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1、计量经济学 ppt 本讲稿第一页，共一百四十一页本章内容本章内容 多元线性回归模型概述多元线性回归模型概述 多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测可化为线性的非线性模型可化为线性的非线性模型受约束回归受约束回归本讲稿第二页，共一百四十一页3.1 3.1 多元线性回归模型概述多元线性回归模型概述(Regression Analysis)一、总体回归函数一、总体回归函数二、随机扰动项二、随机扰动项三、样本回归函数三、样本回归函数四、经典回归模型的基本假设四、经典回归模型的基本假设本讲稿第

2、三页，共一百四十一页一、总体回归函数一、总体回归函数Population Regression Function,PRF本讲稿第四页，共一百四十一页回归分析回归分析回归分析回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。论。其目的其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。预测前者的（总体）均值。两类变量；两类变量；被解释变量被解释变量（Explained Variable）或）或应变量应变量（D

3、ependent Variable）。）。解释变量解释变量（Explanatory Variable）或）或自变量自变量（Independent Variable）。）。本讲稿第五页，共一百四十一页关于变量的术语关于变量的术语Explained Variable Explanatory VariableDependent Variable Independent VariableEndogenous Variable Exogenous Variable Response Variable Control VariablePredicted Variable Predictor Variabl

4、eRegressand Regressor本讲稿第六页，共一百四十一页回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：内容包括：根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；程；对回归方程、参数估计值进行显著性检验；对回归方程、参数估计值进行显著性检验；利用回归方程进行分析、评价及预测。利用回归方程进行分析、评价及预测。本讲稿第七页，共一百四十一页总体回归模型总体回归模型i=1,2,n 总体回归模型：总体回归模型：总体回归函数的随机表达形式总体回归函数的随机表达形式k为解释变量的数目。习

5、惯上，把常数项看成为虚变量为解释变量的数目。习惯上，把常数项看成为虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取的系数，该虚变量的样本观测值始终取1 1。于是，模。于是，模型中解释变量的数目为型中解释变量的数目为（k+1+1）。j j称为称为回归参数回归参数（regression coefficient）。）。本讲稿第八页，共一百四十一页总体回归函数：总体回归函数：描述在给定解释变量描述在给定解释变量Xi条件下被解条件下被解释变量释变量Yi的条件均值。的条件均值。j也被称为也被称为偏回归系数偏回归系数(partial regression coefficients)，表示在其他解释变量保持不变的情，

6、表示在其他解释变量保持不变的情况下，况下，Xj每变化每变化1个单位时，个单位时，Y的均值的均值E(Y)的变化。的变化。或者说或者说j给出了给出了Xj的单位变化对的单位变化对Y均值的均值的“直接直接”或或“净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）影响。总体回归函数总体回归函数本讲稿第九页，共一百四十一页总体回归模型的矩阵表示总体回归模型的矩阵表示本讲稿第十页，共一百四十一页二、随机扰动项二、随机扰动项Stochastic Disturbance本讲稿第十一页，共一百四十一页随机扰动项随机扰动项观察值围绕它的期望值的观察值围绕它的期望值的离差离差（deviation），称为），称为随机干扰项随

7、机干扰项（stochastic disturbance）或）或随机误差项随机误差项（stochastic error），是一个不可观测的随机变量。），是一个不可观测的随机变量。总体回归模型总体回归模型(PRM)(PRM)表明被解释变量除了受解释变量表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。本讲稿第十二页，共一百四十一页随机误差项主要包括下列因素：随机误差项主要包括下列因素：在解释变量中被忽略的因素的影响；在解释变量中被忽略的因素的影响；变量观测值的观测误差的影响；变量观测值的观测误差的影响；模型关系的设定误差的影响；模型关系

8、的设定误差的影响；其它随机因素的影响。其它随机因素的影响。讨论：源生的随机扰动项和衍生的随机误差项讨论：源生的随机扰动项和衍生的随机误差项不存在确定性误差时二者等价。不存在确定性误差时二者等价。存在确定性误差时二者不等价。存在确定性误差时二者不等价。模型的数学基础是建立在源生的随机扰动项的基模型的数学基础是建立在源生的随机扰动项的基础之上：中心极限定理。础之上：中心极限定理。本讲稿第十三页，共一百四十一页三、样本回归函数、样本回归函数Sample Regression Function,SRF本讲稿第十四页，共一百四十一页样本回归函数与样本回归模型样本回归函数与样本回归模型从一次抽样中获得的总

9、体回归函数的近似，称为从一次抽样中获得的总体回归函数的近似，称为样本回样本回归函数（归函数（sample regression function）。样本回归函数的随机形式，称为样本回归函数的随机形式，称为样本回归模型样本回归模型（sample regression model）。本讲稿第十五页，共一百四十一页样本回归函数的矩阵表示样本回归函数的矩阵表示本讲稿第十六页，共一百四十一页四、经典线性回归模型的基本假设四、经典线性回归模型的基本假设The Basic Assumptions of Classical Linear Regression Model(CLRM)本讲稿第十七页，共一百四十一

10、页说明说明为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。若干基本假设。实际上这些假设与所采用的估计方法紧密相关。实际上这些假设与所采用的估计方法紧密相关。下面的假设主要是针对采用下面的假设主要是针对采用普通最小二乘法（普通最小二乘法（Ordinary Least Squares,OLS）估计而提出的。所以，在有些估计而提出的。所以，在有些教科书中称为教科书中称为“The Assumption Underlying the Method of Least Squares”。在不同的教科书上关于基本假设的陈述略有不同，下在不同的教科书上关

11、于基本假设的陈述略有不同，下面进行了重新归纳。面进行了重新归纳。本讲稿第十八页，共一百四十一页1 1、关于模型关系的假设、关于模型关系的假设模型设定正确假设。模型设定正确假设。The regression model is correctly specified.线性回归假设。线性回归假设。The regression model is linear in the parameters。注意：注意：“linear in the parameters”的含义是什么？的含义是什么？本讲稿第十九页，共一百四十一页2 2、关于解释变量的假设、关于解释变量的假设确定性假设。确定性假设。X values

12、are fixed in repeated sampling.More technically,X is assumed to be nonstochastic.注意：注意：“in repeated sampling”的含义是什么？的含义是什么？与随机项不相关假设。与随机项不相关假设。The covariances between Xi and i are zero.由确定性假设可以推断。由确定性假设可以推断。本讲稿第二十页，共一百四十一页观测值变化假设。观测值变化假设。X values in a given sample must not all be the same.无完全共线性假设。无

13、完全共线性假设。There is no perfect multicollinearity among the explanatory variables.适用于多元线性回归模型。适用于多元线性回归模型。样本方差假设。样本方差假设。随着样本容量的无限增加，解释随着样本容量的无限增加，解释变量变量X的样本方差趋于一有限常数。的样本方差趋于一有限常数。时间序列数据作样本时间序列数据作样本时间适用时间适用本讲稿第二十一页，共一百四十一页3 3、关于随机项的假设、关于随机项的假设0均值假设。均值假设。The conditional mean value of i is zero.同方差假设。同方差假设

14、。The conditional variances of i are identical.(Homoscedasticity)由模型设定正确假设推断。由模型设定正确假设推断。是否满足需要检验。是否满足需要检验。本讲稿第二十二页，共一百四十一页序列不相关假设。序列不相关假设。The correlation between any two i and j is zero.是否满足需要检验。是否满足需要检验。本讲稿第二十三页，共一百四十一页4 4、随机项的正态性假设、随机项的正态性假设在采用在采用OLS进行参数估计时，不需要正态性假设。进行参数估计时，不需要正态性假设。在利用参数估计量进行统计推断

15、时，需要假设随在利用参数估计量进行统计推断时，需要假设随机项的概率分布。机项的概率分布。一般假设随机项服从正态分布。可以利用中心极限定一般假设随机项服从正态分布。可以利用中心极限定理（理（central limit theorem,CLT）进行证明。）进行证明。正态性假设。正态性假设。The s follow the normal distribution.本讲稿第二十四页，共一百四十一页5 5、CLRM CLRM 和和 CNLRMCNLRM以上假设（正态性假设除外）也称为线性回归模以上假设（正态性假设除外）也称为线性回归模型的型的经典假设经典假设或或高斯（高斯（Gauss）假设）假设，满足该

16、假设，满足该假设的线性回归模型，也称为的线性回归模型，也称为经典线性回归模型经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。）。同时满足正态性假设的线性回归模型，称为同时满足正态性假设的线性回归模型，称为经典正态经典正态线性回归模型线性回归模型（Classical Normal Linear Regression Model,CNLRM）。）。本讲稿第二十五页，共一百四十一页3.2 3.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计 二、最大或然估计二、最大或然估计 三、矩估计三、矩估计 四、参数估计

17、量的性质四、参数估计量的性质 五、样本容量问题五、样本容量问题六、估计实例六、估计实例 本讲稿第二十六页，共一百四十一页说说 明明估计方法：估计方法：3大类方法：大类方法：OLS、ML或者或者MM在经典模型中多应用在经典模型中多应用OLS在非经典模型中多应用在非经典模型中多应用ML或者或者MM本讲稿第二十七页，共一百四十一页一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计(OLS)(OLS)本讲稿第二十八页，共一百四十一页1 1、普通最小二乘估计、普通最小二乘估计最小二乘原理：最小二乘原理：根据被解释变量的所有观测值与根据被解释变量的所有观测值与估计值之差的平方和最小的原则求得参数估计量。估计值之差的

18、平方和最小的原则求得参数估计量。本讲稿第二十九页，共一百四十一页已知已知假定假定 步骤：步骤：本讲稿第三十页，共一百四十一页本讲稿第三十一页，共一百四十一页正规方程组正规方程组的的矩阵形式矩阵形式条件？条件？本讲稿第三十二页，共一百四十一页 OLSOLS估计的矩阵表示估计的矩阵表示 本讲稿第三十三页，共一百四十一页2 2、正规方程组的另一种表达、正规方程组的另一种表达该正规方程组该正规方程组成立的条件是成立的条件是什么？什么？本讲稿第三十四页，共一百四十一页3 3、随机误差项、随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计 M为等幂矩阵为等幂矩阵本讲稿第三十五页，共一百四十一页本讲稿第三十六页

19、，共一百四十一页二、最大似然估计二、最大似然估计本讲稿第三十七页，共一百四十一页1 1、最大似然法、最大似然法最大似然法最大似然法(Maximum Likelihood,ML)，也称，也称最大最大或然法或然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。方法的基础。基本原理：基本原理：当从模型总体随机抽取当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样组样本观测值的概率最大。本观

20、测值的概率最大。ML必须已知随机项的分布。必须已知随机项的分布。本讲稿第三十八页，共一百四十一页2 2、估计步骤、估计步骤:以一元模型为例以一元模型为例Yi的分布Yi的概率函数 Y的所有样本观测值的联合概率似然函数 本讲稿第三十九页，共一百四十一页对数似然函数 对数似然函数极大化的一阶条件结构参数的ML估计量本讲稿第四十页，共一百四十一页分布参数的ML估计量本讲稿第四十一页，共一百四十一页3 3、似然函数、似然函数 本讲稿第四十二页，共一百四十一页4 4、MLML估计量估计量由对数似然函数求极大，得到参数估计量由对数似然函数求极大，得到参数估计量结果与参数的结果与参数的OLSOLS估计相同估计

21、相同本讲稿第四十三页，共一百四十一页分布参数估计结果与分布参数估计结果与OLS不同不同本讲稿第四十四页，共一百四十一页注意：注意：ML估计必须已知估计必须已知Y的分布。的分布。只有在正态分布时只有在正态分布时ML和和OLS的结构参数估计结果相的结构参数估计结果相同。同。如果如果Y不服从正态分布，不能采用不服从正态分布，不能采用OLS。例如：选择性。例如：选择性样本模型、计数数据模型等。样本模型、计数数据模型等。本讲稿第四十五页，共一百四十一页三、矩估计三、矩估计Moment Method,MM本讲稿第四十六页，共一百四十一页1、参数的矩估计、参数的矩估计参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。参

22、数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估计量。算总体参数（期望和方差）的估计量。本讲稿第四十七页，共一百四十一页样本的一阶矩样本的一阶矩和二阶矩和二阶矩 总体一阶矩和总体总体一阶矩和总体二阶矩的估计量二阶矩的估计量 总体参数总体参数（期望和

23、方（期望和方差）的估计差）的估计量量 本讲稿第四十八页，共一百四十一页2 2、多元线性、多元线性计量经济学模型的矩估计计量经济学模型的矩估计 如果模型的设定是正确如果模型的设定是正确，则存在一些为，则存在一些为0的条件矩。矩估的条件矩。矩估计的基本思想是利用矩条件估计模型参数。计的基本思想是利用矩条件估计模型参数。一组矩条件，等同于一组矩条件，等同于OLS估计的正规方程组。估计的正规方程组。本讲稿第四十九页，共一百四十一页四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质本讲稿第五十页，共一百四十一页说明说明在满足基本假设的情况下，多元线性模型结构参在满足基本假设的情况下，多元线性模型结构参数数 的的普

24、通最小二乘估计普通最小二乘估计、最大或然估计最大或然估计及及矩估计矩估计具有具有线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有同时，随着样本容量增加，参数估计量具有渐近无偏渐近无偏性、渐近有效性、一致性性、渐近有效性、一致性。利用矩阵表达可以很方便地证明利用矩阵表达可以很方便地证明,注意证明过程中注意证明过程中利用的基本假设。利用的基本假设。本讲稿第五十一页，共一百四十一页1、无偏性、无偏性这里利用了假设这里利用了假设:E(X)=0本讲稿第五十二页，共一百四十一页2、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性）本讲稿第五十三页，共一百四十一页五、样本容量问题五、

25、样本容量问题本讲稿第五十四页，共一百四十一页1 1、最小样本容量最小样本容量 所谓所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。要求的样本容量的下限。样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）（包括常数项）,即 n k+1为什么？为什么？本讲稿第五十五页，共一百四十一页2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；

26、n-k8时,t分布较为稳定。一般经验认为一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明。明。本讲稿第五十六页，共一百四十一页六、例题六、例题本讲稿第五十七页，共一百四十一页地区城镇居民消费模型地区城镇居民消费模型被解释变量：地区城镇居民人均消费被解释变量：地区城镇居民人均消费Y解释变量：解释变量：地区城镇居民人均可支配收入地区城镇居民人均可支配收入X1前一年地区城镇居民人均消费前一年地区城镇居民人均消费X2样本：样本：2006年，年，31个地区个地区本讲稿第五十八页，共

27、一百四十一页数据数据本讲稿第五十九页，共一百四十一页变量间关系变量间关系本讲稿第六十页，共一百四十一页变量间关系变量间关系本讲稿第六十一页，共一百四十一页OLSOLS估计估计本讲稿第六十二页，共一百四十一页OLSOLS估计结果估计结果本讲稿第六十三页，共一百四十一页MLML估计估计本讲稿第六十四页，共一百四十一页MLML估计结果估计结果本讲稿第六十五页，共一百四十一页MMMM估计估计本讲稿第六十六页，共一百四十一页MMMM估计结果估计结果本讲稿第六十七页，共一百四十一页3.3 3.3 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 Statistical Test of Multiple

28、 Linear Regression Model 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检验）检验）四、参数的置信区间四、参数的置信区间 本讲稿第六十八页，共一百四十一页一、拟合优度检验一、拟合优度检验 Goodness of Fit本讲稿第六十九页，共一百四十一页1 1、概念、概念 拟合优度检验拟合优度检验拟合优度检验拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。间拟合程度的检验。问题：问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型采用普通最小二乘

29、估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？如何检验：如何检验：构造统计量构造统计量统计量只能是相对量统计量只能是相对量本讲稿第七十页，共一百四十一页2 2、可决系数与调整的可决系数、可决系数与调整的可决系数 总离差平方和的分解总离差平方和的分解证明：证明：该项等于该项等于0本讲稿第七十一页，共一百四十一页 可决系数（可决系数（Coefficient of Determination）该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。从R2的表达式中发现，如果在模型中增加解释变量，R2往往增大。这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好

30、，只要增加解释变量即可。但是，由增加解释变量引起的R2的增大与拟合好坏无关，所以R2需调整。本讲稿第七十二页，共一百四十一页 调整的可决系数调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。调整的可决系数多大才是合适的？调整的可决系数多大才是合适的？本讲稿第七十三页，共一百四十一页 3、赤池信息准则和施瓦茨准则、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:赤池信息准则赤池信息准则（Akaike information criterion

31、,AIC）施瓦茨准则施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）这两准则均要求这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少仅当所增加的解释变量能够减少AICAIC值值或或SCSC值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。本讲稿第七十四页，共一百四十一页地区城镇居民消费模型（地区城镇居民消费模型（k=2）本讲稿第七十五页，共一百四十一页地区城镇居民消费模型（地区城镇居民消费模型（k=1）与与k=2比较，变化不大比较，变化不大本讲稿第七十六页，共一百四十一页二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)Testing the Overall Signific

32、ance of a Multiple Regression(the F test)本讲稿第七十七页，共一百四十一页1 1、假设检验（、假设检验（Hypothesis Testing）所谓所谓假设检验假设检验，就是事先对总体参数或总体分布，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。先假定原假先假

33、定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生小概率事件不易发生”这一原理的。这一原理的。本讲稿第七十八页，共一百四十一页2、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系释变量之间的线性关系在总体上在总体上是否显著成立作出推是否显著成立作出推断。断。在多元模型中，即检验模型在多元模型中，即检验模型中的

34、中的参数参数 j是否显著不为是否显著不为0。本讲稿第七十九页，共一百四十一页 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式来自于总离差平方和的分解式 TSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。本讲稿第八十页，共一百四十一页 在原假设在原假设H0成立的条件下成立的条件下，统计量，统计量 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1

35、)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立。本讲稿第八十一页，共一百四十一页地区城镇居民消费模型地区城镇居民消费模型拒绝0假设，犯错误的概率为0本讲稿第八十二页，共一百四十一页 3、关于拟合优度检验与方程显著性检验关关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论系的讨论 本讲稿第八十三页，共一百四十一页 对于一般的实际问题，在对于一般的实际问题，在5%5%的显著性水平下，的显著性水平下，F F统统计量的临界值所对应的计量的临界值所对应的R R2 2的水平是较低的。所以，不宜的水平是较低的。所以，不宜过分注重过分注重R R2 2值，应注重模型的经济意义；在进行总值，应注

36、重模型的经济意义；在进行总体显著性检验时，显著性水平应该控制在体显著性检验时，显著性水平应该控制在5%5%以内。以内。本讲稿第八十四页，共一百四十一页三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检验）检验）Testing the Significance of Variables(the t test)本讲稿第八十五页，共一百四十一页方程的方程的总体线性总体线性关系显著关系显著不等于不等于每个解释变量每个解释变量对被对被解释变量的影响都是显著的。解释变量的影响都是显著的。必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。否作

37、为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t 检验完成的。检验完成的。本讲稿第八十六页，共一百四十一页1、t统计量统计量 以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素本讲稿第八十七页，共一百四十一页2 2、t t检验检验 设计原假设与备择假设：H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)判断拒绝或不拒绝原假设H0，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。H0：i=0 （i=1,2k）本讲稿第八十八页，共一百四十一页地区城

38、镇居民消费模型地区城镇居民消费模型本讲稿第八十九页，共一百四十一页3、关于常数项的显著性检验、关于常数项的显著性检验T T检验同样可以进行。检验同样可以进行。一般不以一般不以t t检验决定常数项是否保留在模型中，而是检验决定常数项是否保留在模型中，而是从经济意义方面分析回归线是否应该通过原点。从经济意义方面分析回归线是否应该通过原点。本讲稿第九十页，共一百四十一页四、参数的置信区间四、参数的置信区间 Confidence Interval of Parameter本讲稿第九十一页，共一百四十一页1 1、区间估计、区间估计回归分析希望通过样本得到的参数估计量能够代替总回归分析希望通过样本得到的参

39、数估计量能够代替总体参数。体参数。假设检验假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（例如是否为零），但它并没有指出的假设值的范围（例如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近近”。要判断样本参数的估计值在多大程度上要判断样本参数的估计值在多大程度上“近似近似”地替代总体参数的真值，需要通过构造一个以样本参地替代总体参数的真值，需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的数的估计值为中心的“区间区间”，来考察它以多大的可，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真

40、实的参数值。这种方法就是参能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的数检验的置信区间估计置信区间估计。本讲稿第九十二页，共一百四十一页 如果存在这样一个区间，称之为如果存在这样一个区间，称之为置信区间置信区间；1-1-称为称为置信系数（置信度）（置信系数（置信度）（confidence coefficient），称为称为显著性水平显著性水平；置信区间的端点称为；置信区间的端点称为置信限置信限（confidence limit）。本讲稿第九十三页，共一百四十一页2、参数的置信区间、参数的置信区间在在(1-(1-)的置的置信水平下信水平下本讲稿第九十四页，共一百四十一页3 3、如何才能

41、缩小置信区间？、如何才能缩小置信区间？增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，因为在同样的样本容量下，n n越大，越大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小。样本参数估计量的标准差减小。提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。小。提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值一般情况下，样本观测值越分散越分散，(XX

42、)-1的分母的的分母的|XX|的值越大，致使区间缩的值越大，致使区间缩小。小。本讲稿第九十五页，共一百四十一页3.4 3.4 多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测 一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间 二、二、Y0的置信区间的置信区间本讲稿第九十六页，共一百四十一页一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间本讲稿第九十七页，共一百四十一页于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间置信区间：其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值临界值。本讲稿第九十八页，共一百四十一页二、二、Y0的置信区间的置信区间本讲稿第九十九页，共一百四十一页如何根据置信如何根据置信区间正确地陈区间正确地陈

43、述预测结果？述预测结果？本讲稿第一百页，共一百四十一页3.5 3.5 回归模型的其他函数形式回归模型的其他函数形式 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例二、非线性回归实例 三、非线性最小二乘估计三、非线性最小二乘估计本讲稿第一百零一页，共一百四十一页说说 明明在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。直接表现为线性关系的情况并不多见。如著名的如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线(Engle curves)表现为表现为幂函数幂函数曲线曲线形式、宏观经济学中的形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线菲利普斯曲线（P

44、illips cuves）表现为）表现为双曲线双曲线形式等。形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。以运用线性回归模型的理论方法。本节为自学内容。本节为自学内容。本讲稿第一百零二页，共一百四十一页一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 1 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线拉弗曲线：抛物线 s=a+b r+c r2 c0 s：税收；r：税率

45、设X1=r，X2=r2，则原方程变换为 s=a+b X1+c X2 c0 本讲稿第一百零三页，共一百四十一页2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q=AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数：ln Q=ln A+ln K+ln L本讲稿第一百零四页，共一百四十一页3、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到：(1+2=1)Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数，1、2：分配参数例如例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K-+

46、2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。如取0阶、1阶、2阶项，可得 本讲稿第一百零五页，共一百四十一页二、可化为线性的非线性回归实例二、可化为线性的非线性回归实例 例例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。零阶齐次性零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变(*)(*)为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（*）式与（）式与（*）式。）式。本讲稿第一百零六页，共一百四十一

47、页 根据恩格尔定律恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数幂函数的变化关系:首先,确定具体的函数形式对数变换:考虑到零阶齐次性零阶齐次性时时(*)(*)(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得因此，对对（*）式式进进行行回回归归，就就意意味味着着原原需需求求函函数数满足零阶齐次性条件满足零阶齐次性条件。本讲稿第一百零七页，共一百四十一页X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100本例题数据不本例题

48、数据不同于教科书同于教科书本讲稿第一百零八页，共一百四十一页中中国国城城镇镇居居民民人人均均食食品品消消费费 特征：特征：消费行为在19811995年间表现出较强的一致性；1995年之后呈现出另外一种变动特征。建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34)本讲稿第一百零九页，共一百四十一页按按零阶齐次性零阶齐次性表达式回归表达式回归:（75.86）(52.66)(-3.62)为了比较，改写该式为：与接近。意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。本讲稿第一百一十页，共一百四十一页三、非

49、线性最小二乘估计三、非线性最小二乘估计本讲稿第一百一十一页，共一百四十一页 普通最小二乘原理普通最小二乘原理 残差平方和残差平方和 取极小值的一取极小值的一阶条件阶条件 如何求解非如何求解非线性方程？线性方程？本讲稿第一百一十二页，共一百四十一页 高斯牛顿高斯牛顿(Gauss-Newton)(Gauss-Newton)迭代法迭代法 高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法的原理 对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值本讲稿第一百一十三页，共一百四十一页 构造并估计线性伪模型构造并估计线性伪模型构造线性模型构造线性模型估计得到参数的第估计得到参数的第1次迭代值次迭代值

50、迭代迭代本讲稿第一百一十四页，共一百四十一页高斯牛顿迭代法的步骤高斯牛顿迭代法的步骤本讲稿第一百一十五页，共一百四十一页 牛顿拉夫森牛顿拉夫森(Newton-Raphson)(Newton-Raphson)迭代法迭代法 自学，掌握以下自学，掌握以下2个要点个要点牛顿拉夫森迭代法的原理牛顿拉夫森迭代法的原理 对残差平方和展开台劳级数，取二阶近似值；对残差平方和展开台劳级数，取二阶近似值；对残差平方和的近似值求极值；对残差平方和的近似值求极值；迭代。迭代。与高斯牛顿迭代法的区别与高斯牛顿迭代法的区别直接对残差平方和展开台劳级数，而不是对其中的原模型展直接对残差平方和展开台劳级数，而不是对其中的原模