有重复数

8、字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A60个B48个C36个D24个21组合数Cnr（nr1，n、rZ）恒等于（）AB（n+1）（r+1）CnrD二解答题（共1小题）22规定，其中xR，m是正整数，且CX0=1这是组合数Cnm（n，m是正整数，且mn）的一种推广（1）求C153的值；（2）组合数的两个性质：Cnm=Cnnm；Cnm+Cnm1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（xR，mN*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由（3）已知组合数Cnm是正整数，证明：当xZ，m是正整数时，CxmZ2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共

9、21小题）1（2003北京）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A42B96C48D124【分析】方法一：分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连；方法二：7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中后，原节目的顺序不变，故不同插法：【解答】解：方法一：分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连；故不同插法的种数为A61A22+A62=42方法二：7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为，故选A【点评】本题考查排列及

10、排列数公式的应用2（2016绵阳校级模拟）某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（）A1860B1320C1140D1020【分析】分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21C63A44=960种情况；若甲乙两人都参加，有C22C62A44=360种情况，其中甲乙相邻的有C22C62A33A22=180种情况；则不同的发言

11、顺序种数960+360180=1140种故选C【点评】本题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分类是关键3（2016衡水模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻那么不同的发言顺序种数为（）A360B520C600D720【分析】根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21C53A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22C52A44=2

12、40种情况，其中甲乙相邻的有C22C52A33A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240120=600种，故选C【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法4（2016吉林校级二模）一个五位自然，ai0，1，2，3，4，5，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1a2a3，a3a4a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（）A110B137C145D146【分析】本题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加【解答】解：由题

13、意知本题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，当a3=0时，前面两位数字可以从其余5个数中选，有=10种结果，后面两位需要从其余5个数中选，有C52=10种结果，共有1010=100种结果，当a3=1时，前面两位数字可以从其余4个数中选，有6种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有6种结果，共有36种结果，当a3=2时，前面两位数字可以从其余3个数中选，有3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有3种结果，共有9种结果，当a3=3时，前面两位数字可以从其余2个数中选，有1种结果，后面两位需要从其余2个数中选，有1种结果，共有1种结果，根据分类计数原理

14、知共有100+36+9+1=146故选D【点评】本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列5（2016丰城市校级二模）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A240种B192种C120种D96种【分析】利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41A22种站法，余下三人站右侧，

15、有A33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2A22C41A22A33=192，故选：B【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素特殊位置优先的原则6（2016南充三模）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有（）A600B464C300D210【分析】根据题意，按照个位数字的可能情况，分个位数字分别为0，1，2，3，4时进行讨论，分别求出每种情况下六位数的个数，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分5种情况讨论：个位数为

16、0，十位数必然比个位数字大，将剩下的5个数字全排列即可，则有A55个符合条件的六位数；个位数为1，十位数可为2、3、4、5，有A41种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A41A31A33个符合条件的六位数；个位数为2，十位数为3、4、5，有A31种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A31A31A33个符合条件的六位数；个位数为3，十位数为4、5，有A21种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1

17、个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A21A31A33个符合条件的六位数；个位数为4，十位数为5，有1种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A31A33个符合条件的六位数所以共有A55+A31A33（A41+A31+A21+1）=300个符合条件的六位数；故选：C【点评】本题考查排列、组合的运用，涉及分类讨论的运用，注意分类讨论时按照一定的顺序，做到不重不漏7（2016达州模拟）当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两

18、路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是（）A50B1440C720D2160【分析】确定B、C两路军车的量数类型，然后求解这6辆军车不同的分开行驶方案总数【解答】解：由题意可知B、C两路军车的量数类型有2、4；3、3；4、2；三种类型由于军车互不相同，排列是有顺序的，2、4；4、2；类型的结果都是：A62A443、3类型的结果为：A63A33则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是：2A62A44+A63A33=2160故选：D【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力8（2016山东二模）为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家

19、粮食安全战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为（）A432B456C534D720【分析】先分别求出2，4，6插入到1，3，5的所形成的空中，再排除2，4，6都在1，3，5的所形成的空中，问题得以解决【解答】解：第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入到中

20、间空中，再把4号插入到1，2，3，5，所形成的4个空的中的一个，然后把6号再插入到其中，故有A32A22A41A51=240种，第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把2号插入前面所成的3个空（不包含两端）的1个，故有A32A22A21A41A31=288种，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并插入到其中，有A32A22A33=72种，故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为240

21、+28872=456种，故选：B【点评】本题考查了排列中的相邻问题和不相邻问题，关键是优先安排特殊元素，属于中档题9（2016上海模拟）某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（）A512B511C10

22、24D1023【分析】由于每道题的都有两种情况，答或者不答，故根据分步计数原理可得【解答】解：每道题的都有两种情况，答或者不答，从109，有两种选择，从98也有两种选择，以此类推87，76，65，54，43，32，21，而从1题到第10道题只有一种选择，故有129=512种，故选：A【点评】本题考查了分步计数原理，关键是理解题意，属于中档题10（2016威海一模）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A种B种C种D种【分析】确定参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均有5种选择

23、，所以共有54种情况，根据乘法原理可得结论【解答】解：因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得54种情况，故选：D【点评】本题考查排列组合知识的运用，考查乘法原理，比较基础11（2016洛阳二模）如图所示22方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（） ABCDA192种B128种C96种D12种【分析】根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由

24、组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，则共有44=16种情况，则不同的填法共有166=96种，故选C【点评】本题考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点12（2016春平凉校级期末）4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为（）ABCD【分析】正确把4个不同的小球分成三份，再把这不同的三

25、份全排列，利用乘法原理即可得出【解答】解：把4个不同的小球分成三份有=这些不同的分法，再把这不同的三份全排列有种方法根据乘法原理可得：4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为故选A【点评】正确理解排列、组合及乘法原理的意义是解题的关键13（2014春吉州区校级期中）对于任意正整数n，定义“n!”如下：当n是偶数时，n!=n（n2）（n4）642，当n是奇数时，n!=n（n2）（n4）531现在有如下四个命题：（2003！）（2002！）=20032002321；2002!=210011001100032；2002!的个位数是0；2003!的个位数是5其中正确的命

26、题有（）A1个B2个C3个D4个【分析】利用双阶乘的定义判断各个命题是解决该题的关键关键要理解好双阶乘的定义，把握好双阶乘是哪些数的连乘积【解答】解：中（2003!）（2002!）=20032002422009200731，正确；2002!=2002200042=（21001）（21000）（22）（21）=210011001100021，故正确，2002!=2002200042有因式10，故2002!个位数为0，正确；2003!=2003200131，其个位数字与13579的个位数字相同，故为5，正确正确的有4个故选D【点评】本题考查新定义型问题的求解思路与方法，考查新定义型问题的理解与转化

27、方法，体现了数学中的转化与化归的思想方法注意与学过知识间的联系14（2016赤峰模拟）数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（）种AABCCC34C43DCCC43【分析】先分组，再分配，最后选组长，根据分步计数原理可得【解答】解：将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有C123C93C63C33，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：C123C93C6334，故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，分组分配问题，进行分组分析时要特别注意是否为平均分组

28、，属于中档题15（2016湖南模拟）高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（）A36B24C18D12【分析】由题意，先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，问题得以解决【解答】解：先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，故甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为=36种故选：A【点评】本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，特殊位置优先安排的原则，属于基础题

29、16（2016银川校级一模）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，29的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A18B36C72D108【分析】分析图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，共6种可能，即可得出结论【解答】解：首先看图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能，共6种可能4，8及9，与2，6及1，一样有6种可能并且与2，6，1，颜色无关当3，5，7换其他的颜

30、色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有366=108种，故选：D【点评】本题是一个排列组合的应用，考查分别计数原理，考查分类原理，是一个限制元素比较多的题目，解题时注意分类，做到不重不漏，属于中档题17（2010重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A504种B960种C1008种D1108种【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或

31、6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法，故共有1008种不同的排法故选C【点评

32、】本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意18（2007辽宁）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，6），若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法种数为（）A18B30C36D48【分析】本题为有特殊要求的排列问题，可以从特殊位置入手考虑由a11且a1a3a5，故a1的取法方法只有2、3、4三种，由a1的三种情况分别考虑a3、a5的安排方式，最后考虑a2，a4，a6【解答】解：分两步：（1）先排a1，a3，a5，a1=2，有2种；a1

33、=3有2种；a1=4有1种，共有5种；（2）再排a2，a4，a6，共有A33=6种，故不同的排列方法种数为56=30，选B【点评】本题考查有特殊要求的排列问题，需要较强的分析问题、解决问题的能力19（2006重庆）高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A1800B3600C4320D5040【分析】两个舞蹈节目不连排，可采用插空法其它五个节目的安排方式有A55种，5个节目有6个空，从6个空中选择两个安排舞蹈节目即可【解答】解：不同排法的种数为A55A62=3600，故选B【点评】本题考查有特殊要求的排列问

34、题，属基本题安排不相连，用插孔法，相连用捆绑法20（1989全国）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A60个B48个C36个D24个【分析】由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A33=6种，求乘积即可【解答】解：由题意，符合要求的数字共有23A33=36种故选C【点评】本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑21（2008上海）组合数Cnr（nr1，n、rZ）恒等于（）AB（n+1）（r+1）CnrD【分析】由组合数公式，Cnr进行运算、化简，找到其与cn1r1的关系，即可得答案【解答】解：由，故选D【点评】本题考查组合数公式的运用，须准确记忆公式，另外如本题的一些性质需要学生了解专心-专注-专业