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1、静电场分析本讲稿第一页，共六十八页本章内容安排本章内容安排3.1 3.1 电场强度与电位函数电场强度与电位函数3.2 3.2 静电场的基本方程静电场的基本方程 3.3 3.3 电介质的极化与电通量密度电介质的极化与电通量密度3.4 3.4 导体的电容导体的电容 3.5 3.5 静电场的边界条件静电场的边界条件 3.6 3.6 恒定电场恒定电场 3.7 3.7 静电场边值问题静电场边值问题本讲稿第二页，共六十八页3.1 3.1 电场强度与电位函数电场强度与电位函数3.1.1 3.1.1 库仑定律库仑定律库仑定律（Couloms Law）是静电现象的基本实验定律，表明固定在真空中相距为R的两两点点

2、电电荷荷q1与q2之间的作用力：正正比比于它们的电电荷荷量量的乘乘积积；反反比比于它们之间距距离离的平平方方；作用力的方方向向沿两者间的连连线线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力.两个点电荷的相互作用两个点电荷的相互作用库仑定律表达式为本讲稿第三页，共六十八页3.1.2 3.1.2 电场电场(1)点电荷的电场强度设q为位于点S(x,y,z)处的点点电电荷荷，在其电场中点P(x,y,z)处引入试验电荷qt。根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（electric Field Intensity）定义为 场点与源点场点与源点 本讲稿第四页，共六十八页将观察点P称为场场点点，其位置用坐

3、标(x,y,z)或r来表示，把点电荷所在的点S称为源源点点，其位置用坐标(x,y,z)或r来表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r。直角坐标系中，其大小为又因为所以,本讲稿第五页，共六十八页当空间中同时有n个点点电电荷荷时，场点的电场等于各点电荷qi在该点产生的电场强度的矢量和矢量和，即(2)分布电荷的电场强度假设电荷是集中在一个点点上，从宏观的角度讲，电荷是连续的分布在一段线线上、一个面面上或一个体积体积内的。本讲稿第六页，共六十八页线电荷密度线电荷密度若电荷分布在一细细线线（其横向尺寸与长度的比值很小）上，定义线电荷密度为单位长度上的电荷式中，q是长度元l上的电荷。体电荷密度体电荷密

4、度若电荷分布在一个体积空间内，定义体电荷密度为单位体积内的电荷式中，q是体积元V内所包含的电荷。本讲稿第七页，共六十八页体电荷所产生的电场强度体电荷所产生的电场强度 设电荷以体密度V(r)分布在体积V内。在V内取一微小体积元dV，其电荷量dq=V(r)dV，其视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为体电荷产生的场体电荷产生的场体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场总电场为本讲稿第八页，共六十八页面电荷所产生的电场强度面电荷所产生的电场强度 线电荷所产生的电场强度线电荷所产生的电场强度本讲稿第九页，共六十八页3.1.3 3.1.3 电位函数电位函数定义定义1.在静电场中，某点P处的电位定

5、义为把单单位位正正电电荷荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为当电荷不延伸到无穷远处无穷远处时，一般把电位参考点Q选在无限远处，这将给电位的计算带来很大的方便。此时，任意P点的电位电位为本讲稿第十页，共六十八页2.点电荷的电位电位表达式为3.面电荷的电位电位表达式为4.线电荷的电位电位表达式为 电位电位与电场强度之间的电场强度之间的关系本讲稿第十一页，共六十八页3.1.4 3.1.4 电偶极子电偶极子1.电偶极子定义是指相距很近的两个等值异号的电荷。2.电偶极子产生的电位3.电偶极子产生的电场本讲稿第十二页，共六十八

6、页第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第十三页，共六十八页4.电偶极矩矢量大小大小:p=qd方向方向:由负电荷指向正电荷,则P点的电位为5.电偶极子产生的电场强度第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第十四页，共六十八页6.电偶极子的电场线第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第十五页，共六十八页3.2 3.2 静电场的基本方程静电场的基本方程3.2.1 3.2.1 电通（量）和电通（量）密度电通（量）和电通（量）密度1.力线的定义把一个试验电荷qt放入电场中，让它自由移动，作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，称这个路线为力线力线（Line of Force）或通量线通量线(

7、Flux Line)。2.电通量的定义若把电荷放在不同的位置，就能描绘出任意多条力线。为了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为规定一个电荷产生的力线条数等于用库库仑仑表示的电荷的大小，即场场线线(Field Line)表示电通量电通量(Electric Flux)。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第十六页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析孤立正电荷的电通孤立正电荷的电通 3.电通量的性质与媒质无关无关 大小仅与发出电通量的电荷有关有关 如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面 单位面积上的电通量，即电通密度，反比反比于R2 本讲稿第十七页，共六十

8、八页4.电通密度D点电荷q在半径R处的电通密度为，D的单位为C/m2则穿过某个曲面 S的电通量定义为第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第十八页，共六十八页3.2.2 3.2.2 高斯定律高斯定律设在无限大真真空空中O点有一点电荷q，以任意曲面S包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量电通量为式中d是表面dS在O点所张的立立体体角角。由于任何封闭面对曲面内的一点所张的立体角都是，所以通过曲面S的总电通量电通量为第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第十九页，共六十八页3.2.3 3.2.3 电场强度的环量电场强度的环量设电场强度为E，l为场中任意闭合路径，电场强度沿闭合路径的积分称为环量

9、环量。根据斯托克斯定理斯托克斯定理有第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十页，共六十八页3.3 3.3 电介质的极化与电通量密度电介质的极化与电通量密度1.1.束缚电荷束缚电荷理想的电介质（Ideal Dielectric）内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束束缚缚电荷电荷(Bound Charge)。2.电介质分子的分类根据物质的分子结构，可以将电介质的分子分成无无极极分分子子和有极分子有极分子两大类第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十一页，共六十八页3.分子的运动(1)分子的极化在通常情况下，无极分子正负电荷的作用中心是重合的，如图（a）

10、所示，有极分子正负电荷的作用中心不相重合而形成一个电电偶偶极极子子，但由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此就宏观来说，它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和矢量和为零为零，因而对外不呈现电性电性。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十二页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析电介质的极化电介质的极化 (a)正常状态下正负电荷中心重合正常状态下正负电荷中心重合(b)极化电介质的等效电偶极矩极化电介质的等效电偶极矩本讲稿第二十三页，共六十八页在外加电场力的作用下，无极分子正、负电荷的作作用用中中心心不再重合，有极分子的电电矩矩发生转向，这时它们的等效电偶极矩的矢

11、量和不再为零,如图（b)所示。这种情况称为电介质的极化(Polarized)。(2)极化电荷极化的结果是在电介质的内内部部和表表面面形成极极化化电电荷荷，这些极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，从而使介质中的电场不同于介质外的电场第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十四页，共六十八页(3)极化强度在极化电介质中取一小体积V,则V内的电矩总和记为p，定 义 单 位 体 积 内 的 电 偶 极 矩 为极极 化化 强强 度度 矢矢 量量(Polarization Intensity Vector),即如果pav表示V内每个分子的平平均均偶偶极极矩矩，N是每单位体积内的分子数，则极化

12、强度也可以表示为P=Npav 在线线性性、均均匀匀、各各向向同同性性的介质中，极化强度与电场强度满足下列关系：第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十五页，共六十八页(4)极化电介质产生的电位极化介质内取一微小体积元dV，dV内电电偶偶极极矩矩为dp=PdV，电偶极矩dp在P点产生的电位相当于一个电偶极子产生的电位电位，其表达式为考虑到 ，则有利用矢量恒等式矢量恒等式第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十六页，共六十八页因此，整个极化电介质在P点所产生的电位表达式为 说说明明:极化介质在P点产生的电位是两项的代数和。定义 为束缚面电荷密度束缚面电荷密度，为束缚体电荷密度束缚体电荷

13、密度，于是可得第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十七页，共六十八页(5)极化电介质产生的电场束缚电荷密度的产生是由于无无极极分分子子电电荷荷对的分离和有有极极分分子子电电偶偶极极矩矩的有序排列。如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则电介质中的电场E是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果，即第三章第三章 静电场分析静电场分析极化电介质外一点的场极化电介质外一点的场本讲稿第二十八页，共六十八页(6)电通量密度(7)任意介质中的静电场第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第二十九页，共六十八页3.4 3.4 导体的电容导体的电容在很多情况下，电荷分布在导体上或导体系统中，因此导体是

14、储存电荷的容器。储存电荷的容器称为电容器(Capacitor)。实际上，相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体都可构成电容器。第三章第三章 静电场分析静电场分析任意形状导体构成的电容任意形状导体构成的电容本讲稿第三十页，共六十八页1 电容的表达形式 一个导体上的电电荷荷量量与此导体相对于另一导体的电电位位之之比比定义为电容电容，其表达式为其中 C为电容，单位为F；Qa表示导体a的电荷，单位为C；Uab表示导体a相对于导体b的电位，单位为V。上式为由两个平板导体两个平板导体构成的电容器的电容电容。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第三十一页，共六十八页2 2 平行双导线平行双导线电容的表达形

15、式设平平行行双双导导线线中中每根导线的直径为d，双导线间的距离为D，其间充填有介质。设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为l，则双导线间的电场强度电场强度为第三章第三章 静电场分析静电场分析平行双导线平行双导线本讲稿第三十二页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析将上式积分即得双导线间的电压电压:根据电容的定义得平行双导线平行双导线单位长度的电容电容为本讲稿第三十三页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析3 3 同轴线电容的表达形式同轴线同轴线本讲稿第三十四页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析4 四导体系统的电容四导体系统四导体系统本讲稿第三十五页，共六十八页3

16、.5 3.5 静电场的边界条件静电场的边界条件3.5.1 3.5.1 电通量密度电通量密度D的法向分量的法向分量在介电常数分别为1与2的媒质1与媒质2的分界面上作一个小的柱形闭合面，分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1。因柱形面上、下底面积S很小，故穿过截面S的电通量密度可视为常数，假设柱形面的高h0，则其侧面积可以忽略不计。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第三十六页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析电通量密度的边界条件电通量密度的边界条件 本讲稿第三十七页，共六十八页设分界面上存在的自由面电荷密度为s，根据高高斯斯定定理理有或电位函数电位函数表示的边界边界 ，第三章第三章

17、 静电场分析静电场分析本讲稿第三十八页，共六十八页当分界面在两种不不同同介介质质之间时，若非特意放置，分界面上一般不存在自自由由面面电电荷荷，此时，穿过介质分界面的电通量密度的法向分量是连续的连续的，即或或第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第三十九页，共六十八页3.5.2 电场强度E的切向分量静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda。第三章第三章 静电场分析静电场分析电场强度的边界条件电场强度的边界条件 本讲稿第四十页，共六十八页其中ab和cd的长度为l，ab的方向为at，闭合路径所包围的矩矩形形平平面面的方向为s，bc和da的长度为h，分界面的法线方向n由

18、媒质2指向媒质1，显然有当h0时bc和da对积分 的贡献可忽略不计，因此有或第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第四十一页，共六十八页由矢量恒等式矢量恒等式因此，分界面上电场强度电场强度的矢量矢量形式的表达式为3.5.3 3.5.3 分界面上电场的方向分界面上电场的方向设分界面两侧的电场与法线n的夹角分别为1和2，则整理得，第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第四十二页，共六十八页3.6 3.6 恒定电场恒定电场 设空间分布的电荷在电场作用下作定向运动，则该体积空间中就存在电电流流。任取一个面积S，如果在t时间内穿过S的电量电量为q，则电流的大小定义为1体电流密度（1）体电流密度的定义

19、 假定体电荷密度为V的电荷以速度v沿某方向运动，。设在垂直于电荷流动的方向上取一面积元S，若流过S的电流为I，则矢量J的大小大小为第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第四十三页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析体电流密度体电流密度方向：正电荷的运动方向（2）体电流密度的物理意义描述电流在体积空间中流动的情况，称之为体体电电流流密密度度。电荷流动的空间是一个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流量为本讲稿第四十四页，共六十八页（3）体电流密度与电荷密度的关系关系其表明，体体电电流流密密度度的大小正比于体体电电荷荷密密度度与其运运动动速速度度的乘积，电流密度的方向就是电荷运动的方

20、向。2 面电流密度（1）面电流密度的定义 若电流分布于导电媒质的表面，可以用面电流密度来描述。在垂直于电荷流动的方向上取一线元l，流过它的电流为I，则面电流密度矢量JS的大小为第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第四十五页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析方向为正电荷的运动方向。面电流密度面电流密度（2）面电流密度与体电流的区别面面电电流流是在厚度为零的表面上流动的电流，其所占体积为零，是一种抽象的概念；体体电电流流密度是分布于体积内的有限值，在厚度为零的表面上流过的电流只能为零，否则将会得到体电流密度为无穷大的后果。本讲稿第四十六页，共六十八页3.6.2 3.6.2 恒定电场

21、的基本方程恒定电场的基本方程1 电荷守恒定律电荷既不能产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，因此从任意闭合面S流出的电流应等于由S所包围的体积V中单位时间内电荷减少的数量，2 电流连续性方程的积分形式第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第四十七页，共六十八页3 电流连续性方程的微分形式应用散度定理因所考察的体积是任意的，所以 4 恒定电场的性质与静电场具有相同的性质，即保保守守场场，或者说恒定电场沿任一闭合路径的积分等于零，即第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第四十八页，共六十八页5 欧姆定律实验证明,在导电媒质中，电流密度与电场强度有如下关系:式中，为导电媒质的电

22、导率(Conductivity)，其单位是S/m也称上式为欧姆定律的微分形式(Differential Form of Ohms Law)，它表明电流密度与电场强度成正比，对于线性媒质J与E的方向相同。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第四十九页，共六十八页6 焦耳定律因为导体内单位体积内的功率损耗功率损耗为称之为焦耳定律(Joules Law)的微分形式。7 电场基本方程的（1 1）积分形式）积分形式（2 2）微分形式）微分形式第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第五十页，共六十八页3.6.3 3.6.3 接地电阻接地电阻1 接地电阻定义所谓接接地地，就是将金属导体埋入地内，而将设

23、备中需要接地的部分与该导体连接，称埋在地内的导体或导体系统称为接接地体地体或接地电极接地电极。电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为接接地地电电阻阻。当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近电流密度最大最大。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第五十一页，共六十八页2 接地电阻图示接地电阻主要集中在电极附近电极附近。第三章第三章 静电场分析静电场分析接地电阻接地电阻本讲稿第五十二页，共六十八页3 接地电阻及跨步电压 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为r处的地中任一点的电流密度电流密度为电场强度电场强度为由于电流沿径向一直流出去，直

24、至无穷远处，电流在大地中的电压电压为第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第五十三页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析接地电阻及跨步电压接地电阻及跨步电压 本讲稿第五十四页，共六十八页3.6.4 3.6.4 电动势电动势1 导电回路中的电场电场是驱使电荷运动不可缺少的。以金属为例，金属中质量较大的正离子，在晶晶格格(Crystal Lattice)中的正常位置是相对固定的，无助于形成电流。因此金属中的电流是自由电子在电场作用下逆电场方向运动形成的（等效为正电荷沿电场方向运动。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第五十五页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析导电回路中

25、的电场导电回路中的电场 本讲稿第五十六页，共六十八页2 导电回路的总功率电流是静静电电力力与非非静静电电力力共同作用的结果，于是，包含电源的欧姆定律的微分形式微分形式为即含电源的闭合回路中的总总电电场场为 ，若回路中有恒定电流I且是均匀分布的，则相应的总功率总功率为第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第五十七页，共六十八页3.6.5 3.6.5 边界条件边界条件1 重要结论与静电场的边边界界条条件件相似的推导可得：在两种不同媒质的分界面上，电流密度矢量J的法向分量和电场强度E的切向分量均连续。2 图示第三章第三章 静电场分析静电场分析电流密度的边界条件电流密度的边界条件 恒定电场的边界条件

26、恒定电场的边界条件 本讲稿第五十八页，共六十八页3.7 3.7 静电场边值问题静电场边值问题1 边界值问题(Boundary Value Problem)给定边界条件下求有界空间的静静电电场场和电电源源外外恒恒定定电电场场的问题，称之为边界值问题边界值问题。2 边值问题分类类（1）第一类边界条件已知场域边界面S上各点电位的值，即给定又称为或“狄利克莱狄利克莱”条件。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第五十九页，共六十八页（2）第二类边界条件已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定也称为“诺伊曼诺伊曼”条件。这类问题称为第二类边值问题。（3）第三类边界条件已知场域边界面S上各点电位和

27、电位法向导数的线性组合值，即给定第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第六十页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析又称为“混合边界条件混合边界条件”。这类问题称为第三类边值问题第三类边值问题。3 自然边界条件若场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边边界界条条件件。对于电荷分布在有限区域的情况，则在无限远处电位为有限值，即本讲稿第六十一页，共六十八页3.7.1 3.7.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1 泊松方程泊松方程(Poissons Equation)在线性、各向同性、均匀的电介质中，称之为静电场的泊泊松松方方程程，它表示求解区域的电电位位分布取决于当地的

28、电荷电荷分布。2 拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplaces Equation)电电荷荷分布在导体表面的静静电电场场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即V=0，因而有 2=0称为拉拉普普拉斯方程拉斯方程。第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第六十二页，共六十八页3.7.2 3.7.2 唯一性定理唯一性定理1 定理内容在静电场中，每一类边界条件下，泊泊松松方方程程或拉拉普普拉拉斯斯方方程程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理唯一性定理。2 证明过程利用反反证证法法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理第三章第三章

29、静电场分析静电场分析本讲稿第六十三页，共六十八页整理，因为，所以，设在给定边界上的电位时，拉拉普普拉拉斯斯方方程程有1和2两个解，由于拉普拉斯方程是线线性性的，两个解的差=1-2也满足方程第三章第三章 静电场分析静电场分析本讲稿第六十四页，共六十八页第三章第三章 静电场分析静电场分析在边界S上，电位电位所以在边界S上的值为 则得本讲稿第六十五页，共六十八页3.7.3 3.7.3 静电场边界值问题的解法静电场边界值问题的解法第三章第三章 静电场分析静电场分析唯一性定理唯一性定理边值问题边值问题数值法数值法解析法解析法分离变量法分离变量法镜像法镜像法本讲稿第六十六页，共六十八页1.镜像法镜像法镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯唯一一性性定定理理，使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使用镜像法时要注意注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷；（2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域；（3）导电体是等位面。本讲稿第六十七页，共六十八页2.2.分离变量法分离变量法 分离变量法是把一个多多变变量量的函数表示成几个单单变变量量函数乘积的方法。使用分离变量法的基本步骤：（1）首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合；（2）其次要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。本讲稿第六十八页，共六十八页