《全微分打印》PPT课件.ppt

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1、1.偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义;记号记号;几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求求一点处一点处偏导数的方法偏导数的方法先代后求先代后求(复杂时复杂时)如如P69 4先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法、逐次求导法、(与求导顺序无关时与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)9.29.2内容回顾内容回顾公式法公式法在原点的各偏导数是否存在？在原点的各偏导数是否存在

2、？讨论：讨论：是否是否连续连续？2显然显然求求的一阶偏导数及的一阶偏导数及解解:当当 时时,及及(0,0)点处的二阶偏导数点处的二阶偏导数.同理同理不存在不存在与与而显然显然解解:当当 时时,不存在不存在,不存在不存在,第九章第九章*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用(简介简介)应用应用 一元函数一元函数 y=f(x)的微分的微分近似计算近似计算本节内容本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义 9.3 9.3 全微分全微分一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义:如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点(x,y)可表示成可表示成其中其中

3、A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，称为函数称为函数在点在点(x,y)的的全微分全微分,记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,则称函数则称函数 f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.(2)偏导数连续偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数可微函数函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可可微微由微分定义得由微分定义得可微必连续可微必连续:函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 则则 定理定理1 1

4、(必要条件必要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可可微微,则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数同理可证同理可证证证:由全增量公式由全增量公式必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量另也必连续另也必连续反例反例:函数函数易知易知 fx(0,0)=fy(0,0)=0注意注意:定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立.偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即即:我们已知道函数我们已知道函数f(x,y)在在(0,0)处不连续处不连续,则当然不可微则当然不可微.定理定理2(充分条件充分条件)证：证：若函数若函数的偏导数的偏导数则函数在该点则函数在该

5、点可微可微.所以函数所以函数在点在点可微可微.注意到注意到故有故有0例如例如考查函数考查函数易知易知函数在点函数在点(0,0)也连续也连续,但但定理定理3(可微的充要条件可微的充要条件)!因此因此,函数在点函数在点(0,0)不可微不可微.在原点：偏导数是否存在？在原点：偏导数是否存在？讨论：讨论：是否是否连续连续？是否是否可微可微？20.所以所以不可微不可微.推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如,三元函数三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,记作记作故有下述叠加原理故有下述叠加原理称为称为偏微分偏微

6、分.的全微分为的全微分为于是于是(一阶偏导数连续一阶偏导数连续)例例1.计算函数计算函数在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.解解:例例2.计算函数计算函数的全微分的全微分.解解:可知当可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用仅从理论上仅从理论上 简单讲述在近似计算方面的应用简单讲述在近似计算方面的应用由全微分定义由全微分定义较小时较小时,及及有近似等式有近似等式:(可用于近似计算函数的增量可用于近似计算函数的增量)(可用于近似计算函数值可用于近似计算函数值)例例3.3.计算计算的近似值的近似值.解解:设设,则则取取则则9.39.3内容小结内容小结1.微分定义微分定义:2.重要关系重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续3.微分微分在在近似计算中的近似计算中的应用应用(略略)(反例略反例略)思考与练习思考与练习1.P129 题题 1(总习题九总习题九)函数函数在在可微的充分条件是可微的充分条件是()的某邻域内存在的某邻域内存在;时是无穷小量时是无穷小量;时是无穷小量时是无穷小量.2.选择题选择题3.设设解解:同理同理 可得可得作业作业 P751(3),(4);3.预习预习9.49.4