《刚体运动》PPT课件.ppt

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1、第六章：刚体运动第六章：刚体运动(拉氏量方法应用拉氏量方法应用)1：运动方程：运动方程：Euler-Lagraingian 方程方程:(2s个状态个状态,s个方程个方程)2：体系的几种基本时空不变性：体系的几种基本时空不变性：=守恒定律守恒定律物理原理回顾相应地有运动积分(不变量)31.角速度运动学量介绍刚体:质点组(多质点,2,不在一直线),质点相互直接保持距离不变.离散质点组 连续质点组求和积分回忆：如何推导出杆子的运动方程 通过确定广义坐标，写出拉氏量，最后化间。发现只需要3个和密度有关的内部量进入运动方程 即头3个距，分布联系与：质量、质心、转动惯量为了描述，引入坐标(系)注意：为方便

2、，其实可以只研究一个长方体的运动方程，研究它的运动学量，设想下，任何一个物体，都可以被长方体所包含，因此，总可以扩展成长方体，取新的扩展部分密度为0即可。在这种情况下，后者可以看出固定的几个顶角点。通常的惯性参照系(固定坐标系)，和刚体固连并参与运动的坐标系(动坐标系)固定坐标系：X，Y，Z动坐标系:自由度、广义自由度动坐标系的位置，动坐标系的方向(3个轴方向)(注：动坐标系(轴)是随刚体运动的，因此虽然相对刚体取定，但相对惯性参照系还是原则上任意参数,因为刚体本身相对参照系可以是任意方向.)由此：6个自由度。Now：6个独立广义坐标，如何取？2：物理上，如书所解释，可以如下看待，对无穷小位移

3、，可以看出是无穷小的固定点平移+无穷小转动，如上图，对任意一点：1：从数学上比较简单：直接选取o点3个坐标，然后取3个轴的方向；(3个轴的方向-2个轴的方向轴可以任意取对比振动中的简正坐标的选取、简并求主转动惯：对称性Ex：平面质点系取所在平面为思考 体系有对称轴(对称轴的阶数)：质心、惯性主轴一条直线上的质心系，选该直线为x3转子-杠子普遍情况下的惯性张量容易计算不同固定点选取下转动惯量的变换关系不同轴选取下转动惯量的变换关系刚体：10个表征内部性质的量Vs.牛顿质点：1个内部量Vs.经典电子：2个内部量Vs.现代粒子：.例题1:将分子看作质点间距离不变的体系，求下面情况下的主转动惯量(a)

4、形状为等腰三角形的3原子分子质心：高上，距离底边(b)4原子分子，正三菱锥顶角质心位于三菱锥高上距底为四面体分子33.刚体动量距回忆：不同参照系之间动量距的变换关系方便地，取相对质心做为坐标原点，M即固有动量距由此用张量分量表示球形陀螺，3个主转动惯量相等先研究不受外力作用刚体，此时，可选取参照系，无平动回忆，不用运动方程只用守恒条件可求解体系。对球形陀螺 动量距守恒角速度守恒，即绕定常轴作等速转动对转子：角速度垂直于转子轴，即在一平面内绕垂直与该平面的一轴转动34.刚体运动方程一般情况下，6个自由度，6个运动方程(1)：直接写下Euler方程，从前面的拉氏量(2):力学分析办法平动部分U为刚

5、体在势场中势能外力和，内部约束力和为0注意：质心处！上面运动方程，自然是可以作为Euler方程得到转动部分选择固定(惯性)参考系，使得给定时刻质心静止在该参考系中V0,则力矩具体地，由于动量距是相对质心定义的，根据伽利略相对性原理，上面特定参考系下的运动方程在参考系下不变，即对所有参考系不变.坐标平移下，力矩的变换同样地，上面方程可以由拉氏量给出！回忆无穷小转动下即物理讨论：假设 相互垂直，则存在矢量a,使得a的选取有一定任意性，可任意叠加平行F的矢量力矩为0，并且有一定平行任意性，即力的作用可以归结为作用于一直线的一个力例子：均匀力场引入可得力场的影响归结为作用在r0点上一个力F.34.欧拉

6、角确定3个动坐标轴x1,x2,x3相对固定坐标轴X，Y，Z位置，选取同一原点Z轴在x1x2平面的投影垂直与N轴，即和x1夹角为pi/2-psi对比球坐标取值范围一个转动需要一个矢量描述，也即转动是有方向比如：转动theta或者转动dtheta是有方向用欧拉角和其导数表示角速度 在x2,x3方向上的投影，各分量投影和即是矢量(角速度)用欧拉角表示时候在x1,x2,x3方向上的投影欧拉角的另一种表示：如何从XYZ到x1x2x3同上图做如下转动即可得欧拉角进一步，考虑无穷小时间后，转动注意：是矢量，不代表矢量，或者说不需要是矢量由上面的转动定义，略去二阶小量，可以得到这里，在新的角度下，N和N差无穷

7、小量，绕N或者N再做无穷小转动是一样的(略去二阶小量下)继续即得更细致地，无穷小时间下：1：明显地，绕着Z轴转动2.然后N轴转 减去绕Z轴转3.绕x3。解析代数方法可以证明：忽略二阶小量一致。取单位矢量，标出所有坐标，N轴转动theta=N轴转动theta先绕N轴转动，再绕Z轴转动，不能得到新角度下的x1x2x3除非先绕N代表的物理意义：沿Z轴转动fai角相当于第一步沿x_1转。如果直接取微分，并认theta,psi也是时间相关函数时，这时候，表达式为此时：注意到投影方向已经改变!换言之：我们所选的坐标系为固定坐标系：考虑固连坐标系时的运动方程会有所区别，36节.最终选惯性主轴，对对称陀螺有应

8、用：对称陀螺的自由运动选固定坐标系的Z轴沿陀螺定常动量距方向，动坐标系x3轴沿陀螺对称轴，x1在给定时刻与N轴重合，则有另N轴垂直于Z轴可得固定坐标系下的方程求解 Vs.下面欧拉方程的形式36.欧拉方程 书上首行:34节not 33节回忆前面给出的运动方程固定惯性参考系下with(取两坐标系坐标原点重合)1个矢量相对动坐标系不动，则有其相对固定坐标系的变化进一步，如果矢量本身同时相对动坐标系有运动变化，则有矢量叠加其中第一项为矢量相对动坐标系的变化。理解为分量形式代入运动方程，可得其中，时间求导是相对于动坐标系中的，选取动坐标系中的时间，空间坐标，则直接有分量形式(注：同一坐标系中的时间空间坐

9、标)代入注：Omega是固定坐标系相对固连坐标系的转动，而不是固连坐标系相对刚体的转动（0）假定选取的是惯性主轴，则有 等欧拉方程定点转动方程当K=0时，欧拉方程退化为具体地，对对称陀螺：由上面方程可知其中代数化简得到其中A是常数。由此上述物理解的物理意义角速度在垂直陀螺轴(x3)的平面内投影为常数，并且在该平面内角速度固定omega!Vs.固定坐标系下求解情况固定坐标系下欧拉方程：分量为x1,x2,x3方向固定坐标系方程：分量为X,Y,Z方向两方程等价，相差一个变换！理解为分量形式37.非对称陀螺假设现在的刚体(陀螺)运动积分的应用(能量守恒和动量守恒)用M的分量表示，有椭球面方程和球面方程

10、！运动过程中不变运动学量几何意义！比如两球面相交条件etc精细求解，利用动力学方程，先代换变量再利用欧拉方程，代入，可得假设做变量代换(方便)引入参数最后有选择初始时间 比较前面能量守恒求一维运动！可积分得雅克比椭圆函数JacobiSNu,m,JacobiCNu,m,由此可得其他变量的时间变化关系，最后有周期函数，周期为4K,K为第一类椭圆函数.对时间的周期为当I1=I2时，回到对称陀螺公式当 时陀螺在空间的绝对运动(相对固定坐标系,注前面用的是欧拉方程！)引入x1,x2,x3和X,Y,Z间的欧拉角由此取M沿Z方向进一步另，对phi角，有消去无关量积分结果！讨论不做要求其他周期函数之和！38.

11、刚体接触 不要要求39.非惯性参考系中的运动运动方程的变换归结为Euler方程形式不变1：假设参考系K0，K 相对速度V(t)，则某个函数对时间的全导数(可舍去)r为质点在参考系K中的径矢代入L，舍去全导数，可得Euler方程等价于一个均匀立场2：参考系K,K有共同原点，有相对角速度(质点在K，K中的径矢重合)代入L，有物理意义?Euler方程运动方程物理意义转动参考系产生的“力”3部分科里奥利力；等速转动离心力；等速转动非等速转动大小，方向.没有平动且等速转动情况(质点对比刚体,只是自由度坐标)能量代入回忆能量的最本质定义&时间平移不变。离心势能故但能量不相等总结&习题本章内容：4个参照系，

12、两组广义坐标以及关于“矢量”约定(运动学)拉氏量(动力学)固定参照系K0 ：O,X,Y,Z.固定参照系K0 ：坐标原点取刚体质心,X,Y,Z 惯性参照系坐标K：坐标原点取刚体质心,且瞬时无相对速度.动坐标系K ：与刚体固连,坐标原点取刚体质心，任意时刻无相对速度.广义“坐标”(角度部分)：角速度 欧拉角对比非惯性系变换情况，我们用同样的标记！Ex：1：转动惯量各分量与所选轴的关系 2：角速度是刚体K相对K的转动方向和大小(即绕质心)换句话说，也是K相对K的负转动方向和大小 3：“固有”动量距是刚体在K中的瞬时角动量 在该时刻：下标表示K中的分量 注意：质心固定下，对于球对称刚体，无论轴怎么选取

13、，I都是固定，角动量总是平行于角速度。一般情况下，在K0,K0,K中I是随时间变化的?（不对,I是在固连坐标系中看到的,Omega是固连坐标相对固定坐标系的，L已经包含了全部的信息.）4：运动方程形式1这里的角动量可以是K中的，也可以是K0,K0中的，因为两者都是惯性参考系！（注:还不完全，成立与否看L量的变化，大部分情况下成立）但注意，不是K中观察到的分量！“矢量”的约定:讨论中，物理质点绝对位置不变，也即矢量本身不变，一般情况下，有意义的讨论则是矢量在特定坐标系中的分量。而这些分量的表达式则取决了坐标系的原点和轴的取向比如：同一质点在K0,K0，K,K中看到的速度V，dV/dt之间的关系等

14、 即是K，K参照系看到矢量的分量之间变换关系。Or 物理上：不同参照系看到的“矢量”运动方程形式2：欧拉方程 把上述方程变换到K中:讨论定点转动时候，K0，K0，K重合，此时V=0,且 dV/dt=0相应无外力作用，无转动时候，动坐标系K和固定坐标系K重合相应无力矩。物理意义的理解：变换后V1,2,3是什么？角速度1,2,3又是什么？变换前，V是K中原点相对K0中原点的速度，V1则是这一速度矢量在K中看到的分量，也即在K中看到K0点(-)速度在K中的投影分量。角速度也是同理，是K相对K转动的(-)角度速在K中的投影 求解思路，先求出这样的角速度，再通过和欧拉角关系变回到固定参考系中的解(该参照

15、系中，物理图像清晰.)另:一些特殊情况下，不需要这样求解！如P108,P113.欧拉角和角速度之间关系！拉氏量：(K0中)1:由 质量、质心位置、转动惯量 R、转动角速度表述 2：由质量、质心位置、转动惯量 R、欧拉角(速度)表述()习题：1：给定坐标系，求转动惯量2：求主转动惯量(注：和坐标无关)3：求转动、平动体系动能4：求动量距5：求解运动P105 均匀滚动圆柱，求动能如图几何情况，有质心平动速度大小，方向对质心不动坐标系，转动速度相对速度/相对距离：（地面接触点速度为0，动坐标系其相对圆心速度为aomega,静止坐标系圆心相对它速度也为a omega,故为0）方向其中注意坐标系，z方向

16、在运动过程中不变P105均匀圆锥平面上滚动几何如上图质心位置、质心速度2alpha是圆锥顶角投影相对转动轴(注:OA 不经过质心)转动速度，同上题质心在OA上投影，相对速度/相对距离选主轴，算角度在轴上投影圆锥主轴：x3重合圆锥轴，x2垂直于OA和圆锥轴.角速度(OA)投影为相应的主转动惯量圆锥主转动惯量计算技巧P113下端点固定，对称陀螺重力场中运动问题几何图示、运动学量、运动方程。固定点运动！拉氏量，见35节(35.2)和(32.12)坐标选取L:质点到顶点距离注意：这里的方向都是在x1,x2,x3方向，换句话角速度的分量都是在x1,x2,x3方向的投影，故相应的转动惯量也是在x1,x2,

17、x3中的！故是常数,因为x1,x2,x3同刚体.这是不同于选取X，Y，Z坐标系来表示角速度方向的情况！矢量和其分量：矢量本身与坐标系无关，分量是和坐标系有关.Or:由此，得到其中又能量守恒可求得结合能量守恒，可得求得代入前面，即可得到其他欧拉角关于时间的函数关系！具体的位形分析。研读下P131求地球自转(小角速度)引起自由落体的偏移重力场中有没平动加速度等速转动的参考系中的运动公式(39.9)，再考虑角速度很小，有微扰逐阶求解！代入，保留1阶，可得0阶近似积分解的物理意义，几何图像：取z轴垂直向上，x轴经线指向极点初始速度为0情况代入偏移！地轴是一根通过地球南北两极和地球中心的假想线在赤道的南

18、北两边，画出许多和赤道平行的圆圈，就是“纬圈”；构成这些圆圈的线段，叫做纬线。从北极点到南极点，可以画出许多南北方向的与地球赤道垂直的大圆圈，这叫作“经圈”；构成这些圆圈的线段，就叫经线。南极是根据地球旋转方式决定的最南点。附录：朗道一书刚体一章可以考虑重新整理下，整体如上面的总结比较好！确定好运动学内容，然后结合动力学的内容就容易理解了。后面的ppt顺序是乱的，还没整理！现在来看：非惯性系中质点的运动(按照我们的约定：矢量在绝对空间中，其余的都用分量表示不同参照系，坐标轴不同=分量不同！)有K0,K,K 三个参照系中矢量分量的变换关系(或者坐标轴)相应坐标轴0朗道一书关于“矢量”的约定：固定

19、的 都是特定的物理“点”！关键是全微分时候 Ex：现在来看矢量OA在两个参照系中的关系!x相对X转动加平动1)OO重合且只有转动时：2)矢量本身在两参照系都是如图所3)示，固定。4)但其在不同参照系的分量随时间5)变化的关系明显会不一样！6)进一步，假的OA在x中各分量不随7)时间变化.即再回头看朗道这种约定的其他地方即是K，K参照系之间的变换关系朗道力学:矢量在不同参照系中的变换关系约定的“订正”Now：约定矢量 仅表征矢量本身，由空间中两点之间决定！这样约定的符合与参照系无关！其他的讨论可以通过该矢量在不同参照系的分量来表述！这样的好处，对比朗道书中表达式，可以少些预语言的区分描述。比如P116(36.1)要区分矢量A在固定参照系中随时间变化和矢量A在转动参照系中随时间变化.固然，明了这种标记区分后，也可以准确讨论，但是如上面约定后，可以更简洁！相应的物理意义：左边：矢量在动坐标系中的分量对时间的导数 右边第一项：矢量在固定坐标系的分量对时间的导数 右边第二项:矢量在固定坐标系的分量即是朗道一书的约定：矢量已经直接关联到某个参照系中的分量，比如矢量A相对固定参照系不变，那么其相对动坐标系看起来自然是转动的，因为其分量已变了！(认为自己的坐标轴不变！)两种约定的差别，看个人爱好 理解图像，相互自洽就可以。