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1、第三章 线性系统的能控，能观性 控制控制u(tu(t)对状态对状态x(tx(t)的控制能力的控制能力输出输出y(ty(t)反映状态反映状态x(tx(t)的能力的能力第三章 线性系统的能控，能观性 控制控制u(tu(t)对状态对状态x(tx(t)的控制能力的控制能力输出输出y(ty(t)反映状态反映状态x(tx(t)的能力的能力能控性能控性历史：最优控制和最优估计的基础历史：最优控制和最优估计的基础 能观性能观性能控标准型能控标准型能观标准型能观标准型结构分解结构分解3.1 3.1 系统的能控性系统的能控性状态的能控性状态的能控性n定义定义n定理定理 3-1 n推论推论n准则准则 .能控性定义能

2、控性定义若存在分段连续的若存在分段连续的u(tu(t)，能在有限的时间区间内，使系，能在有限的时间区间内，使系统由某一初始状态统由某一初始状态x x0 0,转移到指定的转移到指定的任一终端状态任一终端状态x(tx(tf f),),则称次状态是能控的若系统则称次状态是能控的若系统所有的状态都是能控的所有的状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统能控反之则称此系统是状态完全能控的，简称系统能控反之,只只要有一个状态不能控要有一个状态不能控,就称系统不能控就称系统不能控.线性连续定常系统能控性定义线性连续定常系统能控性定义 .能控性定义能控性定义状态能达状态能达 3)分段连续的u(t),

3、无约束P1P2P3P4P5P1)对于线性定常系统常选t0=0,x(tf)=02)可选x(t0)=0,x(tf)任意.能控性定义能控性定义n线性时变系统定义 若存在输入信号 ，能在有限时间 内，将系统的任意一个初始状态 转移到终端状态 ，那么，称该系统的状态变量 在时刻 是完全能控的，或简称系统在时刻t0 是能控的。否则，系统就是不完全能控的，或简称不能控的。.能控性定义能控性定义2线性离散定常系统能控性定义线性离散定常系统能控性定义 能控性的例子能控性的例子:-1-2.能控性定义能控性定义2线性离散定常系统能控性定义线性离散定常系统能控性定义 存在控制序列存在控制序列u(k),u(k+1),.

4、,u(N-1),u(k),u(k+1),.,u(N-1),能将第能将第k k步的某个状态步的某个状态x(kx(k),),在第在第N N步上到达零状态步上到达零状态,x(Nx(N)=0.)=0.其中其中N N是大于是大于k k的有限正的有限正数数.那么就说系统在第那么就说系统在第k k步上是能控的步上是能控的.若系统在第若系统在第k k步步所有的所有的状态状态x(kx(k)都是能控的都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称，则称此系统是状态完全能控的，简称系统能控反之系统能控反之,只要有一个状态不能控只要有一个状态不能控,就称系统不能控就称系统不能控.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系

5、统能控性判别的秩等于的秩等于n.rank(M)=n N N阶线性定常系统能控的充要条件为能控性判别阵阶线性定常系统能控的充要条件为能控性判别阵单输入系统单输入系统.2.2 线性连续定常系统能控性判别线性连续定常系统能控性判别证明证明:.2.2 线性连续定常系统能控性判别线性连续定常系统能控性判别证明证明:.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别解解:例题例题 3-1 判别系统的可控判别系统的可控性性系统不能控.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别rank(M)=3=n 解解:例例3-2 判别系统的可控性判别系统的可控性所以系统能控.2.2 线性定常系统能控性判别线

6、性定常系统能控性判别解解:例例3-3 判别系统的可控性判别系统的可控性系统能控.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别解解:系统能控此结论可推广到高阶约当型的系统.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别多输入多输出系统多输入多输出系统系统能控的秩等于的秩等于n.rank(M)=n N N阶线性定常系统能控的充要条件为能控性判别阵阶线性定常系统能控的充要条件为能控性判别阵.2.2 线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别解解:例题例题 3-4判别系统的可控性

7、判别系统的可控性系统能控.3.3 线性连续定常系统能观性线性连续定常系统能观性能观性能观性:如果对于任意给定的输入如果对于任意给定的输入u(t),在有限的观测时间在有限的观测时间,tft0,使得根据使得根据t0,tf期间的输出期间的输出y(t),能唯一地确定系统在能唯一地确定系统在初始时刻的状态初始时刻的状态x(t0),则称状态则称状态x(t0),是能观测的是能观测的.若系统的每若系统的每一个状态都是能观测的一个状态都是能观测的,则称系统是状态完全能观测则称系统是状态完全能观测,或简称系或简称系统能观统能观.1)y(t)反映x(t)的能力.u=02)m=n,x=C-1y3)可由x0 x(t).

8、3.3 线性连续定常系统能观性线性连续定常系统能观性ab.3.3 线性连续定常系统能观性线性连续定常系统能观性能观性判别能观性判别:的秩等于的秩等于n.rank(N)=n N N阶线性定常系统能观的充要条件为能观性判别阵阶线性定常系统能观的充要条件为能观性判别阵.3.3 线性连续定常系统能观性线性连续定常系统能观性证明证明:.3.3 线性定常系统能观性判别线性定常系统能观性判别解解:例题例题 3-5判别系统的能观性判别系统的能观性系统能观.3.3 线性定常系统能观性判别线性定常系统能观性判别满足满足:对角型系统的能观性对角型系统的能观性系统能观.3.3 线性定常系统能观性判别线性定常系统能观性

9、判别解解:系统能观此结论可推广到高阶约当型的系统约当型系统的能观性约当型系统的能观性.4.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性在有限个采样周期内在有限个采样周期内,u(ku(k)证明:在3步内选择u(0),u(1),u(2)可将非零状态x(0),x(3)=0转移到零状态.能控性能控性.4.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性u(0)u(1)u(2)x(1)x(2)x(3)=0.4.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性u(1).4.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性.4.4 离散时间系统的能控性和能

10、观性离散时间系统的能控性和能观性.4.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性系统能控的秩等于的秩等于n.rank(M)=n N N阶线性定常系统能控的充要条件为能控性判别阵阶线性定常系统能控的充要条件为能控性判别阵M满秩,系统能控.4.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性.4.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性能观性判别能观性判别:的秩等于的秩等于n.rank(N)=n N N阶线性定常系统能观的充要条件为能观性判别阵阶线性定常系统能观的充要条件为能观性判别阵非奇异变换不改变系统的能控性和能观性非奇异变换不改变系统的能控性

11、和能观性.能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系两个系统两个系统r维输入的维输入的m维输出的维输出的n阶系统阶系统.满足如下条件：满足如下条件：则称它们是互为对偶的则称它们是互为对偶的m维输入的维输入的r维输出的维输出的n阶系统阶系统.能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系系统系统1u1A1C1B1x1y1系统系统2u2A2=A1TB2=C1TC2=B1Tx2y2.能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系对偶原理对偶原理系统的能控性（能观性）等价于系统的能观性（能控性）系统的能控性（能观性）等价于系统的能观性（能控性）.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单

12、输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型如果系统状态完全能控性如果系统状态完全能控性.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入能控标准型系统的传递函数为单输入能控标准型系统的传递函数为例题例题:3-12 求能控标准型求能控标准型1.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型rankM=3.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型能控标准型能控标准型2.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型2如果系统状态完全能控性如果系统状态完全能控性.能

13、控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型2.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入系统的能观标准型单输入系统的能观标准型如果系统状态完全能观如果系统状态完全能观.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入系统的能观标准型单输入系统的能观标准型1.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入系统的能观标准型单输入系统的能观标准型2如果系统状态完全能观如果系统状态完全能观.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型单输入系统的能观标准型单输入系统的能观标准型2.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型例题:求3-12的能

14、观标准型2rankN=3.能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型例题:.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解线性系统的结构分解线性系统的结构分解能控性分解能控性分解能观测性分解能观测性分解能控能观测能控能观测性分解性分解如何分解，线性变换的方法，线性变化不改变系统的能控、能观测性程度如何分解，线性变换的方法，线性变化不改变系统的能控、能观测性程度分解后的形式如何展现系统的性质分解后的形式如何展现系统的性质.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解例如例如:观察下列系统的能控性观察下列系统的能控性能控字空间能控字空间.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解线性定常系统线性

15、定常系统状态不完全能控状态不完全能控.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解线性定常系统线性定常系统.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解能控性分解能控性分解非奇异变换阵非奇异变换阵M中n1个线性无关的列.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解能能控控性性结结构构分分解解.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解传递函数传递函数W(s).8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解例题例题 3-15，将系统按能控性分解，将系统按能控性分解 rankM=23.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解例题例题 3-15 另选

16、另选能控标准型能控标准型.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解线性定常系统线性定常系统状态不完全能观状态不完全能观能观性分解能观性分解非奇异变换阵非奇异变换阵.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解能观性分解能观性分解.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解例题将系统进行能观性分解例题将系统进行能观性分解能观性分解能观性分解N中n1个线性无关的行.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解变换后变换后Rank N=2.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解选择非奇异变换后选择非奇异变换后系统不完全能控，不完全能观时系统不完全能控，不完全能观时能控能能控能观观能控不能

17、能控不能观观不能控能观不能控能观不能控不能观不能控不能观.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解系系统统结结构构的的规规范范分分解解是能控能观子系统.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解系系统统结结构构的的规规范范分分解解.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解系统结构分解的方法系统结构分解的方法矩阵矩阵能控能观能控不能观不能控能观不能控不能观.8.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解系统结构的规范分解系统结构的规范分解对不完全能控不完全能观的线性定常系统，其传递函数只能描述系对不完全能控不完全能观的线性定常系统，其传递函数只能描述系统中能控且能观测部分的系统特性，统中

18、能控且能观测部分的系统特性，所以说：一般情况下，传递函数是系统结构的一种不完全描述。所以说：一般情况下，传递函数是系统结构的一种不完全描述。传递函数传递函数状态空间状态空间无穷个无穷个最小实现.传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现实现问题的一般描述实现问题的一般描述W(s)满足一定的条件：实系数，真有理分式满足一定的条件：实系数，真有理分式对于给定的对于给定的w(s)有下式成立有下式成立是是w(s)的的一个实现一个实现状态维数最小的实现称为最小实现.传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现传递函数阵传递函数阵w(s)的一个实现的一个实现写出一个实现，找出完全能控能观部分即为写出一个实现，找出完全能

19、控能观部分即为w(s)的最小实现的最小实现为最小实现的充分必要条件是系统能控能观为最小实现的充分必要条件是系统能控能观.9.9 传递函数中的零，极点对消传递函数中的零，极点对消能控能观的充要条件是能控能观的充要条件是W(s)没有零极点对消没有零极点对消对单输入单输出系统对单输入单输出系统实现的能控能实现的能控能观性与传递函观性与传递函数特性的关系数特性的关系.传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现例题传递函数如下，写出它的实现例题传递函数如下，写出它的实现写出写出w(s)的实现的实现该实现的能控能观性？该实现的能控能观性？.传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现例题传递函数如下，写出它的实现例题传递函数如下，写出它的实现写出写出w(s)的另一个实现的另一个实现能控能观性？能控能观性？.传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现例题传递函数如下，写出它的实现例题传递函数如下，写出它的实现写出写出w(s)的第个实现的第个实现能控能观性？能控能观性？MatlabMatlab 在能控能观中的应用在能控能观中的应用ctrb(A,B)M=ctrb(A,B);Rank(M)2obsv(A,C)N=obsv(A,C);Rank(N)第三章第三章 作业（习题）作业（习题）3-1的(1)3 3-2 23-33-3的(1),(2)3-63-63-73-73-83-83-9