2019版高中数学 第一章 计数原理 习题课 二项式定理学案 新人教A版选修2-3.doc

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1、1习题课习题课 二项式定理二项式定理学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题1二项式定理及其相关概念二项式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，0n1nk nn n称为二项式定理二项式系数C (k0,1，n)k n通项Tk1Cankbk(k0,1，n)k n二项式定理的特例(1x)nC CxCx2CxkCxn0n1n2nk nn n2二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C C；m nnmn(2)性质：CCC ；kn1k1nk n(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即2Cnn最大

2、；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即1 2Cnn 1 2Cnn 最大；(4)二项式系数之和：C C C C C 2n，所用方法是赋值法0n1n2nk nn n类型一 二项式定理的灵活应用命题角度1 两个二项式积的问题例 1 (1)(1)6(1)4的展开式中x的系数是( )xxA4 B3 C3 D4(2)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为 5，则a_.考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 (1)B (2)12解析 (1)方法一 (1)6的展开式的通项为 C ()mC (1)m2m x，(1)4的展xm6xm6x开式的通项为 C ()nC2

3、n x，其中m0,1,2，6，n0,1,2,3,4.n4xn4令 1，得mn2，于是(1)6(1)4的展开式中x的系数等于 C (1)m 2n 2xx0 60C C (1)1C C (1)2C 3.2 41 61 42 60 4方法二 (1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x)，于是(1xxxxxx)6(1)4的展开式中x的系数为 C 1C (1)113.xx0 41 4(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5.x2的系数为 C aC ，2 51 5则 105a5，解得a1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自

4、项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得跟踪训练 1 (1)5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式的常数项为( )(xa x)(2x1 x)A40 B20 C20 D40(2)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 (1)D (2)120解析 (1)令x1，得(1a)(21)52，a1，故5的展开式中常数项即为5的展开式中 与x的系数之和(x1 x)(2x1 x)(2x1 x)1 x5的展开式的通项为Tk1

5、(1)kC 25kx52k，(2x1 x)k5令 52k1，得k2，展开式中x的系数为 C 252(1)280，2 5令 52k1，得k3，展开式中 的系数为 C 253(1)340，1 x3 55的展开式中常数项为 804040.(x1 x)(2x1 x)(2)f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)C C C C C C C C 120.3 6 0 42 6 1 41 6 2 40 6 3 43命题角度2 三项展开式问题例 2 5的展开式中的常数项是_(x 21 x 2)考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 63 22解析 方法一 原式5，(x 21 x)

6、 2展开式的通项为 11kT15Ck 1 15122kkx x(k10,1,2，5)当k15 时，T6()54，22当 0k10，则(1x)1010的展开式中的常数项为( )(11 x)A1 B(C)21 10CC DC1 201020考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 D解析 (1x)1010101020.设其展开式的通项为(11 x)1x(11 x)(x1 x2)(x1x)Tk1，则Tk1Cx10k，当k10 时，为常数项故选 D.k204当n为正奇数时，7nC 7n1C 7n2C7 被 9 除所得的余数是( )1n2nn1nA0 B2 C7 D8考点 二项式定

7、理的综合应用7题点 整除和余数问题答案 C解析 原式(71)nC 8n1(91)n nn19nC 9n1C 9n2C9(1)n1(1)n1.因为n为正奇数，所以1n2nn1n(1)n1297，所以余数为 7.5设(21)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等3x比数列，则展开式中第四项为_考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 160x解析 当x1 时，可得M1，二项式系数之和N2n，由题意，得MN64，2n64，n6.第四项T4C (2)3(1)3160x.3 63x1两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分

8、析，发现它们各自项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得2三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性3用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了4求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入5确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质一、选择题1二项式12的展开式中的常数项是( )(x2x)A第 7 项 B第 8 项C第

9、9 项 D第 10 项考点 二项展开式中的特定项问题8题点 求二项展开式的特定项答案 C解析 二项展开式中的通项公式为Tk1Cx12kkC2k3122kx，令k12(2x)k1212k0，得k8.3 2常数项为第 9 项2(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是( )A56 B84 C112 D168考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 D解析 因为(1x)8的通项为 Cxk，(1y)4的通项为 Cyt，故(1x)8(1y)4的通项为 C Ck8t4k8xkyt.t4令k2，t2，得x2y2的系数为 C C 168.2 8 2 43若(x3y)n的展开式中所

10、有项的系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为( )A15 B10 C8 D5考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 D解析 由于(7ab)10的展开式中二项式系数的和为 CC210，令(x3y)n中0 101010xy1，则由题设知，4n210，即 22n210，解得n5.4若二项式7的展开式中的系数是 84，则实数a等于( )(2xa x)1 x3A2 B. C1 D.424考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 C解析 二项式7的展开式的通项公式为Tk1C (2x)7kkC 27kakx72k，(2xa x)k7(

11、a x)k7令 72k3，得k5.故展开式中的系数是 C 22a5，即 C 22a584，解得a1.1 x35 75 75设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式9系数的最大值为b，若 13a7b，则m等于( )A5 B6 C7 D8考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项答案 B解析 (xy)2m展开式中二项式系数的最大值为 C，aC.同理，bC.m2mm2mm12m113a7b，13C7C，m2mm12m1137，m6.2m！m！m！2m1！m1！m！6二项式6的展开式中不含x3项的系数之和为( )(x21

12、x)A20 B24 C30 D36考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 A解析 由二项式的展开式的通项公式Tk1C (1)kx123k，令 123k3，解得k3，k6故展开式中x3项的系数为 C (1)320，而所有系数和为 0，不含x3项的系数之和为3 620.7在(1x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1x2)n的值为( )A0 BABCA2B2 DA2B2考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 C解析 (1x)nAB，(1x)nAB，(1x2)n(1x)n(1x)n(AB)(AB)A2B2.89192被 1

13、00 除所得的余数为( )A1 B81 C81 D992考点 二项式定理的综合应用题点 整除和余数问题答案 B解析 利用 9192(1009)92的展开式，或利用(901)92的展开式方法一 (1009)92C10092C100919C1009092C100991C992.0 921 922 929192929210展开式中前 92 项均能被 100 整除，只需求最后一项除以 100 的余数由 992(101)92C1092C102C101.0 9290929192前 91 项均能被 100 整除，后两项和为919，因原式为正，可从前面的数中分离出 1 000，结果为 1 00091981，9

14、192被 100 除可得余数为 81.方法二 (901)92C9092C9091C902C90C.0 921 92909291929292前 91 项均能被 100 整除，剩下两项为 929018 281，显然 8 281 除以 100 所得余数为81.二、填空题9若6的二项展开式中，常数项为，则二项式系数最大的项为_(x21 ax)15 16考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项答案 x3或x35 25 2解析 6二项展开式的通项为Tk1C (x2)6kkCakx123k，令(x21 ax)k6(1 ax)k6123k0，得k4，Ca4，解得a2，4 615

15、16当a2 时，二项式系数最大的项为 C (x2)333 6(1 2x)x3.5 2当a2 时，二项式系数最大的项为 C (x2)33x3.3 6(1 2x)5 210.3的展开式中常数项为_(x21 x22)考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 20解析 36展开式的通项公式为Tk1C (1)kx62k.令 62k0，解得(x21 x22)(x1 x)k6k3.故展开式中的常数项为C 20.3 611(1.05)6的计算结果精确到 0.01 的近似值是_考点 二项式定理的综合应用题点 整除和余数问题11答案 1.34解析 (1.05)6(10.05)6C C 0.0

16、5C 0.052C 0.05310.30.037 0 61 62 63 650.002 51.34.12已知n的展开式中含x的项为第 6 项，设(1x2x2)(x21 x)na0a1xa2x2a2nx2n，则a1a2a2n_.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 255解析 因为n的展开式的通项是 C (1)kx2n3k(k0,1,2，n)，因为含x的项(x21 x)k n为第 6 项，所以当k5 时，2n3k1，即n8.令x1，得a0a1a2a2n28256.又a01，所以a1a2a2n255.三、解答题13在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列(x12x)(1

17、)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 (1)二项式n的展开式中，前三项的系数分别为 1，.(x12x)n 2nn18根据前三项的系数成等差数列，可得n1，求得n8 或n1(舍去)nn18故二项式n的展开式的通项为Tk1C 2kx4k.令 4k0，求得k4，可得(x12x)k8展开式中的常数项为T5C 4.4 8(1 2)35 8(2)设第k1 项的系数最大，则由Error!求得 2k3.因为kZ Z，所以k2 或k3，故系数最大的项为T37x2或T47x.四、探究与拓展14若(x2m)9a0a1(x1)a2(

18、x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m_.考点 展开式中系数的和问题题点 多项展开式中系数的和问题答案 3 或 112解析 在(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9中，令x2，可得a0a1a2a3a8a9m9，即(a0a2a8)(a1a3a9)m9，令x0，可得(a0a2a8)(a1a3a9)(2m)9.(a0a2a8)2(a1a3a9)239，(a0a2a8)(a1a3a9)(a0a2a8)(a1a3a9)39，(2m)9m9(2mm2)939，可得 2mm23，解得m1 或3.15已知(1m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为

19、 256，展开式中含有x项的系x数为 112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1m)n(1x)的展开式中含x2项的系数x考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数解 (1)由题意可得 2n256，解得n8，展开式的通项为Tk1Cmk2k x，k8含x项的系数为 Cm2112，2 8解得m2 或m2(舍去)故m，n的值分别为 2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为 C C C C 281128.1 83 85 87 8(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8，xxx含 x2项的系数为 C 24C 221 008.4 82 8