数值分析课后习题答案(共81页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章习题解答 1. 在下列各对数中，X是精确值的近似值（1） =，x=3.1 （2） =1/7，x=0.143（3） =/1000，x=0.0031 （4） =100/7，x=14.3试估计x的绝对误差和相对误差。解：（1） e=3.1-0.0416， r= e/x0.0143 （2） e=0.143-1/70.0143 r= e/x0.1 （3） e=0.0031-/10000.0279 r= e/x0.9 (4) e=14.3-100/70.0143 r= e/x0.0012. 已知四个数：x1=26.3，x2=0.0250， x3= 134.25，x4=0.0

2、01。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算1= x1 x2 x3和1= x3 x4 /x1的相对误差限。解：x1=26.3 =3 x1=0.05 rx1=x1/x1=0.1901110-2 x2=0.0250 =3 x2=0.00005 rx2=x2/x2=0.210-2 x3= 134.25 =5 x3=0.005 rx3=x3/x3=0.37210-4x4=0.001 =1 x4=0.0005 rx4=x4/x4=0.5由公式：er（）= e（）/1/ni=1f/xixier（1）1/1x2 x3x1+ x1 x3x2 +x1 x2x3 =0.34468/88. =0.er（2）1

3、/2-x3 x4/ x21x1+ x4/ x1x3 + x3 / x1x4 =0.497073. 设精确数0，x是的近似值，x的相对误差限是0.2，求x的相对误差限。解：rni=1f/xixi =1/x1/ xx=rx/x=0.2/x即r0.2/x4. 长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm2。解：S=2（xy+yz+zx）rS(x+y)z+(y+z)x+(z+x)y/xy+yz+zx x=y=zrz(x+y+z)x /xy+yz+zx1x17/61.06255.6. 改变下列表达式，使计算结果更准确。（1） （2）（3） （4）

4、解：（1） （2） （3）（4）7、计算的近似值，取。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。（1） （2）（3） （4） 解：计算各项的条件数 由计算知，第一种算法误差最小。解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。9、 通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。 解：浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远，分布越稀疏。一般浮点数集的分布也符合此规律。10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。 解： 此算

5、法是数值稳定的。 第二章习题解答1.（1） Rnn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。（2）Rnn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。设A是的正交矩阵。证明A-1也是的正交矩阵。证明：（2）A是的正交矩阵 A A-1 =A-1A=E 故（A-1）-1=A A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1 =E 故A-1也是的正交矩阵。设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。A非奇异 A可逆且A-1非奇异 又AT=A （A-1）T=（AT）-1=A-1 故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上（下）三角阵。证A-1也是单位上（下

6、）三角阵。证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，A可逆，即A-1存在，记为（bij）nn 由A A-1 =E，则 （其中 ji时，） 故bnn=1, bni=0 (nj) 类似可得，bii=1 (j=1n) bjk=0 (kj) 即A-1是单位上三角阵综上所述可得。Rnn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。 A= 解：A= 故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。A1=， A2 解：A1=，|I- A1|= ， 解（1I- A）x=0 得 解（2I- A）x=0 得4、已知

7、矩阵，求A的行空间及零空间的基。解：5、已知矩阵，试计算A的谱半径。解：6、试证明，其中。7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐标，其中1=（1，1，1，1）T， 2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。解：由x=sy得 y-4=s-1x=8、在中向量，取基，求。9、已知R3中两组基 S1=1，2，3=，S2=1 ，2 ，3 = 求从S1 到S2的过度矩阵； 设已知u=（2，1，2）T R3求u在S1 下的坐标和u在S2下的坐标。解： A= S1-1S2= 对u=（2，1，2）T 在S1 下，由u=S1x可求

8、出x= S1-1u=在S2下，由u=S2x可求出x= S2-1u=10. 已知A=，求dim(R(A), dim(R(AT), dim(N(A).解：A=dim(R(A)=dim(R(AT)=r(A)=2dim(N(A)=n-r=4-2=211、已知A=span1,ex,e-x,D=是X上的线性变换，求 D关于基S1=1,2ex,3e-x的矩阵A； D关于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩阵B。解：由Dx=S1A,设A=X（1），X（2），X（3） D（1）=0，0= S1 X（1）=01+02 ex+03e-x, X（1）=(0,0,0)T D（ex）= ex ,ex

9、= S1 X（2）=01+2 ex+03e-x, X（2）=(0, ,0)T D（e-x）= -e-x , -e-x = S1 X（3）=01+02 ex+3e-x, X（2）=(0, 0, )T 类似的可得D关于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩阵B为12、已知线性变换T：P2（t）P3（t）,定义T为T（P（t）=求线性变换T在基偶（S1=1,t,t2, S2=1,t，t2/2,t3/3）下的矩阵。 解：设所求矩阵为A，则有T S1 =S2A T（1）= T（t）= T（t2）= 13、设A Rmn,定义从Rn到 Rm的变换T为T：xRn y=Ax xRm试证明T是

10、线性变换。证明： ，有 故，由定义知，T是线性变换。14、 已知R3中取基S1=，R2中取基S2=。线性变换T：R3R2 定义为x=（x1 ，x2 ，x3）T R3，Tx=（x2 +x3 ，x1 +x3）T R2.求 T在（S1 ，S2）下的矩阵A； 设u=（2，-3，2）T R3，u在S1 下的坐标和Tu在S2下的坐标。解： 由题知，T（S1）= S2A 对u=（2，-3，2）T在S1 下由可求出在S2下由可求出15、求由向量1=（1，2，1）T与2=（1，-1，2）T张成的R3的子空间X=span1,2的正交补 （即所有与X垂直的向量的全体）。 解：令解得 故 =16、 试证明若1，2，t

11、是内积空间H中不含零向量的正交向量组，则1，2，t必线性无关。证明：假设存在使 两边与作内积得 又（因 故故1，2，t必线性无关。17、计算下列向量的x ，x1和x2 。 x=（3，-4，0，3/2）T x=（2，1，-3，4）T x=（sink,cosk,2k）T k为正整数。 解：x= x= x= 18、证明：20、21、试计算，其中m, n是正整数。22、已知，试计算，。23、在上，由构造带权的首1正交多项式，和。解：24、给出点集及权，试构造正交函数组，和。25、。26、试求矩阵A的三角分解A=LU。 A=对不选列主元和选列主元两种情况分别计算。解：A= 对选列主元的27、已知向量，试

12、构造Gauss变换阵将向量x变为。解：。28、已知向量x=（1，2，2）T ，y =（0，3，4）T 。试构造Huuseholder阵H使H x为y的倍数，即H x=ky。给出变换阵H和系数k。29、对矩阵A=，用Huuseholder变换将A相似约化为三对角阵，即HAH为三对角阵。解：将向量变换为，则构造H阵为 30. 已知矩阵A=，使用Schmidt正交化法和Huuseholder方法对A正交分解A=QR。解： A= Schmidt正交化， 用Householder变换法 先将变为,则构造H阵为第三章习题解答1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。 解：(1) 经初等行变换

13、化为当时，方程组有解，解为(2) 经初等行变换化为当时，方程组有解，解为2.证明下列方程组Ax=b当（1）时无解；（2）时有无穷多组解。解：(1) r(A)=3r(A,b)=4 当时无解；(2) r(A)=3,r(A,b)=3 当时有无穷多组解。3.用列主元高斯消元法求解Ax=b (1)x=(2,-2,1)T (2)x=(0,-7,5)T 4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。证明：设是上（下）三角方阵，即设A的逆为其中为的代数余子式，由于是上三角方阵，所以当时，所以为上三角方阵。5.用Gauss-Jordan法求解下列矩阵的逆矩阵。解(1)6.以已知矩阵A=，试对A进行cho

14、lesky分解A=L1L1T,并利用分解因子阵L1求A的逆矩阵A-1=(L-1)T(L-1).解: A=j=1时,l11=1,l21=2, l 31=6j=2时, l 22=1, l 32=(a32- l 31 l 21)/ l 32=3;j=3时, l 33=1L= L-1=A-1=(L-1)T(L-1)= =7.已知线性方程组试用Cholesky分解求解问题（1），用对称分解求解问题（2）。解: (8) A=LLT解Ly=b, 得 y=2.1213,-1.2247,-0.0000T 解LTx=y 得 x=1,-1,0 T（2）A=LDLT解Lz=b, 得 z= 2.0000,0.6000,

15、-0.7143, 0.8334T 解Dy=z, 得 y= 0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999 T解LTx=y 得 x=1,1,1,1 T8设A是对称正定阵，试证明不选主元的Cholesky分解的计算过程是数值稳定的。证明： 综合以上得到结论：在Cholesky分解中，不选主元的计算分解式的元素的数量级不会增长，能得到控制，且恒正，因此，这是一个节省储存且计算过程是数值稳定的方法。9. 求解以下三对角方程组(1) 解: A=LU解Ly=b, 得 y=1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500T 解Ux=y 得 x=1,1，-1,-1 T(2) 解: A=LU

16、解Ly=b, 得 y=1，2.5，-2，-2T 解Ux=y 得 x=0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333 T10. 证：11试求解周期三对角方程组解：12试计算13为正整数，求14. 设方程组Ax=，其中A=，= 计算，判断方程组是否病态。 用全主元消元法求解，结果如何？ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？解： 105+1 又 =（1+105）=1该方程组是病态 用全主元消元法求解。=1出现大数吃小数的现象，结果失真。 用105除第一个方程得：A1=，=方程组是良态的。15设n阶对角矩阵,试计算det(A)和 cond(A)2结果说明什么。解： 行列式小并不能说明矩

17、阵是病态的。 16. 已知（2.0，0.1）T是以下方程组的计算解，=（1.0，1.0）T是精确解， 求剩余，并分析此结果。解：（1） （2） （3） （4） 由计算可知道，该方程组是病态的，相对剩余量为0.053，相对误差为0.95。由于相对误差很大，所以相对剩余量虽小，并不能 反映近似解的近似程度。17有线性方程组Ax=b，其中 试对A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程组。解:解Qy=b, 得 y= 10 -5 -5T 解Rx=y 得 x= 1 -1 1 T18. 设非奇异，有扰动使，若是方程组的解，是方程组的解，试证明：证明：19设方程组的系数矩阵分别为考察求解此方程组

18、的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。解：Jacobi迭代不收敛。 Gauss-Seidel迭代收敛。Jacobi迭代收敛。 Gauss-Seidel迭代收敛。20 设方程组 若用迭代法和迭代法求解方程组是否收敛？ 若将方程组交换方程次序如何？解： 用迭代法： BJ=D-1（L+U）= 所以迭代法发散。迭代法：BG=（D-L）-1U=所以迭代法发散。交换次序，则 用迭代法： BJ=D-1（L+U）= 所以迭代法收敛。迭代法：BG=（D-L）-1U=所以迭代法收敛。21. 已知方程组 若用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，取初值，需要迭代多少次上述

19、两种方法的误差小于。解：Jacobi迭代至少需要迭代12次。 Gauss-Seidel迭代至少需要迭代10次。22 .根据Gauss-Seidel迭代格式用松弛因子加速收敛的方法，同样对 Jacobi迭代法也用松弛因子加速，给出迭代计算的分量形式和矩阵表达式。解：整理得分量形式矩阵形式23. 已知试分别导出求解的迭代法和迭代法收敛的充要条件。解： 用迭代法：BJ=D-1（L+U）= 时方程组收敛，条件是：迭代法：BG=（D-L）-1U=时方程组收敛，条件是：24. 设A为对称正定阵，其特征值，试证明：当满足时，迭代格式，（）是收敛的？证明：由于是A的特征值，则的特征值为当时收敛， 此时则有：2

20、5解：26.设是严格对角占优阵，试证明用SOR方法求解Ax=b，取时是收敛的。证明：设 即 又 所以SOR法当时是收敛的。27.设有方程组（1）写出用SOR方法求解的分量计算式；（2）求出最佳松弛因子；并用计算两步，取。解：（1）SOR法（2）28.用共轭斜量法求解，其中解：29试证明对于最速下降法，相邻两次的搜索方向是正交的，即证明：30.已知一组线性无关向量,由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组对应的A-共轭向量组，其中解：第四章习题解答1、 求下列矩阵的满秩分解。解：因为的秩为2，可求出满秩分解为又因为的秩为2，可求出满秩分解为2、 根据定义求下列矩阵的广义逆。解：（1）先求出

21、的一个满秩分解。因为的秩为1，可求出满秩分解为于是有最后得（2）先求出的一个满秩分解。因为的秩为2，可求出满秩分解为于是有最后得3、 证明下述广义逆矩阵的性质，设。（1）；（2）；（3）。证明：（1）因为由定义可得 故由广义逆的定义可知。（2）。（3）。4、 应用逐列递推法求以下矩阵的广义逆矩阵。 解：将分块，其中（1） k=1，取的第一列（2） k=2，取的第二列和。于是得（3） k=3，取的第三列和。于是得到5、 用广义逆矩阵求解如下矛盾方程组。 解：先求出的一个满秩分解。因为的秩为2，可求出满秩分解为于是得到 故原方程组的解为6、 用正交分解法求解矛盾方程组的最小二乘解。 解： 故原方程

22、组的最小二乘解为7、解：先求出的一个满秩分解。因为的秩为2，可求出满秩分解为8、 求以下方程组的通解。 解：先求出的一个满秩分解。因为的秩为1，可求出满秩分解为 故原方程组的通解为9、 若，验证。解：，故。10、证明：若为列满秩矩阵，则；若为行满秩矩阵，则。证明：（1）若为列满秩矩阵，则有 由广义逆的定义知， （2）若为行满秩矩阵，则有 由广义逆的定义知，11、 解：12、若是列正交矩阵，试证明。证明：若是列正交矩阵，显然为列满秩矩阵，则 又，故。13、已知解： 14、试证明对称矩阵的广义逆矩阵仍然是对称的。 解： ，即对称矩阵的广义逆矩阵仍然是对称的。第五章习题解答1、给出数据点:(1)用构

23、造二次插值多项式,并计算的近似值。(2)用构造二次插值多项式,并计算的近似值。(3)用事后误差估计方法估计、的误差。解:(1)利用,作插值函数代入可得。(2)利用,构造如下差商表：一阶差商二阶差商于是可得插值多项式：代入可得。(3)用事后误差估计的方法可得误差为2、设插值基函数是试证明:对,有其中为互异的插值节点。证明：由插值多项式的误差表达式知，对于函数进行插值，其误差为，亦即精确成立，亦即。 分别取被插值函数，当时插值多项式的误差表达式，即，亦即，对于，由可知结论成立；对于时，特别地取，则有；而当时知其插值误差为，于是有，即，特别取可得，证毕。3、试验证插值多项式满足。解：由插值多项式可知

24、4、已知，求函数的阶差商。解：由差商和函数值的关系式可知，当时总有5、若，试证明：证明：由差商定义 6、若已知，求和。解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得7、考虑构造一个函数的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于，最大步长应取多大？解：由等距分段线性插值的误差表达式从而可得8、考虑构造一个函数的等距节点函数表，要使分段插值的误差不大于，最大步长应取多大？解：由等距分段插值的误差表达式从而可得9、对函数，取节点，且已知；试对构造二次插值多项式确定上式中基函数。若要使存在且唯一，插值节点应满足什么条件？解：依题意，二次多项式基函数应分别满足：（1）（2）（3）由（1）（2）（3）可得

25、，由（1）（2）（3）可知欲使存在且唯一，只需且必须插值节点互异且。10、设，证明：其中。证明：令二次多项式则易见满足：于是满足：因而，引入辅助函数，则共有四个零点，依广义定理，存在满足：从而，。证毕。11、设为插值基函数，试证明：证明：由插值，其误差表达式，故对于次数不高于一次的多项式函数有，从而，特别地取，分别可得；12、试构造一个三次多项式逼近函数，满足以下条件。解：取，由插值，其中，代入可得。13、试判断下面函数是否为三次样条函数：解：据三次样条函数的定义中函数是三次样条函数，中函数不是三次样条函数，因其在内节点处二阶导数不连续。14、给出如下的数据：试用重节点差商法构造五次插值多项式

26、满足所给条件，并给出插值误差式。若用型基本函数法，应如何构造节点基函数。解：利用重节点构造如下差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商-10-10-2-10-2100113-7010-1-4313223/211/4-1/8于是可得插值误差为:若用型基本函数法,设基函数为,其中均为五次多项式且满足,。15、已知数据对给出自然边界条件，试用三弯矩方程构造三次样条函数，并计算的近似值。给出固定边界条件，试用三转角方程构造三次样条函数，并计算的近似值。解：依三弯矩方程及自然边界条件可得线性方程组解得，于是可得依固定边界条件可得第六章习题解答1、设函数在上带权正交，试证明是线性无关组。证明：设，两

27、端与作内积，由的正交性可知，于是有，即是线性无关组。2、试确定系数的值使达到最小。解：定义上的内积为，取，则法方程为其中，于是方程组为，解之得。3、已知函数，试用二类多项式构造此函数的二次最佳平方逼近元。解：法一、取，同时由二类多项式的性质知于是可得法方程为，解之得，于是的二次最佳逼近元是法一、二类多项式，取内积权函数，于是，由正交性及可得，于是的二次最佳逼近元为4、设是定义于上关于权函数的首项系数为的正交多项式组，若已知，试求出二次多项式。解：依题意，由正交化方法知，5、试用多项式构造在上的最佳二次平方逼近多项式。解：令，即，可得，对利用多项式求其在上的最佳二次平方逼近多项式，其中，分别代入

28、可得，于是，进而可知于上的最佳二次逼近多项式为。6、已知数据求：在中寻求最佳平方逼近多项式。在中用首项系数为的正交多项式构造最佳平方逼近多项式。解：设所求的最佳平方逼近多项式为，依题意，于是法方程为，解之得，进而可得所求最佳二次逼近多项式为由首正交多项式的构造公式，可得，又于是，进而所求多项式为。7、已知一组数据，试用拟合函数拟合所给数据。解：令，得到新的数据点，对此新的数据点作线性拟合，易得法方程为，解之得，即，亦即，从而有。8、给出数据拟合函数，试确定解：误差函数，分别令，于是可得，即，解之得.9、用插值极小化方法求在上的二次插值多项式，并估计误差。解：令，于是有，设的根为于是插值极小化方

29、法的插值节点为，由插值易知所求的二次插值多项式为，误差为。10、对函数用节点构造二次插值多项式；用三阶多项式的零点构造二次插值多项式，试比较它们的误差；分别用以上两个插值多项式计算的值，比较计算结果。解：依插值易知所求的二次插值多项式为：；三阶多项式的零点为，于是相应的二次插值多项式为：；，于是可得中插值误差为：中插值误差为：可以看出；，精确值为，于是可得，。11、已知函数，。其展开式前三项为，试用多项式将其改造为三次逼近多项式。解：设其三次展式为，由，于是可得，进而可得。第七章习题解答1、试证明牛顿柯特斯求积公式中的求积系数满足。证明：取的插值节点，相应的插值基函数为，由插值基函数的性质知，

30、于是可得：。证毕。2、利用梯形公式和公式求积分的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。解：由梯形公式最大误差限为：由公式最大误差限为：。3、用复化公式求积分，要求绝对误差限小于，问步长要取多大？解：由复化公式的误差限：令可得，故至少取，相应的求积结果为：。4、推导中点求积公式证明：取以为高，长为的矩形代替在区间上与轴所围面积即可得中点求积公式，设一次多项式满足，易求得，设，易知有二重零点，于是有，记，则有三个零点，由广义定理知使得，即，于是可得，从而有,另一方面由为一次多项式知，于是由于在区间上不变号，利用积分第二中值定理可得即：。证毕。5、对变步长方法，用事后误差分析方法说明为什么可以作

31、为迭代终止条件。解：设精确积分结果为，由复化求积公式的误差，设在上变化不大，即，两式相比可得，解之可得，或者，从而当时，故可以作为迭代终止条件。6、计算积分，若分别用复化梯形公式和复化公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字。解：由复化梯形公式的误差限：解得，即至少剖分213等分；由复化公式误差限：解得，即至少剖分4等分。7、用算法计算积分（只作两次外推）。解：取，外推流程如下： 于是有8、试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。 ； 解：分别将代入求积公式，易知求积公式精确成立，代入，令求积公式精确成立，于是有，可得，代入，于是，求积公式成立，代入，求积公式

32、不精确成立，综合以上可知，该求积公式具有三次代数精度。将分别代入求积公式，令求积公式成立，则有从而解得，所求公式至少具有两次代数精度，且进一步有 ， 从而原积分公式具有三次代数精确度。9、对，已知求积公式为试确定求积系数和积分点，使代数精度尽可能高，指出代数精度是多少。解：对，令求积公式成立，可得到，对，令求积公式成立，可得到，于是，对，10、试利用线性插值导出如下求积公式解：以节点作的插值多项式，则有11、试利用以下两种方法计算，并与精确值比较。用三点公式；用求积公式作三次外推。解：设三点求积节点为，相应求积系数为，令，则，精确值为，误差为利用求积公式作三次外推，结果如下： 误差为12、对求

33、积公式，证明。证明：求积公式至少具有次精度，故取，求积公式精确成立，即，亦即。证毕。13、对积分导出两点求积公式。解：构造在上关于权函数的正交多项式，取，于是，同理可得，求的零点可得，进而可求得求积系数为，于是所求的两点求积公式为14、利用三点求积公式计算积分。； 解：由三点求积公式的节点，相应求积系数为，计算结果为；与类似可得积分15、利用三点求积公式计算积分。；解：原积分，其中，由由三点求积公式的节点，相应求积系数为，计算结果为；与类似可得积分16、对积分，求构造两点求积公式，要求在上构造带权的二次正交多项式；用所构造的正交多项式导出求积公式。解：解：构造在上关于权函数的正交多项式，取，于

34、是，同理可得，求的零点可得，进而可求得求积系数为，由可得所求的两点求积公式为17、试用计算二得积分其中，取四位小数计算。解：对方向均采用公式，于是所求积分为精确结果为。18、用中心差商数值微分公式计算在时的一阶导数，另用向前差商计算二阶导数值，取步长。解：由中心差商数值微分公式可得；类似由二阶向前差商公式可得19、试导出以下数值微分公式，并估计截断误差。解：将分别在作展开得到并化简可得可得即 20、对，试用二次多项式的零点构造一两点求积公式试确定求积系数和积分点，并用此求积公式计算积分。解：由二次多项式的零点即求积节点为，相应求积系数为，令，则于是可得，亦即，亦即。代入相应的公式可得。第八章习

35、题解答1、已知方程在附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式：；试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。解：令，则，故迭代收敛；令，则，故迭代收敛；令，则，故迭代发散。以上三中以第二种迭代格式较好。2、设方程有根，且。试证明由迭代格式产生的迭代序列对任意的初值，当时，均收敛于方程的根。证明：设，则，故，进而可知，当时，即，从而由压缩映像定理可知结论成立。3、试分别用法和割线法求以下方程的根取初值，比较计算结果。解：法：；割线法：；比较可知法比割线法收敛速度稍快。4、用嵌套算法求下列方程的根，取初值；,求方程的正根，取初值。解：依代数方程求根的嵌套算法其中分别由来计算，最终可

36、得。设，由知在区间上存在正根，取迭代初值为可得5、非线性方程组有靠近的解，使用简单迭代法求前两次迭代解。解：取简单迭代格式为取迭代初值为，可得，。6、设试计算矩阵，求出使奇异的值。解：由可得或 由(1)得，从而由(2)得，从而综合可得或7、非线性方程组可化为如下迭代函数求不动点问题试用大范围收敛定理证明在闭域上迭代函数有唯一不动点。证明：迭代函数的矩阵为当时，从而可得，由收敛定理可知结论成立。8、用方法求解线性方程组，其中是一个阶非奇异阵，将产生什么情况？解：此时，迭代格式转化为对任意迭代一步得，即为精确解。9、利用方法求下列非线性方程组的解，迭代计算直到取初值。解：由迭代格式将初值代入可得线

37、性代数方程组解之得，进而可得进而可得10、试用似牛顿法再求解上题中的非线性方程组，比较迭代次数。解：由拟牛顿法（845）式得 ，取，解出于是得到，解方程组，可得于是类似可得从而可知该迭代不收敛。11、分别用拟牛顿法和最速下降法求解以下非线性方程组，初值，计算到。解： 拟牛顿法：由（845）式得，由解出，于是，同理可得最速下降法：由（845）式得，进而可得12、再用同伦法求解上题中的方程组。解：取，计算得，构造同伦将对每一个利用法求解同伦方程并取误差为可得，最终解得13、设非线性方程，若取值，构造同伦函数，试求同伦方程的解曲线，并在上将分成等分作出的图形。解：依题意，由可得，其图形如下14、试证明把最速下降法用于求二次函数的极小化问题时，若记为的梯度向量，是的矩阵（是一个对称正定阵），则其计算格式为用此格式计算极小化问题，取。解：可将二次函数写作，其中，且对称正定，则，由最速下降格式可知第步的搜索方向为，最佳搜索步长应满足，可令，则由可得进而由的正定性可得，即为所述计算格式。取利用上述计算格式可得，。第九章习题解答 1.已知矩阵试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。解：2.设是矩