综合与实践硬币滚动中的数学.ppt

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1、硬硬 币币 滚滚 动动 中中 的的 数数 学学资中县第一中学资中县第一中学 王王 烈烈 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了()A.1圈 B.1.5圈C.2圈 D.2.5圈 小李说，因M和N的周长都是 ，所以，N固定，M沿着N的边缘滚动，M也刚好一圈就能回到原位.小李说对了吗？先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请在硬币M上作好记号.实验的结果是，实验的结果是，M M沿着沿着N N的边缘滚动，要的边缘滚动，要滚动二圈滚动二圈.为什么M沿着N的边缘滚动，会滚动二圈，而不是一圈呢？这里面隐含着怎样的数学知识呢？这节课我们一起来学习“硬币滚动

2、中的数学硬币滚动中的数学”.学习二次函数时，由抛物线1平移得到抛物线2，研究平移的方向和距离，可考查的两抛物线的特殊点顶点。硬币在平面上滚动，要研究它滚动情况，观察什么点最理想？要研究M沿着N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简单的情形，即O在线段AB上滚动的情形图2。问题问题1 1：如图2，将一枚半径为r的硬币在长度为2r直线段AB上滚动，滚动的过程中：圆滚动时，圆心经过的路径的长 度与圆滚动过的长度有什么关系？这枚硬币滚动的距离为多少？1圈圈O与直线AB是怎样的位置关系？从A到B要滚动几圈?圆心移动了多少距离？相切相切2r2r2r2r圆心。圆心。圆滚动时，圆心经过的路径的长度圆滚动时，圆心经过

3、的路径的长度等于圆滚动过的长度等于圆滚动过的长度.问题问题1 1：如图2，将一枚半径为r的硬币在长度为2r直线段AB上滚动，滚动的过程中：圆滚动时，圆心经过的路径的长 度与圆滚动过的长度有什么关系？这枚硬币滚动的距离为多少？1圈圈O与直线AB是怎样的位置关系？从A到B要滚动几圈?圆心移动了多少距离？相切相切2r2r2r2r圆滚动时，圆心经过的路径的长度圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度等于圆滚动过的长度.变式变式 问题问题2 2：如图3，线段AB=4r，则这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B需滚动几圈？通过问题1和问题2,当硬币在直线段上滚动时，圆心经过的路径的长度与圆滚动过的长度

4、有什么关系？滚动的圈数、滚动的路径与圆的周长三者之间有什么规律?硬币滚动的圈数硬币滚动的圈数=2 2圈圈 问题问题3 3：若将图3的线段AB从中点C处折成一个直角形状，如图4（1）.这时两折线段的总长仍为4r，这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B是否还是滚动2圈？(1)猜一猜还是刚好滚动2圈吗？(2)算一算滚动了几圈？如图4(2)。(提示：找出圆心经过的路线.)所以滚动的圈数为 当AC+BC=4r，但ACBC时，还成立吗？为什么？圆心经过的路线如图4(2)，是由两条长为2r的线段和一条圆心角为90度、半径为r的弧组成，总长度为 成立。因为圆心经过的路线总长度没变。2r2rr900当AC+BC=4

5、r，但ACBC时，还成立吗？为什么？成立。因为圆心经过的路线总长度没变。()图4(1)两折线的夹角由90度变为60度，所以滚动的圈数为当AC+BC=4r，但ACBC，还成立吗？为什么？圆心经过的路线是由两条长为2r的线段和一条圆心角为120度、半径为r的弧组成，圆心经过的总长度为 120度2r2r如图5(1).成立。因为圆心经过的路线总长度没变。从上面两个例子中，当圆在折线上的折点处滚动时，你认为圆心转动的弧的圆心角度数x与折线的夹角有什么关系？9001200 x圆心转动的弧的圆心角度数圆心转动的弧的圆心角度数x与折线的夹角与折线的夹角互补互补或或x=180=1800 0-折折线线段段夹夹角角

6、图图形形折折线线段段总总长长弧弧对对的的圆圆心角心角圆圆心心经过经过的的路径路径总长总长滚动的圈数滚动的圈数 90度度折折线线90度度60度度折折线线120度度度度折折线线度度折折线线a180-度180-度 半径为r的圆，在两条折线和为a且夹角为度两条折线上滚动，滚动的圈数是：(180-)度()图5(1)折线总长为4r,连AB，得等边ABC,如图7(1).等边ABC的周长为6r，O从点A开始，经过点C、点B最后回到开始位置，如图7(1).猜想猜想这枚硬币会滚动多少圈？圆心经过的路线如图7(2)，是由三条长为2r的线段和三条圆心角为120度、半径为r的弧组成，圆心经过的总长度为 所以滚动的圈数为

7、2r2r2r1200图形名称图形圆心经过的每条弧线所对的圆心角圆心经过的弧线所对的圆心角之和等边三角形12003600正方形正n边形任意n边形3600?？3600圆在下列多边形外部滚动一周时：90900 03603600 0？=等边正方形图形名称图形周长圆心经过路线的所有弧的和圆心经过的路径长圆滚动圈数等边三角形正方形a思考：三角形的周长不变，由等边三角形换成任意三角形，圆滚动圈数会不会改变？为什么？四边形的周长不变，由正方形形换成任意四边形，圆滚动圈数会不会改变？为什么？不变不变.圆心经过路线的所有弧的和都是圆的周长2r.不变不变.圆心经过路线的所有弧的和都是圆的周长2r.圆在下列多边形外部

8、滚动一周时：半径为半径为r r的圆沿周长为的圆沿周长为a任意多边形滚动一周，圆任意多边形滚动一周，圆滚动几圈？滚动几圈？任意n边形任意n边形？圆的周长圆的周长圆的周长?等边三角形正方形正方形 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了()A.1圈 B.1.5圈C.2圈 D.2.5圈 如图8，M的圆心M所经过的路线是一个以点N为圆心，2r为半径的圆，所以圆心M所经过的路程为4 4r，M滚动的圈数为 小李说，因M和N的周长都是2r，所以，N固定，M沿着N的边缘滚动，M也刚好一圈就能回到原位.现在你能否告诉大家,小李为什么说错了吗？如图9(1),将

9、5枚半径为1cm的硬币放在桌上排成一条直线，固定右边的4枚，将最左边的一枚硬币，从圆O位置沿着另4枚的边缘滚动到最右边圆S位置，5个圆还是排成一条直线，这时硬币滚动的路程是 cm，转了 圈.A AB BC CD D4 42 2请试试画出圆心滚动的路线.弧OB所在圆的半径OA是多少,弧OB对的圆心角OAB是多少？弧BD所在圆的半径BC是多少,弧BD对的圆心角BCD是多少？一周，则硬币圆A滚动的路程（）.将4个半径为r的硬币拼成如图10(1)的形状，再将另一个半径为r的硬币从圆A位置，绕着另4个圆的外部滚动弧AB所在圆的圆心在什么位置？弧AB所在圆的半径是多少？弧AB对的圆心角是多少？请试试画出圆

10、心滚动的路线.点点D D线段线段ADAD的长的长2 2rADB=150ADB=1500 02.如图11(1)，线段AB=6r，半径为r的硬币从点A滚动到点B需滚动 圈.4.正方形ABCD的周长为4r,将半径为r的硬币沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了()3.图11(2),半径为2r的硬币固定,将半径为r的硬币沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了()A.1圈 B.2圈C.3圈 D.4圈C C3 31.硬币滚动时,若圆经过的路径长5cm,则圆心经过的路径 长 cm;5C C A.1圈 B.2圈C.3圈 D.4圈；我学会了我学会了 我感受到了我感受到了 我知道了我知道了 2.将6个硬币半径为r拼成如图12(2)的形状，(顺次连结6个圆心，刚好组成一个正六边形)，再将另一个硬币绕着它的外部滚动一周，则这枚硬币滚动的路程是 .课外思考题课外思考题:1.将7枚半径为r的硬币放在桌上排成一条直线，固定右边的6枚图12(1)，将最左边的一枚沿着它们的边缘滚动一周，这时硬币滚动的路程为 ，滚动了 圈.祝祝同同学学们们天天天天开开心心！再再 见见!