2019版高中数学 第二章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值学案 苏教版选修2-3.doc

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1、- 1 -2 25.15.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题知识点一 离散型随机变量的均值或数学期望设有 12 个西瓜，其中 4 个重 5 kg,3 个重 6 kg,5 个重 7 kg.思考 1 任取 1 个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？思考 2 当X取上述值时，对应的概率分别是多少？思考 3 如何求每个西瓜的平均重量？梳理 离散

2、型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表：Xx1x2xnPp1p2pn(1)数学期望：E(X)_.(2)性质pi0，i1,2，n；p1p2pn1.- 2 -(3)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的_知识点二 两点分布、超几何分布、二项分布的均值1两点分布：若X01 分布，则E(X)_.2超几何分布：若XH(n，M，N)，则E(X)_.3二项分布：若XB(n，p)，则E(X)_.类型一 离散型随机变量的均值命题角度1 一般离散型随机变量的均值例 1 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得100 分，假设

3、这名同学回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；(2)求这名同学总得分不为负分(即X0)的概率反思与感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值(2)求出X取每个值的概率P(Xk)- 3 -(3)写出X的分布列(4)利用均值的定义求E(X)跟踪训练 1 在有奖摸彩中，一期(发行 10 000 张彩票为一期)有 200 个奖品是 5 元，20 个奖品是 25 元，5 个奖品是 100 元在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？命题角度2 二项分布与两点分布的均值引申探

4、究在重复 5 次投篮时，命中次数为Y，随机变量5Y2.求E()例 2 某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求投篮 1 次命中次数X的均值；(2)求重复 5 次投篮，命中次数Y的均值反思与感悟 (1)常见的两种分布的均值- 4 -设p为一次试验中成功的概率，则两点分布E(X)p；二项分布E(X)np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度(2)两点分布与二项分布辨析相同点：一次试验中要么发生要么不发生不同点：a随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为 0,1，二项分布中随机变量的取值X0,1,2，n.b试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验跟踪训练 2 根据

5、以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值命题角度3 超几何分布的均值- 5 -例 3 一个口袋内有n(n3)个大小相同的球，其中有 3 个红球和(n3)个白球已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是 .不放回地从口袋中随机取出 3 个球，求取到白球的个数3 5的均值E()反思与感悟 (1)超几何分布模型一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P

6、(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN N*.Ck MCnkNM Cn N(2)超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X).nM N跟踪训练 3 设在 15 个同类型的零件中有 2 个次品，每次任取 1 个，共取 3 次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的个数，求均值E(X)- 6 -类型二 均值的应用例 4 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立，第1 21 局甲当裁判(1)求第 4 局甲当裁判的概率；(

7、2)X表示前 4 局中乙当裁判的次数，求X的均值反思与感悟 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值跟踪训练 4 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数

8、为X，求X的概率分布和均值- 7 -1现有一个项目，对该项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元，1.18 万元，1.17 万元的概率分别为 ， .随机变量X表示对此项目投资 10 万元一年后的利润，则X的均值为1 61 21 3_2若p为非负实数，随机变量的概率分布如下表：012Pp1 2p1 2则E()的最大值为_3设随机变量XB(40，p)，且E(X)16，则p_.4袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的概率分布、均值；(2)若a4，E()1，求a的值- 8 -1求离散型随机

9、变量的均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否(3)根据公式写出均值2若X、Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值- 9 -答案精析答案精析问题导学知识点一思考 1 X5,6,7.思考 2 P(X5) ，4 121 3P(X6) ，P(X7).3 121 45 12思考 3 5 6 7.5 46 37 5 121 31 45 1273 12梳理 (1)x1p1x2p2xnpn(3)平均水平知识点二1p 2. 3.npnM N题型探究例 1 解 (1)X的可能取值为300，10

10、0,100,300.P(X300)0.230.008，P(X100)C 0.80.220.096，1 3P(X100)C 0.820.210.384，2 3P(X300)0.830.512，所以X的概率分布如下表：X300100100300P0.0080.0960.3840.512所以E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分)(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X0)P(X100)P(X300)0.3840.5120.896.跟踪训练 1 解 设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为 0,5,25,100.依题意X的概率分布如

11、下表：X0525100P391 4001 501 5001 2 000- 10 -所以E(X)0525100391 4001 501 5001 2 0000.2，所以一张彩票的合理价格是 0.2 元例 2 解 (1)投篮 1 次，命中次数X的概率分布如下表：X01P0.40.6则E(X)0.6.(2)由题意知，重复 5 次投篮，命中次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)，E(Y)np50.63.引申探究解 E()E(5Y2)5E(Y)253217.跟踪训练 2 解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p(10.5)0.3，解得p0.6.(1)设所求概率为P1，则P11(10.5)(10.

12、6)0.8.故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8.(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2)，E(X)1000.220.X的均值是 20.例 3 解 p ， ，n5，3 53 n3 55 个球中有 2 个白球方法一 白球的个数可取 0,1,2.则P(0)，C3 3 C3 51 10P(1) ，C2 3C1 2 C3 53 5P(2).C1 3C2 2 C3 53 10E()0 12 .1 103 53 106 5方法二 取到白球的个数服从参数为N5，M2，n3 的超几何分布，- 11 -则E() .nM N

13、3 2 56 5跟踪训练 3 解 方法一 P(X0)，C 3 13 C 3 1522 35P(X1)，C1 2C 2 13 C 3 1512 35P(X2)，C2 2C 1 13 C 3 151 35则E(X)01222 3512 351 35 .2 5方法二 由题意可知，X服从N15，M2，n3 的超几何分布，E(X) .Mn N2 3 152 5例 4 解 (1)记A1表示事件“第 2 局结果为甲胜” ，A2表示事件“第 3 局甲参加比赛，结果为甲负” ，A表示事件“第 4 局甲当裁判” 则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2) .1 4(2)X的可能取值为 0,1,2.记

14、A3表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙” ，B1表示事件“第 1 局结果为乙胜丙” ，B2表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲” ，B3表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负” 则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3) ，1 8P(X2)P(1B3)P(1)P(B3)BB ，1 4P(X1)1P(X0)P(X2)1 ，1 81 45 8E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2) .9 8跟踪训练 4 解 (1)记事件A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球，- 12 -A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球，B1顾客抽奖 1 次获一等奖，B2顾客抽奖 1

15、 次获二等奖，C顾客抽奖 1 次能获奖由题意，A1与A2相互独立，A1 2与1A2互斥，B1与B2互斥，且AAB1A1A2，B2A1 21A2，CB1B2.AA因为P(A1) ，P(A2) ，4 102 55 101 2所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2) ，2 51 21 5P(B2)P(A1 21A2)P(A1 2)P(1A2)AAAAP(A1)P(2)P(1)P(A2)AAP(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2) 2 5(11 2) (12 5)1 2 .1 2故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2) .1 51 27 10(2)顾客抽奖 3 次可视为 3

16、次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ，1 5所以XB.(3，1 5)于是P(X0)C030 3(1 5) (4 5)，64 125P(X1)C12，1 3(1 5) (4 5)48 125P(X2)C21，2 3(1 5) (4 5)12 125P(X3)C30.3 3(1 5) (4 5)1 125故X的概率分布如下表：X0123P64 12548 12512 1251 125故X的均值为E(X)3 .1 53 5- 13 -当堂训练11.18 2. 3.0.43 24解 (1)的概率分布如下表：01234P1 21 201 103 201 5的均值为E()0 1234 .1 21 201 103 201 53 2(2)E()aE()41，又E() ，3 2则 a 41，a2.32