角平分线（2）三角形的内心(精品).ppt

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1、 1.4 1.4 角平分线（角平分线（2 2）角平分线的性质定理与逆定理角平分线的性质定理与逆定理 亲历知识的发生和发展w剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论结论:三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点.你能证明这个命题吗?w观察这三条角平分线,你发现了什么?怎样证三条直线交于一点怎样证三条直线交于一点命题命题:三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点w基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.已知：如图设ABC的角平分线B

2、M,CN相交于点P求证：点P在A的平分线上证明：过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.BM是ABC的角平分线,点P在BM上且PDAB,PEBC,ABC的三条角平分线相交于一点P.ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.PD=PF PDAB,PMAC,点P在BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).定理定理:三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点,并且这并且这一点到三边的距离相等一点到三边的距离相等.如图如图,在在ABCABC中中,BM,CN,AHBM,CN,AH分别

3、是分别是ABCABC的的三条角平分线三条角平分线,且且PDAB,PEBC,PFAC(PDAB,PEBC,PFAC(已已知知),),BM,CN,AHBM,CN,AH相交于一点相交于一点P,P,且且PD=PE=PFPD=PE=PF几何的几何的三种语言三种语言ABCPMNDEF1.如图，点点P为为ABC三条角平分线三条角平分线交点，交点，PDAB，PEBC，PFAC，则则PD_PE_PF若若S ABC=18，C ABC=9,求P到AC的距离.2、如图、如图,在在ABCABC中中,已知已知AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平分线的角平分线,DEAB,垂足为垂足为E.(1)如果CD=4cm

4、,AC的长;(2)求证求证:AB=AC+CD.EDABC3、已知、已知BE、CF是是ABC的角平分线，的角平分线，相交于相交于D,若若A=500，则求，则求BDC变式、已知变式、已知BE、CF是是ABC的角平分的角平分线，相交于线，相交于D,若若 BDC=1300，则求则求A.4.4.已知已知:如图如图,ABCABC的的外角外角CBDCBD和和BCEBCE的角平分线相交于点的角平分线相交于点F.F.求证求证:点点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上.ABCFDE结论：在三角形内部，到三边距离相结论：在三角形内部，到三边距离相等的点有等的点有个，在三角形外部，到个，在三角形外部，到三边所在

5、直线距离相等的点有三边所在直线距离相等的点有个个13应用应用、如图：表示三条相互交叉的公路，如图：表示三条相互交叉的公路，先要建一个货物中转站，要求它到三先要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址是条公路的距离相等，可选择的地址是否只有一个呢否只有一个呢?回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等.w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到且到角的两边距离相等的点角的两边距离相等的点,在这在这个角的平分线上个角的平分线上.w定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).

6、小结 拓展OCB1A2PDE知识的升华独立独立作业作业P9习题1.5 1,2,3题.祝你成功！如图：在如图：在ABC中，中，A的平分线与的平分线与BC的垂的垂直平分线交于直平分线交于D,DE AB,DF AC,E,F分别分别为垂足为垂足求证：求证：BE=CF1.已知已知:如图如图,C=900,B=300,AD是是 RtABCABC的角的角平分线平分线.求证求证:BD=2CD.:BD=2CD.ABCD3、已知：如已知：如图图在在ABC中，中，C=90，AD平分平分BAC，交，交BC于于D，若，若BC=32，且，且BD CD=9 7，求：，求：D到到AB边边的距离的距离.3.已知:如图,P是AOB平分线上的一点,PCOA,PDOB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.BAPDCO结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!