计算方法与误差精选文档.ppt

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1、计算方法与误差本讲稿第一页，共五十二页1.1.修正值修正值(Correction):为了消除为了消除固定的系统误差固定的系统误差用代数用代数法而加到测量结果上的值。法而加到测量结果上的值。修正值修正值真值真值测得值测得值 特点：特点：1)1)与误差大小近似相等，但方向相反。与误差大小近似相等，但方向相反。2)2)修正值本身还有误差。修正值本身还有误差。误差误差有关误差的几个概念本讲稿第二页，共五十二页【例例1 1】用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为226226V V，查，查该表的检定证书，得知该电压表在该表的检定证书，得知该电压表在220220V V 附近的误

2、附近的误差为差为5 5V V ，被测电压的，被测电压的修正值为修正值为5 5V V ，则修正后，则修正后的测量结果为的测量结果为 226+(5V)=221V。有关误差的几个概念本讲稿第三页，共五十二页2.2.引用误差引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）定义定义:该标称范围（或量程）上限 引用误差 仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差 引用误差是一种引用误差是一种相对误差相对误差，而且该相对误差是，而且该相对误差是引用了引用了特定值特定值，即，即标称范围上限标称范围上限（或（或量程量程）得到的，故该误）得到的，故该误差又称为差又称为引用

3、相对误差引用相对误差、满度误差满度误差。有关误差的几个概念本讲稿第四页，共五十二页我国电工仪表、压力表的我国电工仪表、压力表的准确度等级（准确度等级（Accuracy ClassAccuracy Class）就是按照就是按照引用误差引用误差进行进行分级分级的。的。当一个仪表的等级当一个仪表的等级s s选定后，用此表测量某一被测量选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的时，所产生的最大绝对误差最大绝对误差为：为：最大相对误差最大相对误差为为绝对误差的最大值与绝对误差的最大值与该仪表的标称范围该仪表的标称范围（或量程）上限（或量程）上限x xm m成正成正比比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围

4、选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确越准确（公式2）（公式1）3.3.电工仪表、压力表的准确度等级电工仪表、压力表的准确度等级有关误差的几个概念本讲稿第五页，共五十二页【例例2 2】检定一只检定一只2.52.5级、量程为级、量程为100V100V的电压表，发现在的电压表，发现在50V50V处误差最大，其值处误差最大，其值为为2V2V，而其他刻度处的误差均小于，而其他刻度处的误差均小于2V2V，问这只电压表是否合格？，问这只电压表是否合格？由由引用误差公式引用误差公式，该电压表的引用误差为：，该电压表的引用误

5、差为：由于由于所以该电压表合格。所以该电压表合格。【解解1 1】【解解2 2】0.1级级电电流流表表允允许许的的相相对对引引用用误误差差为为0.1，允允许许的的最最大绝对误差为大绝对误差为 100.10.01(A)10mA。因因8mA10mA，故该电流表合格。，故该电流表合格。本讲稿第六页，共五十二页【例例3 3】某某1.01.0级电流表，满度值（标称范围上限）为级电流表，满度值（标称范围上限）为100100，求测量值分别为，求测量值分别为100100，8080和和2020时的绝对误差和相对误差。时的绝对误差和相对误差。根据题意得根据题意得由由公式公式1 1可知，最大绝对误差为：可知，最大绝对

6、误差为：相对误差分别为：相对误差分别为：可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。【解解】本讲稿第七页，共五十二页我国电工仪表共分我国电工仪表共分七级七级：0.10.1、0.20.2、0.50.5、1.01.0、1.51.5、2.52.5及及5.05.0。0.10.1级表的引用误差的最大值不超过级表的引用误差的最大值不超过0.10.1；0.50.5级表的引用误差的最大值不超过级表的引用误差的最大值不超过0.50.5等。等。工业自动化仪表的精度等级一般在工业自动化仪表的精度等级一般在0.20.25.05.0级之间。级之间。3.3.电工仪表、压力表的准确度等级电工仪表、压力表的准确度等级

7、有关误差的几个概念本讲稿第八页，共五十二页误差的分类按误差性质分类，误差可分为：1、偶然误差偶然误差(又称随机误差又称随机误差)在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。2、系统误差系统误差绝对值和符号保持绝对值和符号保持不变不变，或在条件改变时，按一定规律一定规律变化的误差。3、粗大误差粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。各类误差之间在一定条件各类误差之间在一定条件下可以相互转化。下可以相互转化。本讲稿第九页，共五十二页如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统

8、误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化误差性质的相互转化本讲稿第十一页，共五十二页精 度定义：定义：反映测量结果与真值接近程度的量称为精度。反映测量结果与真值接近程度的量称为精度。误差大精度低、误差小精度高。误差大精度低、误差小精度高。精度分为：精度分为：准确度准确度（Correctness）反映测量结果中反映测量结果中系统误差系统误差的影响程度的影响程度精密度精密度（Precision）反映测量结果中反映测量结果中随机误差随机误差的影响程度

9、的影响程度精确度精确度（Accuracy）反映测量结果中反映测量结果中系统误差和随机误差综合系统误差和随机误差综合的影响的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度（或）极限误差来表示。程度，其定量特征可用测量的不确定度（或）极限误差来表示。本讲稿第十二页，共五十二页定定义义：在在同同一一条条件件下下多多次次测测量量同同一一量量值值时时，绝绝对对值值与与符符号号无无法法预预知知，但但服服从从统统计计规规律律的的误误差。差。随机误差tI(cps)例：用放射性仪器测量同一样品本讲稿第十三页，共五十二页随机误差的基本特征对称性对称性绝对值相等的正误差与负误差出现的几率相等绝对值相等的正误差与负误差出现的

10、几率相等单峰性单峰性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现几率大绝对值小的误差比绝对值大的误差出现几率大有界性有界性一定测量条件下误差绝对值不会超过一定界限一定测量条件下误差绝对值不会超过一定界限抵偿性抵偿性测量次数足够多时，误差的算术平均值趋于零测量次数足够多时，误差的算术平均值趋于零随机误差所具有的抵偿性可以由其对称性特征导出。随机误差所具有的抵偿性可以由其对称性特征导出。对有限次测量，随机误差的算术平均值是一有界小量。对有限次测量，随机误差的算术平均值是一有界小量。对足够多次测量，随机误差算术平均值趋于零。对足够多次测量，随机误差算术平均值趋于零。大部分随机误差均服从正态分布。大部分随机误差

11、均服从正态分布。本讲稿第十四页，共五十二页正态分布特征参数：数学期望、方差特征参数：数学期望、方差特征参数：数学期望、方差特征参数：数学期望、方差1 1、数学期望值、数学期望值2 2、方差、方差3 3、平均误差、平均误差标准差标准差为曲线拐点为曲线拐点A的横坐标的横坐标04 4、或然误差、或然误差本讲稿第十五页，共五十二页算术平均值（最大或然值）1、算术平均值的计算2、算术平均值的意义算术平均值与被测量的真值算术平均值与被测量的真值最为接近最为接近。证明如下：。证明如下：由有整理后有本讲稿第十六页，共五十二页由随机误差的第四特征有：当有所以有由此可见，对某一量进行无限多次测量，可得不受随机误差

12、影响的测量值，或其影响可以忽略。这就是当测量次数足够多时，算术平均值被认为是最接近于真值的理论依据。实际工作中，只能进行有限次测量，此时得到的算术平均值只能是真值的近似值。本讲稿第十七页，共五十二页测量的标准差测量的测量的标准偏差标准偏差简称为简称为标准差标准差，也称为，也称为均方根误差均方根误差由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准评定标准。测量的标准偏差就是为此引入的参数。本讲稿第十八页，共五十二页标准差标准差的数值大小，反映了测量数据的的数值大

13、小，反映了测量数据的集中程度集中程度。标标准准差差的的数数值值小小，该该测测量量列列相相应应小小的的误误差差就就占占优优势势，任任一一单单次次测测得得值值对对算算术术平平均均值值的的分分散散度度就就小小，测测量量的的可靠性就大，即可靠性就大，即测量精度高测量精度高；标标准准差差的的数数值值大大，测测量量数数据据间间分分散散程程度度大大，精精度度就就低低。单单次次测测量量的的标标准准差差是是表表征征同同一一被被测测量量的的n n次次测测量量的的测测得得值值分分散散性性的的参参数数，可可作作为为测测量量列列中中单单次次测测量量不不可可靠靠性性的的评评定标准。定标准。测量的标准差意义本讲稿第十九页，

14、共五十二页在等精度等精度测量列中，单次测量的标准差计算的理论理论公式公式：式中 n 测量次数(应充分大)；i测得值与被测量的真值之差。测量的标准差理论公式本讲稿第二十页，共五十二页在有有限限次次测测量量情况下，可用残残余余误误差差代替真真误误差差，而得到标准差的估计值估计值。测量的标准差实际公式本讲稿第二十一页，共五十二页或然误差或然误差 测量的标准差其它公式平均误差平均误差 本讲稿第二十二页，共五十二页在在n n次次测测量量的的等等精精度度测测量量列列中中，算算术术平平均均值值的的标标准准差差为为单单次次测测量量标标准准差差的的1 1n1/21/2，当当测测量量次次数数n n愈愈大大时时，算

15、算术平均值愈接近被测量的真值，术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高测量精度也愈高。测量的标准差算术平均值的标准差本讲稿第二十三页，共五十二页例：相同条件下对一物理量测量例：相同条件下对一物理量测量100次，依据这次，依据这100测量结测量结果求出标准差为果求出标准差为 0.05，现要求测量量的标准差不大于，现要求测量量的标准差不大于0.01，问如何安排对该量的测量。，问如何安排对该量的测量。解：本题是已知解：本题是已知，求，求x 的问题。的问题。由由有有即在相同条件下测量不少于即在相同条件下测量不少于25次，取其平均值作为测量结果，平均次，取其平均值作为测量结果，平均值的标准差将不大于值

16、的标准差将不大于0.01。本讲稿第二十四页，共五十二页评定算术平均值的其它标准 或然误差R或平均误差T 或然误差或然误差R R平均误差平均误差T T本讲稿第二十五页，共五十二页解：解：例：用游标卡尺对某一尺寸测量例：用游标卡尺对某一尺寸测量1010次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位为次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位为mmmm）：）：75.0175.01，75.0475.04，75.0775.07，75.0075.00，75.0375.03，75.0975.09，75.0675.06，75.0275.02，75.0575.05，75.0875.08求算术平均

17、值及其标准差。求算术平均值及其标准差。求出算术平均值为：求出残余误差和为：校核结果一致计算结果正确本讲稿第二十六页，共五十二页根据上述各个误差计算公式可得单次测量值的均方差：算术平均值的均方差：或然误差：平均误差：本讲稿第二十七页，共五十二页测量的极限误差 测测量量的的极极限限误误差差是是极极端端误误差差，测测量量结结果果（单单次次测测量量或或测测量量列列的的算算术术平平均均值值）的的误误差差不不超超过过该该极极端端误误差差的的概概率率为为P P，并使差值，并使差值(1(1P)P)可予忽略。可予忽略。t|t2(t)12(t)测量次测量次数数,n,n超出超出|的的测量次数测量次数0.671234

18、0.67 1 2 3 4 0.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111本讲稿第二十八页，共五十二页单次测量单次测量的极限误差的极限误差工程问题中其它常用置信系数工程问题中其它常用置信系数t t值有值有 t=2.58 t=2.58，P=99P=99；t=2t=2，P=95.44P=95.44；t=1.96t=1.96，P=95P=95通常情况下，选择置信系数不同，确定的置信概率区间也通常情况下，选择置信系数不同，确定的置信概率区间也不同。不同。测量的极限误差本讲稿第二十九页，共五十二页算

19、术平均值算术平均值的极限误差的极限误差 测量次数较测量次数较少少时时 t a 由由 t 分布表分布表查出；查出；置信系数置信系数,由给定的置信概率由给定的置信概率P=l-和自由度和自由度=n-1查查t 分布表分布表来确定。来确定。超出极限误差的概率超出极限误差的概率(称显著度或显著水平称显著度或显著水平)测量次数较测量次数较多多时时 t a 由由 正态分布正态分布表表查出；查出；测量的极限误差本讲稿第三十页，共五十二页解解n例题例题 某仪器在相同条件下对某量测量了10次，获得以下数据。试判定该组测量数据是否可靠？100，95，98，106，121，109，99，84，104，99分析：在此情况

20、下，实际是要考察测量数据是否符合正态分布的规律。现落入x1（91.85111.15）数据数为8个现落入x3（72.55130.45）数据数为10个故可以认为该批数据可靠本讲稿第三十一页，共五十二页 例 对某量进行6次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值：标准差：算术平均值标准差本讲稿第三十二页，共五十二页因测量次数较少，应按 t 分布计算算术平均值的极限误差 现求出自由度：n-15取显著性水平：0.01 由t分布表查得：求得极限误差：若按正态分布计算，取=0.01，相应的置信概率P=1-=

21、0.99，由正态分布表查得t=2.60，则得算术平均值的极限误差为当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显差别。本讲稿第三十三页，共五十二页不等精度测量不等精度测量的概念不等精度测量的概念 在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为不等精度测量。常见不等精度测量的类型：用不同测量次数进行对比测量。用不同精度的仪器进行对比测量。用不同测量次数进行对比测量 用同台仪器测量某一参数，先后用n1次和n2次进行测量，分别求得算术水平均值x1和x2。因为n1与n2不同，造成x1与x2的精度不一样。用不同精度的仪器进行对比测量 对于高精度

22、或重要的测量任务，往往要用不同精度的仪器进行互比核对测量，显然所得到的结果不会相同。本讲稿第三十四页，共五十二页不等精度测量1、权的确定方法2、加权算术平均值为接近为接近的任选参考值的任选参考值 测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。该测量结果所给予的信赖程度。每组测量结果的每组测量结果的权权与其相应的与其相应的标准差平方标准差平方成成反比反比本讲稿第三十五页，共五十二页不等精度测量3、各组标准差已知标准差已知时的加权算术平均值的标准差4、各组标准差未知标准差未知时的加权算术平均值的标准差本讲稿第三十

23、六页，共五十二页例：对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为求各测量结果的权。解：因此各组的权可取成本讲稿第三十七页，共五十二页例：工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。解：按测量次数来确定权：选取 x0=999.94本讲稿第三十八页，共五十二页例：工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后

24、测量结果的加权算术平均值的标准差。解：由加权算术平均值得已知：本讲稿第三十九页，共五十二页系统误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。系统误差一般不能采用算术平均值的方法来减少。系统误差往往与随机误差混在一起，且影响程度比随机误差大，不解决系统误差影响，对随机误差的处理就意义不大。定义、特点、意义定义、特点、意义本讲稿第四十页，共五十二页系统误差(一一)不变的系统误差不变的系统误差 在整个测量过程中，误差符号和大小固定不变的系统误差，称为不变的系统误差。(二二)线性变化的系统误差线性变化的系统误差在整个测量过程中，随着测量值

25、或时间的变化，误差值是成比例地增大或减小，称为线性变化的系统误差。(三三)周期性变化的系统误差周期性变化的系统误差在整个测量过程中，若随着测量值或时间的变化，误差是按周期性规律变化的，称为周期性变化的系统误差。(四四)复杂规律变化的系统误差复杂规律变化的系统误差本讲稿第四十一页，共五十二页系统误差的发现系统误差的发现残余误差观察法残余误差观察法测量列测量列组内组内系统误差的方法系统误差的方法残残余余误误差差观观察察法法是是根根据据测测量量列列的的各各个个残残余余误误差差大大小小和和符符号号的的变变化化规规律律，直直接接由由误误差差数数据据或或误误差差曲曲线线图图形形来来判判断断有有无无系系统统

26、误误差差，这这种种方方法法主主要要适适用用于于发发现现有有规规律律变变化化的的系统误差。系统误差。系统误差据此，可以按测量顺序，将据此，可以按测量顺序，将残余误差列表或作图残余误差列表或作图，即可判断是否存在系统，即可判断是否存在系统误差。误差。正、负出现无规律，正、负出现无规律，无系统误差无系统误差本讲稿第四十二页，共五十二页残残余余误误差差数数值值有有规规律律地地递递增增或或递递减减，在在测测量量开开始始与与结结束束时时误误差差符符号号相相反反，存存在在线线性系统误差性系统误差。残残余余误误差差符符号号有有规规律律地地逐逐渐渐由由负负变变正正、再再由由正正变变负负，且且循循环环交交替替重重

27、复复变变化化，则则存存在在周周期期性系统误差性系统误差。残残余余误误差差符符号号有有规规律律地地递递增增或或递递减减，且且有有规规律律地地逐逐渐渐由由负负变变正正、再再由由正正变变负负且且循循环环交交替替重重复复变变化化，故故可可能能存存在在线线性性系系统统误误差差与与周周期期性系统误差性系统误差。本讲稿第四十三页，共五十二页序号1234567891020.0620.0720.0620.0820.1020.1220.1420.1820.1820.21-0.06-0.05-0.06-0.04-0.02-0.00+0.02+0.06+0.06+0.09误差顺序由负到正，误差顺序由负到正，存在存在线

28、性系统误差线性系统误差例：恒温箱例：恒温箱温度测量温度测量10次，得表次，得表结果，判结果，判断是否存断是否存在系统误在系统误差。差。本讲稿第四十四页，共五十二页系统误差的发现秩和检验法各测量组之间各测量组之间对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。若独立测得两组的数据为将它们混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序(即秩)，再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。若两组的测量次数n1、n210，可根据测量次数较少的组的次数和测量次数较多的组的次数，由秩和检验表210查得T-和T+(显著度0.05)，若T-T

29、 10，秩和T 近似服从正态分布 根据求得的数学期望值 a 和标准差，有 选取概率，由正态分布积分表查得ta，若判定：两组数据间无系统误差判定：两组数据间无系统误差 系统误差本讲稿第四十七页，共五十二页例：对某量测得两组数据如下，判断两组数据间有无系统误例：对某量测得两组数据如下，判断两组数据间有无系统误差差 解：将两组数据混合排列成下表解：将两组数据混合排列成下表计算秩和 找测量次找测量次数少的组数少的组根据 查表得 T T1 12 23 34 45 56 67 714.714.714.814.815.215.215.615.614.614.615.015.015.115.1因为故可以认为两

30、组数据间无系统误差。本讲稿第四十八页，共五十二页3准则(莱以特准则)实际处理时，以贝塞尔公式算得，以 代表真值。对某个可疑数据ld，若其残差满足可判断为具有粗大误差，应剔除ld应用该准则要求测量次数充分大。当n10，不能用该准则。粗大误差本讲稿第四十九页，共五十二页作作业业：用用级级别别为为0.5、量量程程为为10mA的的电电流流表表对对某某电电路路的的电电流流作作10次次等等精精度度测测量量，测测量量数数据据如如下下表表所所示示。试试计计算算测测量量结结果果及及标标准准差差，并以测量结果形式表示。，并以测量结果形式表示。N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10I（mA）9.552 9.5

31、60 9.500 9.534 9.600 9.400 9.576 9.620 9.592 9.560本讲稿第五十一页，共五十二页用用级级别别为为0.5、量量程程为为10mA的的电电流流表表对对某某电电路路的的电电流流作作10次次等等精精度度测测量量，测测量量数数据据如如下下表表所所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示。示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示。N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10I（mA）9.552 9.560 9.500 9.534 9.600 9.400 9.576 9.620 9.592 9.5609.549（mA）0.03（mA）测量结果测量结果 I=9.550.03（mA）本讲稿第五十二页，共五十二页