频域分析信号的正交分解精选文档.ppt

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1、频域分析信号的正交分解本讲稿第一页，共四十九页本讲稿第二页，共四十九页0.0 信号的正交分解信号的正交分解 0.0.1 矢量的正交分解矢量的正交分解 1.正交矢量正交矢量 图 0.0-1 两个矢量正交 两矢量V1与V2正交时的夹角为90，不难得到两正交矢量的点积为零，即 本讲稿第三页，共四十九页图 0.0-2 矢量的近似表示及误差 2.非正交矢量的近似表示及误差非正交矢量的近似表示及误差 用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1V2=0。oV2V1qVec12V2V2本讲稿第四页，共四十九页3.矢量的分解矢量的分解 图 3.0-

2、3 平面矢量的分解 图 3.0-4 三维空间矢量的分解 本讲稿第五页，共四十九页 上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1,V2,，Vn为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即 式中，ViVj=0(ij)，显然第r个分量的系数 本讲稿第六页，共四十九页0.0.2 信号的正交分解 1.正交函数 设f(t)和g(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与g(t)成比例的一个函数c g(t)近似地表达 f(t)，其误差函数为 设f(t)、g(t)均为复函数，此时，c可以为实系数

3、，也可能为复系数,下面的式中，右上标出现“*”则代表取共轭复数 定义在(t1，t2)区间的两个函数f(t)和g(t),若满足 则称f(t)和g(t)在区间(t1，t2)内正交 本讲稿第七页，共四十九页(1).实域正交分解如何选择系数c 使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?通常使误差最小,即显然，如果f(t)与g(t)正交应有 c=0,因此正交的条件为：本讲稿第八页，共四十九页(2).复域正交分解本讲稿第九页，共四十九页上式中，据平方误差的定义知Ee0，式中惟一可供选择的参数为c。为使Ee最小，只有选择c=B，于是有 显然，如果f(t)与g(t)正交应有 c=0,因此正交的

4、条件为：本讲稿第十页，共四十九页2.信号的正交展开 设有一函数集g1(t),g2(t)，gN(t)，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j (可取1,2,，N)都有 则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果 则称该函数集为归一化正交函数集。本讲稿第十一页，共四十九页如果在正交函数集g1(t)，g 2(t)，g n(t)之外，不存在函数g(t)(0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。(i=1，2，n)三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,和 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集

5、。本讲稿第十二页，共四十九页（1）.实域信号的正交展开 用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合来逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即 如何选择系数使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?通常使误差最小,即本讲稿第十三页，共四十九页本讲稿第十四页，共四十九页 用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即 这种近似表示所产生的平方误差为：2.复域信号的正交展开 本讲稿第十五页，共四十九页本讲稿第十六页，共四十九页本讲稿第十七页，共四十九页同样可以导出，欲使平方误差

6、最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取：此时的平方误差为(0.1-1)(0.1-2)本讲稿第十八页，共四十九页 定理 0.0-1 设gr(t)在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为gi(t)的线性组合，即 式中，cr为加权系数，且有 式(0.1-3)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。(0.1-3)(0.1-4)本讲稿第十九页，共四十九页 定理 0.0-2 在式(0.1-3)条件下，平方误差Ee=0，由(0.1-2)式有 式(0.1-5)可以理解为：f(t)的能量等于在完

7、备正交函数集中分解的各个分量的能量之和，即能量守恒定理,有时也称帕塞瓦尔定理。(0.1-5)在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则误差越小,当n时（为完备正交函数集）误差为零。本讲稿第二十页，共四十九页积化和差公式 和差化积公式 本讲稿第二十一页，共四十九页0.1 周期信号的连续时间傅里叶级数 0.1.1 三角形式的傅里叶级数 三角函数集cosnt,sinnt|n=0,1,2,是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2/是各个函数cosnt，sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：本讲稿第二十二页，共四十九页上述正交三角函数集中，当n=0时，

8、cos 0=1,sin 0=0，而0不计在正交函数集中，故正交三角函数集可具体写为 式中，=2/T称为基波角频率，a0，an和bn为加权系数。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-,)区间也是成立的。本讲稿第二十三页，共四十九页可得加权系数：本讲稿第二十四页，共四十九页an=Ancosn，bn=Ansin n，n=1,2,3,本讲稿第二十五页，共四十九页上式表明，时域周期信号可分解为直流和简单正余弦分量的线性组合，利用傅里叶级数的变换，可以把复杂的问题分解成为简单问题进行分析处理。这里，A0为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的

9、角频率与原周期信号相同；A2cos(2 t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；Ancos(n t+n)称为n次谐波。本讲稿第二十六页，共四十九页0.2 指数形式的傅里叶级数式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0,t0+T)内用此函数集表示为 本讲稿第二十七页，共四十九页表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的 虚指数信号之和，F0=A0为直流分量。本讲稿第二十八页，共四十九页本讲稿第二十九页，共四十九页另一证法：本讲稿第三十页，共四十九页本讲稿第三十一页，共四十九页0.3 周期信号的频谱总结：以正余弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信

10、号可分解 为一系列不同频率的正余余弦信号或虚指数信号之和。本讲稿第三十二页，共四十九页 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将 An(n)和 n(n)的关系分别画在以(n)为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图，因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|(n)和 n(n)的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn，负频率无实际意义。许多场合，周期信号的频谱比时域表达更能反映信号的本质特征。（周期信号对应离散频谱，周期大小决定频谱的离散间隔）例子：周期矩形脉冲信号 f(t)t0/2/2T TT/2E本讲稿第三十三页，共四十九页（1）三

11、角形式的傅里叶级数本讲稿第三十四页，共四十九页(2)指数形式的傅里叶级数4/Ann 0 2 2/n n 0 2 本讲稿第三十五页，共四十九页4/|Fn|n 2 -4/0 2 2/-2/n n 0 2 2/Fnn 2 4/0 2 4/-2/本讲稿第三十六页，共四十九页 取样函数定义:是偶函数，且x0时，Sa(x)=1；当x=k时，Sa(k)=0。本讲稿第三十七页，共四十九页周期信号频谱特点：(1)离散性，频谱由不连续的谱线组成(2)谐波性，频谱线只出现在基波频率的整数倍频率上(3)收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。当n时，|Fn|0。本

12、讲稿第三十八页，共四十九页 Fnn 0 2/4/Fnn 0 2/f(t)t0T Et0T f(t)Et0Tf(t)E Fnn 0 2/4/本讲稿第三十九页，共四十九页0.3 非周期信号的连续时间傅里叶变换 非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号，当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷小量d，而离散频率n变成连续频率。各频率分量的幅度Fn也趋近于无穷小，但 可望趋于有限值，且为一个连续函数。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令(单位频率上的频谱）称F(j)为频谱密度函数。本讲稿第四十页，共四十九页傅立叶傅立叶变换变换傅立叶傅立叶逆变换逆变换F(jF(j)=)=F f

13、f (t(t)称频谱函数称频谱函数 f f (t(t)=F(jF(j)称为原函数称为原函数本讲稿第四十一页，共四十九页F 变换对变换对常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数 f(t)=e t(t)，0实数实数2.双边指数函数双边指数函数 f(t)=et ,0 wF(jw)oa2 本讲稿第四十二页，共四十九页3.门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4.冲激函数冲激函数(t)F(jw)wof(t)to1d(t)本讲稿第四十三页，共四十九页5.常数常数16.6.符号函数符号函数Sgn(Sgn(t t)本讲稿第四十四页，共四十九页7.7.阶跃函数阶跃函数(t t)本讲稿第四十五页，共四十九页本讲稿第四十六页，共四十九页本讲稿第四十七页，共四十九页本讲稿第四十八页，共四十九页本讲稿第四十九页，共四十九页