2019版高中数学 第一章 计数原理 1.2 第2课时 排列的应用学案 苏教版选修2-3.doc

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1、- 1 -第第 2 2 课时课时 排列的应用排列的应用学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题知识点 排列及其应用1排列数公式A _(n，m nmN N*，mn)_.A _(叫做n的阶乘)另外，我们规定 0！_.n n2应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一 无限制条件的排列问题例 1 (1)有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2)有 7 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？反思与感悟 典型的排列问题，用排列

2、数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原- 2 -理求其方法种数排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素” 即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步计数原理解决的问题中，元素可以重复选取跟踪训练 1 (1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有 5 个不同的科研小课题，高二(6)班的 3 个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？类型二 排队问题命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题例 2 3 名男生，4 名女生，这 7 个人站成一排在下列情况下，各

3、有多少种不同的站法(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻- 3 -反思与感悟 处理元素“相邻” “不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法” ，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法” ，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素跟踪训练 2 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列

4、的方法有多少种？命题角度2 定序问题例 3 7 人站成一排(1)甲必须在乙的左边(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？- 4 -反思与感悟 这类问题的解法是采用分类法n个不同元素的全排列有 A 种排法，m个不同n n元素的全排列有 A 种排法因此 A 种排法中，关于m个元素的不同分法有 A 类，而且每m mn nm m一分类的排法数是一样的当这m个元素顺序确定时，共有种排法An n Am m跟踪训练 3 7 名师生排成一排照相，其中老师 1 人，女生 2 人，男生 4 人，若 4 名男生的身高都不等，按从高到低

5、的顺序站，有多少种不同的站法？命题角度3 特殊元素与特殊位置问题例 4 从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？- 5 -反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，

6、再安排其他位置提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误跟踪训练 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？- 6 -类型三 数字排列问题例 5 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 310 的四位偶数反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路常见附加条

7、件有：(1)首位不能为 0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数跟踪训练 5 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被 5 整除的五位数；(2)能被 3 整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则 240 135 是第几项- 7 -16 位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有_种23 名男生和 3 名女生排成一排，男生不相邻的排法有_种3用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_4从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4

8、100 m 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有_种参赛方案5用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字，并且比 20 000 大的五位偶数共_个求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法- 8 -答案精析答案精析知识梳理知识点1n(n1)(n2)(nm1) n(n1

9、)(n2)21 n！ 1n！nm！题型探究例 1 解 (1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个排列，所以共有 A 765210(种)不同的送法3 7(2)从 7 种不同的书中买 3 本书，这 3 本书并不要求都不相同，根据分步计数原理，共有777343(种)不同的送法跟踪训练 1 解 (1)从 5 个不同的课题中选出 3 个，由兴趣小组进行研究，对应于从 5 个不同元素中取出 3 个元素的一个排列，因此不同的安排方法有 A 54360(种)3 5(2)由题意知 3 个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题由于每个兴趣

10、小组都有 5 种不同的选择，且 3 个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步计数原理得共有 555125(种)报名方法例 2 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把 3 名男生进行全排列，有 A 种排3 3法，女生必须站在一起，即把 4 名女生进行全排列，有 A 种排法，4 4全体男生、女生各看作一个元素全排列有 A 种排法，2 2由分步计数原理知共有 A A A 288(种)排法3 34 42 2(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，故有 A A 720(种)不同的排法3 35 5(3)(不相邻问题插空法)先排女生有 A 种排法，把 3 名

11、男生安排在 4 名女生隔成的 5 个空中，4 4有 A 种排法，故有 A A 1 440(种)不同的排法3 54 43 5(4)先排男生有 A 种排法让女生插空，有 A A 144(种)不同的排法3 33 3 4 4跟踪训练 2 解 (1)先排歌唱节目有 A 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个空位，从中选5 54 个放入舞蹈节目，共有 A 种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 A A 43 4 65 54 6200(种)方法(2)先排舞蹈节目有 A 种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 5 个歌唱节4 4目放入所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 A A 2 880

12、(种)方法4 45 5例 3 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有2 520(种)不同的A7 7 A2 2排法- 9 -(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的.1 A3 3故有840(种)不同的排法A7 7 A3 3跟踪训练 3 解 7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A 种，而由高到低有从4 4左到右和从右到左的不同的站法，所以共有 2420(种)不同的站法A7 7 A4 4例 4 解 (1)方法一 把同学作为研究对象第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他 6 名同学中取出 5 名放在 5 个位置上，有

13、 A种5 6第二类：含有甲，甲不在首位：先从 4 个位置中选出 1 个放甲，再从甲以外的 6 名同学中选出 4 名排在没有甲的位置上，有 A 种排法根据分步计数原理，含有甲时共有 4A 种排4 64 6法由分类计数原理，共有 A 4A 2 160(种)排法5 64 6方法二 把位置作为研究对象第一步，从甲以外的 6 名同学中选 1 名排在首位，有 A 种方法1 6第二步，从占据首位以外的 6 名同学中选 4 名排在除首位以外的其他 4 个位置上，有 A 种4 6方法由分步计数原理，可得共有 A A 2 160(种)排法1 64 6方法三 (间接法)即先不考虑限制条件，从 7 名同学中选出 5

14、名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有 A 种；甲在首位的情况有 A 种，所以符合要求5 74 6的排法有 A A 2 160(种)5 74 6(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置第一步，从甲以外的 6 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置上，有 A 种方法2 6第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A 种方法3 5根据分步计数原理，有 A A 1 800(种)方法2 63 5(3)把位置作为研究对象第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A 种方法2 5第二步，从未排上的 5 名同学

15、中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A 种方法3 5根据分步计数原理，共有 A A 1 200(种)方法2 53 5(4)用间接法总的可能情况是 A 种，减去甲在首位的 A 种，再减去乙在末位的 A 种注意到甲在首位5 74 64 6同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次 A 种，所以共有 A 2A A 1 3 55 74 63 5- 10 -860(种)排法跟踪训练 4 解 6 门课总的排法是 A ，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有 A 种6 65 5排法；数学排在最后一节，有 A 种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排5 5在最后一节，这种情况有 A 种

16、排法因此符合条件的排法有 A 2A A 504(种)4 46 65 54 4例 5 解 (1)第一步，排个位，有 A 种排法；1 3第二步，排十万位，有 A 种排法；1 4第三步，排其他位，有 A 种排法4 4故共有 A A A 288(个)六位奇数1 3 1 4 4 4(2)方法一 (直接法)十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类第一类，当个位排 0 时，有 A 个；5 5第二类，当个位不排 0 时，有 A A A 个1 4 1 4 4 4故符合题意的六位数共有 A A A A 504(个)5 51 4 1 4 4 4方法二 (排除法)0 在十万位和 5 在个位

17、的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况故符合题意的六位数共有 A 2A A 504(个)6 65 54 4(3)分三种情况，具体如下：当千位上排 1,3 时，有 A A A 个1 2 1 3 2 4当千位上排 2 时，有 A A 个1 2 2 4当千位上排 4 时，形如 4 02,4 20 的各有 A 个；1 3形如 4 1的有 A A 个；1 2 1 3形如 4 3的只有 4 310 和 4 302 这两个数故共有 A A A A A 2A A A 2110(个)1 2 1 3 2 41 2 2 41 31 2 1 3跟踪训练 5 解 (1)个位

18、上的数字必须是 0 或 5.个位上是 0，有 A 个；个位上是 5，若不4 5含 0，则有 A 个；若含 0，但 0 不作首位，则 0 的位置有 A 种排法，其余各位有 A 种排法，4 41 33 4故共有 A A A A 216(个)能被 5 整除的五位数4 54 41 3 3 4(2)能被 3 整除的条件是各位数字之和能被 3 整除，则 5 个数可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5两种情况，能够组成的五位数分别有 A 个和 A A 个5 51 4 4 4故能被 3 整除的五位数有 A A A 216(个)5 51 4 4 4(3)由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为 1 有 A 个数，首位数字为 2，万位上为5 50,1,3 中的一个，有 3A 个数，4 4240 135 的项数是 A 3A 1193，5 54 4即 240 135 是数列的第 193 项- 11 -当堂训练1480 2.144 3.72 4.240 5.240