252平面向量应用举例.ppt

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1、用向量的方法研究平面几何用向量的方法研究平面几何迷人的流星雨你来自何方，匆迷人的流星雨你来自何方，匆匆的你又去向何方？匆的你又去向何方？万万有有引引力力定定律律是是这这样样被被发发现现的的！生生活活细细节节马马虎虎不不得得！平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的

2、线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。几何中的一些问题。ABCD猜想：猜想：1.1.长方形对角线的长度与两条邻长方形对角线的长度与两条邻 边长度之间有何关系？边长度之间有何关系？2.2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？问题：问题：平行四边形是表示向量加法

3、与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？例例1:证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：解：设 ，则 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

4、如距离、）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2:如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC由于 与 共线，故设又因为 共线，因为 ABCDEFRT解：解：设则所以所以设故AT=RT=TCABCDEFRT练习练习:证明直径所对

5、的圆周角是直角ABCO如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。解：解：设 则 ，由此可得：即 ，ACB=90思考：思考：能否用向量坐标形式证明？（1 1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2 2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；夹角等问题；（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小小 结：结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：作业：作业：课本课本P113 P113 习题习题B B组组 2 2