《优化设计概述》PPT课件.ppt

《《优化设计概述》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《优化设计概述》PPT课件.ppt（70页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、机械优化设计方法机械优化设计方法鲁东大学交通学院 王品绪论优化设计（Optimum Design)优化设计是60年代初发展起来的一门新学科，它是将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。利用这种新的设计方法，人们就可以从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量。解析法数值计算法优化方法微分求极值迭代逼近最优值计算机优化设计 机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。什么叫机械优化设计工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人

2、满意和最适宜的值。一、从传统设计到优化设计 机械设计一般需要经过调查研究(资料检索)、拟订方案(设计模型)、分析计算(论证方案)、绘图和编制技术文件等一系列的工作过程。图1-1 传统的机械设计过程传统设计方法通常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算、经验类比或试验来确定初始设计方案。然后，根据初始设计方案的设计参数进行强度、刚度、稳定性等性能分析计算，检查各性能是否满足设计指标要求。如果不完全满足性能指标的要求，设计人员将凭借经验或直观判断对参数进行修改。这样反复进行分析计算性能检验参数修改，直到性能完全满足设计指标的要求为止。整个传统设计过程就是人工试凑和定性分析比较的过程，主要的工作是

3、性能的重复分析，至于每次参数的修改，仅仅凭借经验或直观判断，并不是根据某种理论精确计算出来的。一、从传统设计到优化设计n传统设计方法只是被动地重复分析产品的性能，而不是主动地设计产品的参数。从这个意义上讲它没有真正体现“设计”的含义。其实“设计”一词本身就包含优化的概念。作为一项设计不仅要求方案可行、合理，而且应该是某些指标达到最优的理想方案。举例n宋代建筑师李诫在营造法式指出:圆木做成矩形截面梁的高宽比应为三比二。这一结论和抗弯梁理论推得的结果十分接近。根据梁弯曲理论，最佳截面尺寸应使梁截面抗弯截面系数W最大。设截面宽为b、高为h，则要求W=bh2/6max图13 机械优化设计过程框图优化设

4、计与传统设计相比，具有如下三个特点：(1)设计的思想是最优设计；(2)设计的方法是优化方法；(3)设计的手段是计算机。二、机械优化设计的发展概况近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅速发展而产生的，它不仅用于产品结构的设计、工艺方案的选择，也用于运输路线的确定、商品流通量的调配、产品配方的配比等等。目前，优化方法在机械、冶金、石油、化工、电机、建筑、宇航、造船、轻工等部门都已得到广泛的应用。1.优化设计的应用领域国内近年来才开始重视，但发展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设计、工艺设计方面都得到应用。2.目前机械优化设计的应用领域在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说，是在上世纪60

5、年代后期才得到迅速发展的。利用一个化工优化系统的计算机手段，对一个化工厂进行设计。根据所给数据，在16h内，进行16000个可行性设计的选择，从中选出一个成本最低、产量最大的方案，并给出必需的精确数据。而在这之前，求解这个问题，曾用一组工程师工作了一年，但仅作了三个设计方案，而它们的效率却没有一个可以和上述优化方案相比。又例如，美国贝尔(Bell)飞机公司采用优化方法解决 450个设计变量的大型结构优化问题。在对一个机翼进行质量设计中，减轻质量达35%。波音(Boeing)公司也有类似的情况，在747机身的设计中，收到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本的效果。武汉钢铁公司所引进的moo薄板轧机

6、是德国DMAG公司提供的。该公司在对此产品进行优化修改后，就多盈利几百万马克。1)目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研究解决。优化设计存在的问题和发展趋势2)优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高。3)把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。三、本课程的主要内容机械优化设计包括建立优化设计问题的数学模型和选择恰当的优化方法与程序两方面的内容。由于机械优化设计是应用数学方法寻求机械设计的最优方案，所以首先要根据实际的机械设计问题建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际设计问题。在建立数学模型时需要应用专业知识确定设计的限制条

7、件和所追求的目标，确立各设计变量之间的相互关系等。机械优化设计问题的数学模型可以是解析式、试验数据或经验公式。虽然它们给出的形式不同，但都是反映设计变量之间的数量关系的。数学模型一旦建立，机械优化设计问题就变成一个数学求解问题。应用数学规划方法的理论，根据数学模型的特点，可以选择适当的优化方法，进而可以选取或自行编制计算机程序，以计算机作为工具求得最佳设计参数。三、本课程的主要内容n本课程共分八章进行讨论。n第一章介绍优化设计的基本概念，其目的在于了解优化设计的步骤及常用术语。n第二章介绍某些数学基础知识，以便为以后各章的学习打好基础。n第三、四、五、六章分别介绍一维搜索、无约束优化、线性规划

8、和约束优化的原理及算法，这是本课程的重点。n第七章介绍多目标及离散变量优化方法简介。n第八章介绍几个机械优化设计问题的实例，用以说明如何应用优化方法解决机械优化设计问题的过程。第一章 优化设计概述n为了对机械优化设计有一具体的认识，现以人字架的优化设计为例予以说明。n虽然此设计采用简单的解析法和作图法，但从中可以了解优化的具体过程，以及优化问题的一些基本概念。第一节 人字架的优化设计n图所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3 X l05N。已知人字架跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 X 105 MPa，材料密度=7.8 X l03kg/m3

9、，许用压应力y=420MPa。n求在钢管压应力不超过许用压应力y和失稳临界应力e的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。第一节 人字架的优化设计n优化设计问题归结为求x=D hT，使结构质量m(x)min，但应满足强度约束条件(x)y和稳定约束条件(x)e。1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例 优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；

10、模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。序运算求解。该问题可表示为该问题可表示为求求使使满足于满足于解：由解：由 有有设计一曲柄摇杆机构设计一曲柄摇杆机构.已知已知:要求要求:使使 达到最大达到最大.已知：制造一体积为已知：制造一体积为100m3，长度不小于，长度不小于5m，不带上盖，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽，宽x2，高，高x3，使箱盒用料最，使箱盒用料最省。省。分析：分析：（1）箱盒的表面积的表达式；）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长）设计参数确定：长x1，宽，宽x2，高，高x3；（3）

11、设计约束条件：）设计约束条件：（a）体积要求；）体积要求；（b）长度要求；）长度要求；x1x2x3箱盒的优化设计箱盒的优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：某工厂生产某工厂生产A 和和B 两种产品，两种产品，A 产品单位价格为产品单位价格为PA 万元，万元，B 产品单位价格为产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤产品需消耗煤aC 吨，吨，电电aE 度，人工度，人工aL 个人日；每生产一个单位个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤产品需消耗煤bC 吨，吨，电电bE 度，人工度，人工bL 个人日。现有可利用生产资源

12、煤个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电吨，电E 度，度，劳动力劳动力L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。分析：分析：（1）产值的表达式；）产值的表达式；（2）设计参数确定：）设计参数确定：A 产品产品xA，B 产品产品xB；（3）设计约束条件：）设计约束条件：（a）生产资源煤约束；）生产资源煤约束；（b）生产资源电约束；）生产资源电约束；（b）生产资源劳动力约束；）生产资源劳动力约束；最大最大产值产值生生产资产资源分配源分配问题问题 数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：已知：传动比已知：传动比i,转速

13、转速n,传动功率传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。轮副，使其重量最轻。分析：分析：（1）圆柱齿轮的体积）圆柱齿轮的体积(v)与重量与重量(w)的表达；的表达；（2）设计参数确定：模数（）设计参数确定：模数（m），齿宽（），齿宽（b），齿数（），齿数（z1）；）；（3）设计约束条件：）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。最小齿数要求。直齿圆柱齿

14、轮副的优化设计直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：1-31-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1.1.设计变量设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计

15、变量，又叫做优化参数。称作设计变量，又叫做优化参数。优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为个设计变量，则称为n维设计问维设计问题。题。由由n

16、n个设计变量个设计变量 为坐标所组成的实空间称为坐标所组成的实空间称作作设计空间设计空间设计空间设计空间。一个。一个“设计设计”，可用设计空间中的一点表示。，可用设计空间中的一点表示。按照按照产产品品设计变设计变量的取量的取值值特点，特点，设计变量设计变量可分可分为连续变为连续变量量（例如（例如轴轴径、径、轮轮廓尺寸等）和离散廓尺寸等）和离散变变量（例如各种量（例如各种标标准准规规格等）。格等）。图1-1 设计变量所组成的设计空间设计变量所组成的设计空间（a a）二维设计问题）二维设计问题 （b b）三维设计问题）三维设计问题 只只有有两两个个设设计计变变量量的的二二维维设设计计问问题题可可用

17、用图图1-11-1（a a）所所示示的的平平面面直直角角坐坐标标表表示示；有有三三个个设设计计变变量量的的三三维维设设计计问问题题可可用用图图1-11-1（b b）所表示的空间直角坐标表示。）所表示的空间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有小型设计问题：一般含有210210个设计变量；个设计变量；中型设计问题：中型设计问题：10501050个设计

18、变量；个设计变量；大型设计问题：大型设计问题：5050个以上的设计变量。个以上的设计变量。目前已能解决目前已能解决200200个设计变量的大型最优化设计问题。个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量？如何选定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影

19、响大的参数可取为设计变量，影响小对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2 2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4 4个，即钢丝直径个，即钢丝直径d d，弹簧中径，弹簧中径D D，工作圈数，工作圈数n n和自由高度和自由高度H H。在设计中，将材料的许。在设计中，将材料的许用剪切应力用剪切应力 和剪切模量和剪切模量等作为设计常量。在给定径向空间内等作为设计常量

20、。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径设计弹簧，则可把弹簧中径D D作为设计常量。作为设计常量。2.约束条件约束条件 设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式

21、约束两种类型：束两种类型：(1)(1)等式约束等式约束(2)(2)不等式约束不等式约束显显式式约约束束 隐隐式式约约束束 约约束函数有的可以表示成束函数有的可以表示成显显式形式，即反映式形式，即反映设计变设计变量之量之间间明明显显的函数关系，有的只能表示成的函数关系，有的只能表示成隐隐式形式式形式,如例中的复如例中的复杂结杂结构的构的性能性能约约束函数（束函数（变变形、形、应应力、力、频频率等），需要通率等），需要通过过有限元等方法有限元等方法计计算求得。算求得。根据根据约约束的性束的性质质可以把它可以把它们们区分成区分成：性能性能约约束束针对针对性能要求而提出的限制条件称作性能性能要求而提出

22、的限制条件称作性能约约束。束。例如，例如，选择选择某些某些结结构必构必须满须满足受力的足受力的强强度、度、刚刚度或度或稳稳定性等要定性等要求求；边边界界约约束束只是只是对设计变对设计变量的取量的取值值范范围围加以限制的加以限制的约约束称作束称作边界边界约约束。例如，允束。例如，允许许机床主轴机床主轴选择选择的尺寸范的尺寸范围围，对对轴段长度轴段长度的限定范的限定范围围就属于就属于边界边界约约束。束。图图1-2 设计空间中的约束面（或约束线）设计空间中的约束面（或约束线）(a)(a)二变量设计空间中的约束线二变量设计空间中的约束线 (b)(b)三变量设计空间中的约束面三变量设计空间中的约束面 如

23、图如图1-31-3上画出了满足两项约束条件上画出了满足两项约束条件g g1 1（X X）=x=x1 12 2x x2 22 216 16 O O和和g g2 2（X X）2X2X2 200的二维设计问题的可行域的二维设计问题的可行域D D，它位于，它位于X X2 2=2=2的上面和圆的上面和圆 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圆弧的圆弧ABCABC下面并包括线段下面并包括线段ACAC和圆弧和圆弧ABCABC在内。在内。图图1-3 约束条件规定的可行域约束条件规定的可行域D 可行域可行域可行域可行域:在在设计设计空空间间中，中，满满足足所有约束条件的所有约束条件的所构成的空所构

24、成的空间间。3.3.目标函数目标函数 在优化过程中，通过设计变量的不断向在优化过程中，通过设计变量的不断向F F(X X)值改善的方向值改善的方向自动调整，最后求得自动调整，最后求得F F(X X)值最好或最满意的值最好或最满意的X X值。在构造目标值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在目标函数中。在机械设计中，可作为参考目标变量必须包含在目标函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运

25、动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。最小等等。为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)F(X)表示。表示。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目

26、标函目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。求解亦愈复杂。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。数之间的关系。目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面 目标函数是目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空维空间中描述出来。为了在间

27、中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：目标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数，代表一族为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空维超曲面。如在二维设计空间中，间中，F(x1,x2)=c 代表代表x1-x2设计平面上的一族曲线。设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。称为等值线或等值面。图图1-4 等值线等值线 图图1-4表示目标函数

28、表示目标函数f（X）与两个设计变量）与两个设计变量x1，x2阶所构成的阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明

29、目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。变化规律。从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中F=40的等值线就是使的等值线就是使F(x1,x2)=40的各点的各点x1,x2T所组成的连所组成的连线。线。如图函数如图函数的等值线图。的等值线图。图图1-5 等值线等值线4.优化设计问题一般数学形式：优化设计问题一般数学形式：满足约束条件满足约束条件：求设计变量向量求设计变量向量使目标函数使目标函数 对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完对于

30、复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。间，有时也会改善优化结果。最最优优化化设设计计的的目目标标函函数数通通常常为为求求目目标标函函数数的的最最小小值值。若若目目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求-F（X）的

31、最小值，）的最小值，因为因为min-F（X）与）与maxF（X）是等价的。）是等价的。当然，也可看成是求当然，也可看成是求1F（X）的极小值。）的极小值。5、优化问题的几何解释无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在目标函数等值面的中心。约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在可行域内或在可行域边界上。6.建模实例建模实例1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可

32、以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题

33、的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：配料配料配料配料每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量钙钙钙钙蛋白质蛋白质蛋白质蛋白质纤维纤维纤维纤维每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）石灰石石灰石石灰石石灰石谷物谷物谷物谷物大豆粉大豆粉大豆粉大豆粉0.380 0.00 0.000.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.001 0.09 0.020.002 0.50 0.080.002 0.50 0.08 0.0164 0.0164 0.0463 0.0463 0.1

34、250 0.1250 以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过而不超过1.2%的钙的钙;至少至少22%的蛋白质的蛋白质;至多至多5%的粗纤维。假的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：成分为：混合饲料配合混合饲料配合解解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设设 是生产是生产10

35、0磅混合饲料所须的石灰石、谷物、磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。大豆粉的量（磅）。6.优化设计的分类优化设计的分类对于最优化问题一般可作如下分类：对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：还有其它的一些划分方法：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；规划问题；二次规划、几何规划、随机规划等。二次规划、几何规划、随机规划等。例例1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题一、几何解释一、几何解释1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法 通过二维优化问题的几何

36、求解来直观地描述优化设计的通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。基本思想。目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：，约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。图图图图1-91-9l由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为何的方法得该切点为 ，对应的最优值为对应的最优值为 l (见图）见图）用图解法求解用图解法求解 例例例例2 2：l解：先画出目标函数等值线，再画出

37、约束曲线，本处约束曲解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。使等值线具有最小值的点。l解：解：先画出等式约束曲线先画出等式约束曲线 的图形。的图形。这是一条抛物线，如图这是一条抛物线，如图例例例例3 3：l再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）l最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，ABCD 以及等值线与可行集的切点，易见可行域以及等值线与可行集的切点，

38、易见可行域为曲线段为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线段。当动点沿抛物曲线段ABCD由由A点出发时，点出发时，AB段目标函数值下段目标函数值下降。过点降。过点B后，在后，在BC段目标函数值上升。段目标函数值上升。过过C点后，在点后，在CD段目标函数值再次下降。段目标函数值再次下降。D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：可通过解方程组：l得出：得出：ABCDn 由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作

39、图，此法失效。平面上作图，此法失效。n 在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是数值的是 X|f(X)=C,C是常数是常数称为目标函数的等值称为目标函数的等值面。面。n等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：n（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；值函数；n（2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢；疏的地方变化得比较慢；n（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈）一般地，在极值点附近，等值面（线）近

40、似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。现为同心椭球面族（椭圆族）。求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有：二、基本解法二、基本解法解析法解析法解析法解析法数值解法数值解法数值解法数值解法解解解解析析析析法法法法：即即利利用用数数学学分分析析(微微分分、变变分分等等）的的方方法法，根根据据函函数数（泛泛函函）极极值值的的必必要要条条件件和和充充分分条条件件求求出出其其最最优优解解析析解的解的求解方法求解方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以。在目标函数比较简单时，求解还可以。局限性：局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至

41、还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。学分析方法就会带来麻烦。最最优优化化方方法法是是与与近近代代电电子子计计算算机机的的发发展展紧紧密密相相联联系系的的，数数值值计计算算法法比比解解析析法法更更能能适适应应电电子子计计算算机机的的工工作作特特点点，因因为为数数值值计计算算的迭代方法具有以下特点：的迭代方法具有以下特点：1 1）是数值计算而不是数学分析方法；）是数值计算而不是数学分析方法；2 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3 3）最后得出的是逼近

42、精确解的近似解。）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。这些特点正与计算机的工作特点相一致。数值解法：数值解法：数值解法：数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基

43、本解法。法）是优化设计问题的基本解法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。数值迭代法的数值迭代法的基本思路：基本思路：基本思路：基本思路：是进行反复的数值计算，寻是进行反复的数值计算，寻求求目标目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的度的最优点最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：1 1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X X（0 0），从，从X X（0 0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出出发按照一

44、定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到一步达到X X（1 1）点；点；2 2）得到新点）得到新点X X（1 1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从方向及适当的步长，从X X（1 1）点出发再跨出一步，达到点出发再跨出一步，达到X X（2 2）点，点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。目标函数的最优点。1.1.求解步骤求解步骤在中间过程中每一步的迭代形式为：在中间过程中每一步的迭代形式为：图图1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图迭代计

45、算机逐步逼近最优点过程示意图 上式中：上式中：X Xk k第第k k步迭代计算所得到的点，称第步迭代计算所得到的点，称第k k步迭代点，步迭代点，亦为第亦为第k k步设计方案；步设计方案；k k第第k k步迭代计算的步长；步迭代计算的步长；S Sk k第第k k步迭代计算的探索方向。步迭代计算的探索方向。用用迭迭代代法法逐逐步步逼逼近近最最优优点点的探索过程如图的探索过程如图1-111-11所示。所示。运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：下降的要求：（1 1）选择搜索方向）选择搜索方向）选择搜索方向）选择搜索方

46、向（2 2）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子（3）给定收敛准则）给定收敛准则收敛：收敛：迭代法要解决的问题：迭代法要解决的问题：2.2.迭代终止准则迭代终止准则（1 1）点距准则）点距准则或或ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)（2）函数值下降量函数值下降量 准则准则或或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)（3 3）目标函数梯度）目标函数梯度 准则准则 上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。

47、一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：3.3.算法的收敛性和收敛准则算法的收敛性和收敛准则 一一般般根根据据算算法法对对正正定定二二次次函函数数的的求求解解能能力力来来判判断断，能能在在有有限限步步迭迭代代中中得得到到其其极极小小点点，称称算算法法具具有有二二次次收收敛敛性性。具具有有二二次次收收敛敛性性的的算算法法是是收收敛敛速速度度较较高的方法高的方法。2)2)算法的收敛速度算法的收敛速度1)1)算法的收敛性算法的收敛性3 3）收敛准则）收敛准则）相对下降量准则）相对下降量准则）绝对下降量准则）绝对下降量准则

48、点距准则点距准则 目标函数下降量准则目标函数下降量准则(1)(1)基于迭代信息的收敛准则基于迭代信息的收敛准则（2 2）基于极值存在条件的收敛准则）基于极值存在条件的收敛准则 梯度准则梯度准则）梯度）梯度梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：）梯度准则）梯度准则 *对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为0 0，故函数梯度的模必为故函数梯度的模必为0 0。K-T K-T条件准则条件准则以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。图图图图1-12 1-12 优化设计流程优化设计流程优化设计流程优化设计流程三、优化设计三、优化设计 一般步骤一般步骤