2019年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习2-2.doc

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1、12.2.22.2.2 反证法反证法课时作业A 组 基础巩固1命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是( )Aab BabCab Dab解析：“ab”的否定应为“ab或ab” ，即ab.故应选 B.答案：B2用反证法证明命题：“a，b，c，dR，ab1，cd1，且acbd1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为( )Aa，b，c，d全都大于等于 0Ba，b，c，d全为正数Ca，b，c，d中至少有一个正数Da，b，c，d中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于 0.答案：A3 “自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )

2、Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案：D4给定一个命题“已知x10，x21 且xn1，证明对任意正整数n都有x3n3xn 3x2n1xnxn1” ，当此题用反证法否定结论时应是( )A对任意正整数n有xnxn1B存在正整数n使xnxn1C存在正整数n使xnxn1D存在正整数n使xnxn1且xnxn1解析：“对任意正整数n都有x

3、nxn1”的否定为“存在正整数n使xnxn1” 答案：B25设a，b，c(，0)，则三数a ，c ，b 中( )1 b1 a1 cA都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：(a1 b) (c1 a) (b1 c) (a1 a) (b1 b) (c1 c)a，b，c(，0)，a 2，b 2，1 aa(1 a)1 bb(1 b)c 2，1 cc(1 c)6，(a1 b) (c1 a) (b1 c)三数a 、c 、b 中至少有一个不大于2，故应选 C.1 b1 a1 c答案：C6命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_解析：“至少有一个”的

4、否定是“没有一个” 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBAPC，求证BAPCAP.答案：BAPCAP或BAPCAP8用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为 180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_解析：由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.答案：39已知a1，求证以下三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax

5、2a0 中至少有一个方程有实数解证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：Error!Error! a1，这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个3 2方程有实数解10求证：不论x，y取何非零实数，等式 总不成立1 x1 y1 xy证明：假设存在非零实数x，y使得等式 成立1 x1 y1 xy于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即(x )2y20.y 23 4由y0，得y20.3 4又(x )20，y 2所以(x )2y20.y 23 4与x2y2xy0 矛盾，故原命题成立B 组 能力提升1有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一

6、位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A甲 B乙C丙 D丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙答案：C2若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不确定解析：分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则4ADBADC，若ADB为钝角，则ADC为锐角而ADCBAD，ADCABD，ABD与ACD

7、不可能相似，与已知不符，只有当ADBADCBAC时，才符合题 2意答案：B3已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项有_个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1 恒成立，不存在n使anbn.答案：04完成反证法证题的全过程设a1，a2，a7是 1,2，7 的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则a11，a22，a77 均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但 0奇数，这一矛盾说明p为偶数解析：据题目

8、要求及解题步骤，因为a11，a22，a77 均为奇数，所以(a11)(a22)(a77)也为奇数即(a1a2a7)(127)为奇数又因为a1，a2，a7是 1,2，7 的一个排列，所以a1a2a7127，故上式为 0.所以奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)5已知a，b，c都是小于 1 的正数，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不大于 .1 4证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于 ，1 4即(1a)b ，(1b)c ，(1c)a .1 41 41 4a，b，c都是小于 1

9、的正数， ， ， ，1ab1 21bc1 21ca1 2 .(*)1ab1bc1ca3 25又，1ab1ab 21bc1bc 21ca1ca 21ab1bc1ca1ab 21bc 21ca 2 (当且仅当 1ab,1bc,1ca，即abc 时，3abcabc 23 21 2等号成立)，与(*)式矛盾假设不成立，原命题成立，故(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不大于 .1 46求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形证明：如图，设抛物线方程为y22px(p0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y2pxi(i1,2,3,4)，2i于是直线AB的斜率为kAB，y2y1 x2x12p y1y2同理：kBC，kCD，kDA.2p y3y22p y4y32p y1y4假设四边形ABCD为平行四边形，则有kABkCD，kBCkDA，即有Error!得y1y3y3y1，y1y3，同理y2y4，则x1x3，y2 1 2py2 3 2p同理x2x4，由Error!，Error!.显然A，C重合，B，D重合这与A，B，C，D为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立四边形 ABCD 不可能是平行四边形.6