2019版高中数学 第一章 解三角形 1.2.3 三角形中的几何计算练习 新人教A版必修5.doc

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1、1第第 3 3 课时课时 三角形中的几何计算三角形中的几何计算课后篇巩固探究巩固探究 A A 组 1 1.在ABC中,AB=2,BC=5,ABC的面积为 4,则 cosABC等于( )A.B.C.-D. 解析由S=ABBCsinABC,得 4=25sinABC,解得 sinABC=,从而 cosABC=. 答案 B2 2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知 这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要( ) A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元 解析由已知可求得草皮的面积为S=2030sin 150=150(m2),则购买草皮

2、的费用为150a元. 答案 C3 3.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若 2b=a+c,B=30,ABC的面积为,则b等于( )A.1+B.C.D.2+31 + 3 22 + 3 23解析由acsin 30=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 30=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.333答案 A4 4.在ABC中,若AC=BC,C=,SABC=sin2A,则SABC=( )3 63A.B.C.D.23 43 23解析因为AB2=BC2+3BC2-2BCBC=BC2,所以A=C=,所以SABC=sin2A=,故选 A.33 2 6

3、33 4答案 A5 5.若ABC的周长等于 20,面积是 10,B=60,则边AC的长是( )3A.5B.6C.7D.8 解析在ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60,由题意,得解得b=7,故边AC的长为 7.60 =2+ 2- 22,1 260 = 10 3, + + = 20,?即2= 2+ 2- , = 40, + + = 20,?答案 C26 6.已知ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C= . 2+ 2- 24解析在ABC中,SABC=,2+ b2- 24而SABC=absin C,absin C.2+ 2- 24=1 2由余弦定理,得c2=a2+b2-

4、2abcos C,cos C=sin C,C=45. 答案 457 7.已知三角形的面积为,其外接圆面积为 ,则这个三角形的三边之积等于 . 解析设三角形的外接圆半径为R,则由 R2=,得R=1.由S=absin C=,故 4= 4=1 4abc=1. 答案 18 8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c. ( - )证明由余弦定理的推论得 cos B=,2+ 2- 22cos A=,代入等式右边,得2+ 2- 22右边=c(2+ 2- 22-2+ 2- 22)=左边,22- 222=2- 2= 故原式得证.9 9.如图,在ABC中,BC=5,AC=4,cosCAD=,

5、且AD=BD,求ABC的面积.31 32 解设CD=x,则AD=BD=5-x.在CAD中,由余弦定理,得cosCAD=,解得x=1.42+ (5 - )2- 22 4 (5 - )=31 323CD=1,AD=BD=4.在CAD中,由正弦定理,得, = 则 sin C=4. 1 - 21 -(31 32)2=3 87SABC=ACBCsin C=45,故ABC的面积为.3 87 =15 4715 471010.导学号 04994016 若ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-

6、(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,c2-(a-b)2=2ab(1-cos C), 即S=2ab(1-cos C).S=absin C,sin C=4(1-cos C). 又 sin2C+cos2C=1,17cos2C-32cos C+15=0,解得 cos C=或 cos C=1(舍去).15 17sin C=,8 17S=absin C=a(2-a)=-( a-1)2+.4 174 174 17a+b=2,0C,C为锐角,且 cos C=5 3 14.由c2=a2+b2-2abcos C,得b2-11b+24=0,解得b=3 或b=8.当b=8 时,角B

7、是1 - 2=11 14钝角,cos B=0,b=8 舍去.同理验证可知b=3 符合条2+ 2- 22=49 + 25 - 64 2 7 5=1 7件.SABC=absin C=73.5 3 14=15 3 44答案 C2 2.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 3acos C=4csin A,若ABC的面积 S=10,b=4,则a的值为( )A.B.C.D.23 325 326 328 3解析由 3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得, =4 3 = =4 3tan C=,sin C=.又S=bcsin A=10,b=4,csin A=5.根据正弦定理,得a=

8、,故选 B. =5 3 5=25 3答案 B3 3.在ABC中,ab=60,SABC=15,ABC的外接圆半径为,则边c的长为 . 33解析SABC=absin C=15,ab=60,sin C=.33 2由正弦定理,得=2R,则c=2Rsin C=3. 答案 34 4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为 3,b-c=2,cos 15A=-,则a的值为 . 解析SABC=bcsin A=bcbc=3,bc=24.1 - 2=1 215 415又b-c=2,a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc=4+224+24=64.(-1 4)a

9、为ABC的边,a=8. 答案 85 5.在ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,ADB=120,AD=2.若ADC的面积为 3-,则3BAC= . 解析如图,由SADC=3-和SADC=ADDCsin 60,得 3-2DC,解得33 =1 23 2DC=2(-1),则BD=DC=-1.33在ABD中,AB2=BD2+AD2-2BDADcos 120=(-1)2+4-2(-1)2=6,AB=.33(-1 2)6在ADC中,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos 60=22+2(-1)2-222(-1)=24-12,333AC=-1).6( 35在ABC中,cosBAC=,BAC=60.2+

10、2- 22=6 + 24 - 12 3 - 9( 3 - 1)22 6 6( 3 - 1)=1 2答案 606 6.导学号 04994017 如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.解连接BD,则四边形ABCD的面积为S=SABD+SCDB=ABADsin A+BCCDsin C.A+C=180,sin A=sin C, S= (ABAD+BCCD)sin A= (24+64)sin A=16sin A.在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=22+42-224cos A=20-16cos A.

11、 在CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CBCDcos C=62+42-264cos C=52-48cos C.20-16cos A=52-48cos C. cos C=-cos A,64cos A=-32,cos A=-. 又A(0,180),A=120,S=16sin 120=8.37 7.已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 2R(sin2A-sin2C) =(a-b)sin B,求ABC面积的最大值.2解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,2即a2+b2-c2=ab.2由余弦定理,得 cos C=.2+ 2- 22=2 2=2 2C(0,),C= . 4S=absin C=2Rsin A2Rsin B2 2=R2sin Asin B2=R2sinA2(2 2 +2 2)6=R2(sin Acos A+sin2A)=R2(1 22 +1 - 2 2)=R2.2 2(2 - 4)+1 2A.2A-,(0,3 4) 4(- 4,5 4)sin,S,(2 - 4)(-2 2,1(0,2 + 1 22ABC面积的最大值为R2.2 + 1 2