《函数微积分》PPT课件.ppt

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1、 第一讲 极限与连续 一元函数微积分 专题1.极限极限的求法的求法(1)用初等数学用初等数学(例如三角、对数、指数例如三角、对数、指数,分子与分母同乘以某式分子与分母同乘以某式,提公因式等提公因式等)中的恒等变形中的恒等变形,使能约分的约分使能约分的约分,能化简的化简能化简的化简.(2)用极限的四则运算用极限的四则运算,复合函数求极限复合函数求极限,连续函数求极限连续函数求极限(代入代入法法)*(4)用等价无穷小代换用等价无穷小代换(3)有极限存在且不为有极限存在且不为0的因式的因式,可以先算出其极限提出来可以先算出其极限提出来,再求再求剩下极限剩下极限.*(5)利用两个重要极限求极限利用两个

2、重要极限求极限.*(6)用洛必达法则求未定式的极限用洛必达法则求未定式的极限.(7)用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或积分中值公式用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或积分中值公式*(9).用定积分的定义用定积分的定义(11).用收敛级数的必要条件用收敛级数的必要条件 *(8).用夹逼定理用夹逼定理*(10).用单调有界证明用单调有界证明(单调递增有上界或者单调递减有下界单调递增有上界或者单调递减有下界)设设 收敛收敛,则则 (12).柯西收敛准则柯西收敛准则(13).施笃兹施笃兹(Stolz)定理定理专题专题2:求极限问题的反问题求极限问题的反问题专题专题4:函数的连续性函数的连续性,间断点间断

3、点 连续函数的性质连续函数的性质:闭区间上的有界闭区间上的有界性、最值、零点、介值定理、根的存在性性、最值、零点、介值定理、根的存在性专题专题3:无穷小无穷小(大大)及其阶及其阶专题专题5:导数的概念与几何意义导数的概念与几何意义专题专题6:各种导数的计算各种导数的计算参量函数求导参量函数求导(一阶、二阶一阶、二阶)隐函数求导隐函数求导 分段函数求导分段函数求导 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 专题专题7、利用导数研究函数的性态、利用导数研究函数的性态单调性、极值、最值、凹凸、拐点、渐近线和曲率单调性、极值、最值、凹凸、拐点、渐近线和曲率专题专题8、积分的计算、积分的计算 1.换元法与分部积分法换元

4、法与分部积分法 2.常用技巧常用技巧:(1).通过适当的变量变换或分部积分通过适当的变量变换或分部积分,得到一个与原积分相同的积得到一个与原积分相同的积分分,建立一个等式建立一个等式,从中得出原来要计算的积分从中得出原来要计算的积分.(2).将积分区间拆成两个将积分区间拆成两个,再经适当的变换将两个区间上的积分合再经适当的变换将两个区间上的积分合并以化简并以化简.(3).化成二重积分再交换积分次序化成二重积分再交换积分次序.专题专题9、反常积分、反常积分专题专题10、定积分的应用、定积分的应用专题专题11:不等式问题不等式问题1.微分学解决不等式问题常用方法微分学解决不等式问题常用方法(1).

5、用单调性用单调性(2).用最值用最值(3).用拉格朗日中值定理或柯西公式用拉格朗日中值定理或柯西公式(4).用拉格朗日余项泰勒公式用拉格朗日余项泰勒公式 (1 1)利用定积分的保序性；利用定积分的保序性；(2 2)利用定积分中值定理和被积函数的单调性；利用定积分中值定理和被积函数的单调性；(3 3)利用变上限定积分的单调性；利用变上限定积分的单调性；(4 4)利用利用CauchyCauchy不等式不等式 (5)5)利用利用无穷级数做估值无穷级数做估值 (6)6)化成二重积分来处理化成二重积分来处理2、定积分和反常积分中不等式问题所用的方法定积分和反常积分中不等式问题所用的方法专题专题12 函数

6、零点问题函数零点问题,方程根的存在性方程根的存在性 (1)(1)若题目中涉及连续函数若题目中涉及连续函数,一般用连续函数介值定理一般用连续函数介值定理(或或连续函数零点定理连续函数零点定理););若题目中涉及导数的零点若题目中涉及导数的零点,则一般利用罗尔定则一般利用罗尔定理或罗尔定理与连续函数介值定理理或罗尔定理与连续函数介值定理(零点定理零点定理)的综合应用的综合应用;如果讨如果讨论至多几个点论至多几个点,要利用单调性要利用单调性.(2)(2)含积分的零点问题含积分的零点问题方法方法1:1:将一个定积分看做一个变限函数将一个定积分看做一个变限函数,关于该积分的零点问题关于该积分的零点问题,

7、可用微分学中的方法处理可用微分学中的方法处理.方法方法2:2:用积分中值定理以及积分的其它性质用积分中值定理以及积分的其它性质.方法方法3:3:以某定积分为零作为条件以某定积分为零作为条件,讨论与此有关的函数的零点问题讨论与此有关的函数的零点问题.判定极限存在的准则判定极限存在的准则准则准则I 夹逼准则夹逼准则 定理定理:若在若在 内（或当内（或当 时）有不等式时）有不等式成立，且成立，且 则则(1)(2)两个重要极限两个重要极限定义定义:无穷小的比较无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)常用等价无穷小常用等价无穷小:(1)(2)(3)f(x)在点在点a 处：处：(1)连

8、续连续 (2)有极限有极限 (3)有定有定义义 则称则称 y=f(x)在点在点 a 连续。连续。若若函数连续的定义函数连续的定义三者关系是：三者关系是：跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx间断点的分类间断点的分类0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点定定理理(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.定定理理 (最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续

9、的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质导数的定义导数的定义单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2.右导数右导数:用定义用定义.含绝对值符号的函数怎么求导？含绝对值符号的函数怎么求导？在分段点处怎么求导？在分段点处怎么求导？分段函数的求导分段函数的求导写成分段函数再求导写成分段函数再求导.基本导数公式基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）求导法则求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4

10、)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则高阶导数高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)高阶导数的求法1.1.由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2.2.求出求出1-3或或4阶后阶后,分析结果的规律性分

11、析结果的规律性,写出写出n阶阶导数导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)3.利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算，通过四则运算，变量代换等方法变量代换等方法,求求n阶导数阶导数.常用高阶导数公式常用高阶导数公式高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式微分的定义微分的定义,求法求法定义定义(微分的实质微分的实质)导数与微分的关系导数与微分的关系定理定理 微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形

12、式的不变性基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式.常用常用麦克劳林公式：麦克劳林公式：.定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.或无穷大其他类型步骤步骤:步骤步骤:步骤步骤:用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o.及时求出已定式的极限及时求出已定式的极限.1o.需要先验证条件需要先验证条件.求函数极值和最值求函数极值和最值求极值的步骤：求极值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求函数的所有驻点和导数不

13、存在的点；求求a,b上连续函数上连续函数f(x)的最值的步骤：的最值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求函数的所有驻点和导数不存在的点；(2)把把 f(x)在这些点的值与在这些点的值与f(a),f(b)比较，最大者为最大值，最小者比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。为最小值。注注：若连续函数：若连续函数f(x)在区间在区间 I 内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；极小值就是最小值。极小值就是最小值。.给定函数给定函数 y=f(x),求其竖直渐近线及斜渐近线。求其竖直渐近线及斜渐近线。.两者的联系与区别？两者的联系与区别？2.不定积分不定

14、积分联系联系：它们的导数相同，都是：它们的导数相同，都是 f(x).原函数是不定积分中的一个函数。原函数是不定积分中的一个函数。区别区别：不定积分是函数族；不定积分是函数族；1.原函数原函数4.微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.5.不定积分的性质不定积分的性质3.原函数存在定理原函数存在定理任何连续函数都有原函数。任何连续函数都有原函数。但是连续函数的原函数不一定是初等函数。但是连续函数的原函数不一定是初等函数。.6.基本积分公式基本积分公式.（第二换元）（第二换元）（分步积分）（分步积分）（分步积分）（分步积分）（第二换元）（第二换元）（用第二换元

15、法算得）（用第二换元法算得）8 8、第一类换元法、第一类换元法7 7、直接积分法、直接积分法第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.常见类型常见类型:反用第一换元法：反用第一换元法：.常用的代换有三角代换、双曲代换、倒代换等，用于：常用的代换有三角代换、双曲代换、倒代换等，用于：是否需要其它的代换，是否需要其它的代换，具体问题，具体分析。具体问题，具体分析。.9 9、第二类换元法、第二类换元法1010、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式选择选择u u的

16、有效方法的有效方法:(1)(1)反对幂三指反对幂三指L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.(2)LIATE选择法选择法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式11 有理函数的积分有理函数的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分可化为有理函数进行积分可化为有理函数进行积分 1 1三角函数有理式可表为三角函数有理式可表为 2 2用万能置换可化为有理函数的积分，故三角用万能置换可化为有理函数的积分，故三角 函数的

17、有理式都能函数的有理式都能“积得出来积得出来”.3 3万能置换万能置换令 ，则故 某些无理函数某些无理函数有理化有理化 为为使其有理化，只需作使其有理化，只需作变换变换 先配方，再作三角代换，即可有理化。先配方，再作三角代换，即可有理化。定积分定积分1.定义定义实质:通过分割,取介点,求和,取极限得到的一类特殊和式的极限.是个确定的数.与被积函数和积分区间有关,与积分变量的符号无关.用定积分的定义求极限用定积分的定义求极限基基 本本 思思 想想：abxy02 2、定积分的性质、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质3性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4性质性质7(定积分中值定理定积分

18、中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式注：此定理解决积分去掉积分号的问题。注：此定理解决积分去掉积分号的问题。.(1)关于积分限为变元的函数关于积分限为变元的函数.3 3、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式(2)（微积分基本公式）（微积分基本公式）牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4 4、定积分的计算法、定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 (1)变量代换写出，要换限；变量代换写出，要换限；(2)被积函数表示式受积分限的制约。被积函数表示式受积分限的制约。(3)不用回代.计算定积分计算定积分(NL公式）公式）与计算不定积分的

19、不同之处：与计算不定积分的不同之处：5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形X型区域型区域的面积的面积1)如果图形为：如果图形为：Y 型区域型区域的面积的面积如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数2)极坐标情形极坐标情形3)(2)体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积柱壳法(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为6.6.若干重要结果若干重要结果7、广义、广义(反

20、常反常)积分积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分NL公式公式+求极限求极限 1 1 1 1注注.对吗对吗对吗对吗?对吗对吗对吗对吗?8.曲率的计算公式曲率的计算公式向量向量坐标表示坐标表示既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量模及方向角模及方向角方向余弦方向余弦空间解析几何部分空间解析几何部分 1.向量运算及坐标表示向量运算及坐标表示xzyn=A,B,CM(a,b,d)A(x a)+B(y b)+C(zd)=0Ax+By+Cz+D=0bca(1)点法式点法式:(2)一般式一般式.(3)截距式：截距式：(4)三点式：三点式：0其中其中 D=Aa Bb Cd2.平面方程平面方程(1)两个平面垂直两个平面垂直(2)两个平面平行两个平面平行(3)两个平面重合两个平面重合已知两个平面已知两个平面.3.平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系(4)两个平面夹角为两个平面夹角为 (5)两个平行平面间的距离为两个平行平面间的距离为d已知两个平面已知两个平面d.3.平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系.1 2n1n2./